MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrre 13174
Description: A way of proving that an extended real is real. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrre (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → -∞ < 𝐴)
2 ltpnf 13126 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
32adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 < +∞)
4 rexr 11284 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 11292 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
6 xrlelttr 13161 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < +∞) → 𝐴 < +∞))
75, 6mp3an3 1447 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < +∞) → 𝐴 < +∞))
84, 7sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 < +∞) → 𝐴 < +∞))
93, 8mpan2d 693 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 < +∞))
109imp 406 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 < +∞)
1110adantrl 715 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 < +∞)
12 xrrebnd 13173 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1312ad2antrr 725 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
141, 11, 13mpbir2and 712 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099   class class class wbr 5142  cr 11131  +∞cpnf 11269  -∞cmnf 11270  *cxr 11271   < clt 11272  cle 11273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278
This theorem is referenced by:  xrrege0  13179  supxrre  13332  infxrre  13341  caucvgrlem  15645  pcgcd1  16839  tgioo  24705  ovolunlem1a  25418  ovoliunlem1  25424  ioombl1lem2  25481  itg2monolem2  25674  dvferm1lem  25909  radcnvle  26349  psercnlem1  26355  nmobndi  30578  ubthlem3  30675  nmophmi  31834  bdophsi  31899  bdopcoi  31901  orvclteel  34086  itg2addnclem  37138  itg2gt0cn  37142  areacirclem5  37179  eliocre  44888  fourierdlem87  45575  sge0ssre  45779
  Copyright terms: Public domain W3C validator