MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elxr 13038
Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
elxr (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem elxr
StepHypRef Expression
1 df-xr 11194 . . 3 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
21eleq2i 2830 . 2 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
3 elun 4109 . 2 (𝐴 ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}))
4 pnfex 11209 . . . . 5 +∞ ∈ V
5 mnfxr 11213 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
65elexi 3465 . . . . 5 -∞ ∈ V
74, 6elpr2 4612 . . . 4 (𝐴 ∈ {+∞, -∞} ↔ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
87orbi2i 912 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
9 3orass 1091 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
108, 9bitr4i 278 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 ∈ {+∞, -∞}) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
112, 3, 103bitri 297 1 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wo 846  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3909  {cpr 4589  cr 11051  +∞cpnf 11187  -∞cmnf 11188  *cxr 11189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-pow 5321  ax-un 7673  ax-cnex 11108
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-tru 1545  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-v 3448  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-uni 4867  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194
This theorem is referenced by:  xrnemnf  13039  xrnepnf  13040  xrltnr  13041  xrltnsym  13057  xrlttri  13059  xrlttr  13060  xrrebnd  13088  qbtwnxr  13120  xnegcl  13133  xnegneg  13134  xltnegi  13136  xaddf  13144  xnegid  13158  xaddcom  13160  xaddid1  13161  xnegdi  13168  xleadd1a  13173  xlt2add  13180  xsubge0  13181  xmullem  13184  xmulid1  13199  xmulgt0  13203  xmulasslem3  13206  xlemul1a  13208  xadddilem  13214  xadddi2  13217  xrsupsslem  13227  xrinfmsslem  13228  xrub  13232  reltxrnmnf  13262  isxmet2d  23683  blssioo  24161  ioombl1  24929  ismbf2d  25007  itg2seq  25110  xaddeq0  31661  iooelexlt  35836  relowlssretop  35837  iccpartiltu  45621  iccpartigtl  45622
  Copyright terms: Public domain W3C validator