MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrre 12373
Description: A way of proving that an extended real is real. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrre (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 simprl 758 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → -∞ < 𝐴)
2 ltpnf 12326 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
32adantl 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 < +∞)
4 rexr 10480 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 10488 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
6 xrlelttr 12360 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < +∞) → 𝐴 < +∞))
75, 6mp3an3 1429 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < +∞) → 𝐴 < +∞))
84, 7sylan2 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < +∞) → 𝐴 < +∞))
93, 8mpan2d 681 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 < +∞))
109imp 398 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 < +∞)
1110adantrl 703 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 < +∞)
12 xrrebnd 12372 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1312ad2antrr 713 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
141, 11, 13mpbir2and 700 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wcel 2050   class class class wbr 4923  cr 10328  +∞cpnf 10465  -∞cmnf 10466  *cxr 10467   < clt 10468  cle 10469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5306  df-po 5320  df-so 5321  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474
This theorem is referenced by:  xrrege0  12378  supxrre  12530  infxrre  12539  caucvgrlem  14884  pcgcd1  16063  tgioo  23101  ovolunlem1a  23794  ovoliunlem1  23800  ioombl1lem2  23857  itg2monolem2  24049  dvferm1lem  24278  radcnvle  24705  psercnlem1  24710  nmobndi  28323  ubthlem3  28421  nmophmi  29583  bdophsi  29648  bdopcoi  29650  orvclteel  31376  itg2addnclem  34384  itg2gt0cn  34388  areacirclem5  34427  eliocre  41216  fourierdlem87  41909  sge0ssre  42110
  Copyright terms: Public domain W3C validator