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Theorem xlt2add 13237
Description: Extended real version of lt2add 11697. Note that ltleadd 11695, which has weaker assumptions, is not true for the extended reals (since 0 + +∞ < 1 + +∞ fails). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlt2add (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xlt2add
StepHypRef Expression
1 xaddcl 13216 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
213ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
32adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4 simp1l 1194 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2r 1197 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
6 xaddcl 13216 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
74, 5, 6syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
87adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
9 xaddcl 13216 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
1093ad2ant2 1131 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
12 simp3r 1199 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 < 𝐷)
14 simp1r 1195 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
165adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
17 simprl 768 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 xltadd2 13234 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷)))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷)))
2013, 19mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷))
21 simp3l 1198 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < 𝐶)
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 < 𝐶)
234adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24 simp2l 1196 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
26 simprr 770 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
27 xltadd1 13233 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2922, 28mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
303, 8, 11, 20, 29xrlttrd 13136 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
3130anassrs 467 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
32 pnfxr 11266 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → +∞ ∈ ℝ*)
34 pnfge 13108 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≤ +∞)
3524, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≤ +∞)
364, 24, 33, 21, 35xrltletrd 13138 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < +∞)
37 nltpnft 13141 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
3837necon2abid 2975 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
394, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
4036, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ≠ +∞)
41 pnfge 13108 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≤ +∞)
425, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≤ +∞)
4314, 5, 33, 12, 42xrltletrd 13138 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < +∞)
44 nltpnft 13141 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
4544necon2abid 2975 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
4614, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
4743, 46mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ≠ +∞)
48 xaddnepnf 13214 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
494, 40, 14, 47, 48syl22anc 836 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
50 nltpnft 13141 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞ ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞))
5150necon2abid 2975 . . . . . . . . 9 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞))
522, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞))
5349, 52mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞)
5453adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞)
55 oveq2 7410 . . . . . . 7 (𝐷 = +∞ → (𝐶 +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 +∞))
56 mnfxr 11269 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ*)
58 mnfle 13112 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
594, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐴)
6057, 4, 24, 59, 21xrlelttrd 13137 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐶)
61 ngtmnft 13143 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐶))
6261necon2abid 2975 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐶𝐶 ≠ -∞))
6324, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐶𝐶 ≠ -∞))
6460, 63mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≠ -∞)
65 xaddpnf1 13203 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
6624, 64, 65syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
6755, 66sylan9eqr 2786 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐶 +𝑒 𝐷) = +∞)
6854, 67breqtrrd 5167 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
6968adantlr 712 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
70 mnfle 13112 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
7114, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐵)
7257, 14, 5, 71, 12xrlelttrd 13137 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐷)
73 ngtmnft 13143 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐷))
7473necon2abid 2975 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐷𝐷 ≠ -∞))
755, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐷𝐷 ≠ -∞))
7672, 75mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≠ -∞)
7776a1d 25 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷) → 𝐷 ≠ -∞))
7877necon4bd 2952 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
7978imp 406 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
8079adantlr 712 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
81 elxr 13094 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ* ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
825, 81sylib 217 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
8382adantr 480 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
8431, 69, 80, 83mpjao3dan 1428 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
8540a1d 25 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷) → 𝐴 ≠ +∞))
8685necon4bd 2952 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
8786imp 406 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
88 oveq1 7409 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
89 xaddmnf2 13206 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
9014, 47, 89syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
9188, 90sylan9eqr 2786 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
92 xaddnemnf 13213 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
9324, 64, 5, 76, 92syl22anc 836 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
94 ngtmnft 13143 . . . . . . . 8 ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* → ((𝐶 +𝑒 𝐷) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
9594necon2abid 2975 . . . . . . 7 ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* → (-∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞))
9610, 95syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞))
9793, 96mpbird 257 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷))
9897adantr 480 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷))
9991, 98eqbrtrd 5161 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
100 elxr 13094 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
1014, 100sylib 217 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
10284, 87, 99, 101mpjao3dan 1428 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
1031023expia 1118 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  cr 11106  +∞cpnf 11243  -∞cmnf 11244  *cxr 11245   < clt 11246  cle 11247   +𝑒 cxad 13088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-xneg 13090  df-xadd 13091
This theorem is referenced by:  bldisj  24228  iscau3  25130  xrofsup  32452  xrge0addgt0  32660
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