MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elxr 12503
Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
elxr (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr
StepHypRef Expression
1 df-xr 10671 . . 3 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
21eleq2i 2902 . 2 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3 elun 4123 . 2 (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4 pnfex 10686 . . . . 5 +∞ ∈ V
5 mnfxr 10690 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
65elexi 3512 . . . . 5 -∞ ∈ V
74, 6elpr2 4583 . . . 4 (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
87orbi2i 908 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9 3orass 1084 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
108, 9bitr4i 280 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
112, 3, 103bitri 299 1 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wo 843  w3o 1080   = wceq 1530  wcel 2107  cun 3932  {cpr 4561  cr 10528  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  *cxr 10666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-pow 5257  ax-un 7453  ax-cnex 10585
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-rex 3142  df-v 3495  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-uni 4831  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671
This theorem is referenced by:  xrnemnf  12504  xrnepnf  12505  xrltnr  12506  xrltnsym  12522  xrlttri  12524  xrlttr  12525  xrrebnd  12553  qbtwnxr  12585  xnegcl  12598  xnegneg  12599  xltnegi  12601  xaddf  12609  xnegid  12623  xaddcom  12625  xaddid1  12626  xnegdi  12633  xleadd1a  12638  xlt2add  12645  xsubge0  12646  xmullem  12649  xmulid1  12664  xmulgt0  12668  xmulasslem3  12671  xlemul1a  12673  xadddilem  12679  xadddi2  12682  xrsupsslem  12692  xrinfmsslem  12693  xrub  12697  reltxrnmnf  12727  isxmet2d  22929  blssioo  23395  ioombl1  24155  ismbf2d  24233  itg2seq  24335  xaddeq0  30469  iooelexlt  34630  relowlssretop  34631  iccpartiltu  43567  iccpartigtl  43568
  Copyright terms: Public domain W3C validator