xlt2add - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xlt2add		Structured version Visualization version GIF version

Theorem xlt2add 13302

Description: Extended real version of lt2add 11748. Note that ltleadd 11746, which has weaker assumptions, is not true for the extended reals (since 0 + +∞ < 1 + +∞ fails). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xlt2add	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))

**Proof of Theorem xlt2add**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddcl 13281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
4		simp1l 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ^)
5		simp2r 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ^)
6		xaddcl 13281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
9		xaddcl 13281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
10	9	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
12		simp3r 1203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 < 𝐷)
14		simp1r 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ^)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ^)
16	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ^)
17		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		xltadd2 13299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐴 +_𝑒 𝐷)))
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐴 +_𝑒 𝐷)))
20	13, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐴 +_𝑒 𝐷))
21		simp3l 1202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < 𝐶)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 < 𝐶)
23	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ^)
24		simp2l 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ^)
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ^)
26		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
27		xltadd1 13298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐷) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
28	23, 25, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐷) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
29	22, 28	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
30	3, 8, 11, 20, 29	xrlttrd 13201	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
31	30	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
32		pnfxr 11315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → +∞ ∈ ℝ^)
34		pnfge 13172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → 𝐶 ≤ +∞)
35	24, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≤ +∞)
36	4, 24, 33, 21, 35	xrltletrd 13203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < +∞)
37		nltpnft 13206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
38	37	necon2abid 2983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
39	4, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
40	36, 39	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ≠ +∞)
41		pnfge 13172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* → 𝐷 ≤ +∞)
42	5, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≤ +∞)
43	14, 5, 33, 12, 42	xrltletrd 13203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < +∞)
44		nltpnft 13206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
45	44	necon2abid 2983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
46	14, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
47	43, 46	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ≠ +∞)
48		xaddnepnf 13279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞)
49	4, 40, 14, 47, 48	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞)
50		nltpnft 13206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) = +∞ ↔ ¬ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞))
51	50	necon2abid 2983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞))
52	2, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞))
53	49, 52	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞)
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞)
55		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = +∞ → (𝐶 +_𝑒 𝐷) = (𝐶 +_𝑒 +∞))
56		mnfxr 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ^)
58		mnfle 13177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
59	4, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐴)
60	57, 4, 24, 59, 21	xrlelttrd 13202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐶)
61		ngtmnft 13208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → (𝐶 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐶))
62	61	necon2abid 2983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → (-∞ < 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ -∞))
63	24, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ -∞))
64	60, 63	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≠ -∞)
65		xaddpnf1 13268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (𝐶 +_𝑒 +∞) = +∞)
66	24, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +_𝑒 +∞) = +∞)
67	55, 66	sylan9eqr 2799	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) = +∞)
68	54, 67	breqtrrd 5171	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
69	68	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
70		mnfle 13177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐵)
71	14, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐵)
72	57, 14, 5, 71, 12	xrlelttrd 13202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐷)
73		ngtmnft 13208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* → (𝐷 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐷))
74	73	necon2abid 2983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* → (-∞ < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ -∞))
75	5, 74	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ -∞))
76	72, 75	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≠ -∞)
77	76	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷) → 𝐷 ≠ -∞))
78	77	necon4bd 2960	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 = -∞ → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
79	78	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
80	79	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
81		elxr 13158	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
82	5, 81	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
83	82	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
84	31, 69, 80, 83	mpjao3dan 1434	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
85	40	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷) → 𝐴 ≠ +∞))
86	85	necon4bd 2960	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 = +∞ → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
87	86	imp 406	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
88		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-∞ +_𝑒 𝐵))
89		xaddmnf2 13271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +_𝑒 𝐵) = -∞)
90	14, 47, 89	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ +_𝑒 𝐵) = -∞)
91	88, 90	sylan9eqr 2799	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) = -∞)
92		xaddnemnf 13278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞)
93	24, 64, 5, 76, 92	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞)
94		ngtmnft 13208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^* → ((𝐶 +_𝑒 𝐷) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
95	94	necon2abid 2983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^* → (-∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞))
96	10, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞))
97	93, 96	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
98	97	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
99	91, 98	eqbrtrd 5165	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
100		elxr 13158	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
101	4, 100	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
102	84, 87, 99, 101	mpjao3dan 1434	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
103	102	3expia 1122	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ w3o 1086 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 class class class wbr 5143 (class class class)co 7431 ℝcr 11154 +∞cpnf 11292 -∞cmnf 11293 ℝ^*cxr 11294 < clt 11295 ≤ cle 11296 +_𝑒 cxad 13152

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-id 5578 df-po 5592 df-so 5593 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-er 8745 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-xneg 13154 df-xadd 13155

This theorem is referenced by: bldisj 24408 iscau3 25312 xrofsup 32771 xrge0addgt0 33022

W3C validator