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Theorem xlt2add 12639
Description: Extended real version of lt2add 11110. Note that ltleadd 11108, which has weaker assumptions, is not true for the extended reals (since 0 + +∞ < 1 + +∞ fails). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlt2add (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xlt2add
StepHypRef Expression
1 xaddcl 12618 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
213ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
32adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4 simp1l 1194 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2r 1197 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
6 xaddcl 12618 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
74, 5, 6syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
87adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
9 xaddcl 12618 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
1093ad2ant2 1131 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
12 simp3r 1199 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
1312adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 < 𝐷)
14 simp1r 1195 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1514adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
165adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
17 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 xltadd2 12636 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷)))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷)))
2013, 19mpbid 235 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷))
21 simp3l 1198 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < 𝐶)
2221adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 < 𝐶)
234adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24 simp2l 1196 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
2524adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
26 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
27 xltadd1 12635 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2922, 28mpbid 235 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
303, 8, 11, 20, 29xrlttrd 12538 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
3130anassrs 471 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
32 pnfxr 10680 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → +∞ ∈ ℝ*)
34 pnfge 12511 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≤ +∞)
3524, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≤ +∞)
364, 24, 33, 21, 35xrltletrd 12540 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < +∞)
37 nltpnft 12543 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
3837necon2abid 3055 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
394, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
4036, 39mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ≠ +∞)
41 pnfge 12511 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≤ +∞)
425, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≤ +∞)
4314, 5, 33, 12, 42xrltletrd 12540 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < +∞)
44 nltpnft 12543 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
4544necon2abid 3055 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
4614, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
4743, 46mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ≠ +∞)
48 xaddnepnf 12616 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
494, 40, 14, 47, 48syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
50 nltpnft 12543 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞ ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞))
5150necon2abid 3055 . . . . . . . . 9 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞))
522, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞))
5349, 52mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞)
5453adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞)
55 oveq2 7146 . . . . . . 7 (𝐷 = +∞ → (𝐶 +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 +∞))
56 mnfxr 10683 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ*)
58 mnfle 12515 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
594, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐴)
6057, 4, 24, 59, 21xrlelttrd 12539 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐶)
61 ngtmnft 12545 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐶))
6261necon2abid 3055 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐶𝐶 ≠ -∞))
6324, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐶𝐶 ≠ -∞))
6460, 63mpbid 235 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≠ -∞)
65 xaddpnf1 12605 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
6624, 64, 65syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
6755, 66sylan9eqr 2881 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐶 +𝑒 𝐷) = +∞)
6854, 67breqtrrd 5075 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
6968adantlr 714 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
70 mnfle 12515 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
7114, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐵)
7257, 14, 5, 71, 12xrlelttrd 12539 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐷)
73 ngtmnft 12545 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐷))
7473necon2abid 3055 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐷𝐷 ≠ -∞))
755, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐷𝐷 ≠ -∞))
7672, 75mpbid 235 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≠ -∞)
7776a1d 25 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷) → 𝐷 ≠ -∞))
7877necon4bd 3033 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
7978imp 410 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
8079adantlr 714 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
81 elxr 12497 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ* ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
825, 81sylib 221 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
8382adantr 484 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
8431, 69, 80, 83mpjao3dan 1428 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
8540a1d 25 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷) → 𝐴 ≠ +∞))
8685necon4bd 3033 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
8786imp 410 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
88 oveq1 7145 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
89 xaddmnf2 12608 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
9014, 47, 89syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
9188, 90sylan9eqr 2881 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
92 xaddnemnf 12615 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
9324, 64, 5, 76, 92syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
94 ngtmnft 12545 . . . . . . . 8 ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* → ((𝐶 +𝑒 𝐷) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
9594necon2abid 3055 . . . . . . 7 ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* → (-∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞))
9610, 95syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞))
9793, 96mpbird 260 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷))
9897adantr 484 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷))
9991, 98eqbrtrd 5069 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
100 elxr 12497 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
1014, 100sylib 221 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
10284, 87, 99, 101mpjao3dan 1428 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
1031023expia 1118 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  cr 10521  +∞cpnf 10657  -∞cmnf 10658  *cxr 10659   < clt 10660  cle 10661   +𝑒 cxad 12491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-xneg 12493  df-xadd 12494
This theorem is referenced by:  bldisj  22994  iscau3  23871  xrofsup  30489  xrge0addgt0  30696
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