xlt2add - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xlt2add		Structured version Visualization version GIF version

Theorem xlt2add 13287

Description: Extended real version of lt2add 11700. Note that ltleadd 11698, which has weaker assumptions, is not true for the extended reals (since 0 + +∞ < 1 + +∞ fails). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xlt2add	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))

**Proof of Theorem xlt2add**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddcl 13266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
3	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
4		simp1l 1216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ^)
5		simp2r 1219	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ^)
6		xaddcl 13266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
7	4, 5, 6	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
8	7	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
9		xaddcl 13266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
10	9	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
12		simp3r 1221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
13	12	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 < 𝐷)
14		simp1r 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ^)
15	14	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ^)
16	5	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ^)
17		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		xltadd2 13284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐴 +_𝑒 𝐷)))
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐴 +_𝑒 𝐷)))
20	13, 19	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐴 +_𝑒 𝐷))
21		simp3l 1220	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < 𝐶)
22	21	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 < 𝐶)
23	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ^)
24		simp2l 1218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ^)
25	24	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ^)
26		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
27		xltadd1 13283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐷) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
28	23, 25, 26, 27	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐷) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
29	22, 28	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
30	3, 8, 11, 20, 29	xrlttrd 13185	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
31	30	anassrs 472	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
32		pnfxr 11264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → +∞ ∈ ℝ^)
34		pnfge 13156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → 𝐶 ≤ +∞)
35	24, 34	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≤ +∞)
36	4, 24, 33, 21, 35	xrltletrd 13187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < +∞)
37		nltpnft 13191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
38	37	necon2abid 3000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
39	4, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
40	36, 39	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ≠ +∞)
41		pnfge 13156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* → 𝐷 ≤ +∞)
42	5, 41	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≤ +∞)
43	14, 5, 33, 12, 42	xrltletrd 13187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < +∞)
44		nltpnft 13191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
45	44	necon2abid 3000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
46	14, 45	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
47	43, 46	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ≠ +∞)
48		xaddnepnf 13264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞)
49	4, 40, 14, 47, 48	syl22anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞)
50		nltpnft 13191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) = +∞ ↔ ¬ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞))
51	50	necon2abid 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞))
52	2, 51	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞))
53	49, 52	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞)
54	53	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞)
55		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = +∞ → (𝐶 +_𝑒 𝐷) = (𝐶 +_𝑒 +∞))
56		mnfxr 11267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ^)
58		mnfle 13161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
59	4, 58	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐴)
60	57, 4, 24, 59, 21	xrlelttrd 13186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐶)
61		ngtmnft 13193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → (𝐶 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐶))
62	61	necon2abid 3000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → (-∞ < 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ -∞))
63	24, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ -∞))
64	60, 63	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≠ -∞)
65		xaddpnf1 13253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (𝐶 +_𝑒 +∞) = +∞)
66	24, 64, 65	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +_𝑒 +∞) = +∞)
67	55, 66	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) = +∞)
68	54, 67	breqtrrd 5140	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
69	68	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
70		mnfle 13161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐵)
71	14, 70	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐵)
72	57, 14, 5, 71, 12	xrlelttrd 13186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐷)
73		ngtmnft 13193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* → (𝐷 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐷))
74	73	necon2abid 3000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* → (-∞ < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ -∞))
75	5, 74	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ -∞))
76	72, 75	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≠ -∞)
77	76	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷) → 𝐷 ≠ -∞))
78	77	necon4bd 2978	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 = -∞ → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
79	78	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
80	79	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
81		elxr 13142	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
82	5, 81	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
83	82	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
84	31, 69, 80, 83	mpjao3dan 1459	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
85	40	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷) → 𝐴 ≠ +∞))
86	85	necon4bd 2978	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 = +∞ → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
87	86	imp 411	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
88		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-∞ +_𝑒 𝐵))
89		xaddmnf2 13256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +_𝑒 𝐵) = -∞)
90	14, 47, 89	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ +_𝑒 𝐵) = -∞)
91	88, 90	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) = -∞)
92		xaddnemnf 13263	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞)
93	24, 64, 5, 76, 92	syl22anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞)
94		ngtmnft 13193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^* → ((𝐶 +_𝑒 𝐷) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
95	94	necon2abid 3000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^* → (-∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞))
96	10, 95	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞))
97	93, 96	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
98	97	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
99	91, 98	eqbrtrd 5134	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
100		elxr 13142	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
101	4, 100	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
102	84, 87, 99, 101	mpjao3dan 1459	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
103	102	3expia 1139	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ w3o 1102 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 class class class wbr 5110 (class class class)co 7412 ℝcr 11100 +∞cpnf 11241 -∞cmnf 11242 ℝ^*cxr 11243 < clt 11244 ≤ cle 11245 +_𝑒 cxad 13136

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-sep 5258 ax-nul 5270 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7734 ax-cnex 11157 ax-resscn 11158 ax-1cn 11159 ax-icn 11160 ax-addcl 11161 ax-addrcl 11162 ax-mulcl 11163 ax-mulrcl 11164 ax-mulcom 11165 ax-addass 11166 ax-mulass 11167 ax-distr 11168 ax-i2m1 11169 ax-1ne0 11170 ax-1rid 11171 ax-rnegex 11172 ax-rrecex 11173 ax-cnre 11174 ax-pre-lttri 11175 ax-pre-lttrn 11176 ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3746 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-nul 4288 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4874 df-iun 4959 df-br 5111 df-opab 5175 df-mpt 5194 df-id 5558 df-po 5571 df-so 5572 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-er 8695 df-en 8945 df-dom 8946 df-sdom 8947 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11444 df-neg 11445 df-xneg 13138 df-xadd 13139

This theorem is referenced by: bldisj 24536 iscau3 25418 xrofsup 33090 xrge0addgt0 33315

W3C validator