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Theorem xlt2add 13179

Description: Extended real version of lt2add 11640. Note that ltleadd 11638, which has weaker assumptions, is not true for the extended reals (since 0 + +∞ < 1 + +∞ fails). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xlt2add	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))

**Proof of Theorem xlt2add**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddcl 13158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^)
4		simp1l 1197	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ^)
5		simp2r 1200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ^)
6		xaddcl 13158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
8	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
9		xaddcl 13158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
10	9	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^)
12		simp3r 1202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 < 𝐷)
14		simp1r 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ^)
15	14	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ^)
16	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ^)
17		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		xltadd2 13176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐴 +_𝑒 𝐷)))
19	15, 16, 17, 18	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐴 +_𝑒 𝐷)))
20	13, 19	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐴 +_𝑒 𝐷))
21		simp3l 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < 𝐶)
22	21	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 < 𝐶)
23	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ^)
24		simp2l 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ^)
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ^)
26		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
27		xltadd1 13175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐷) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
28	23, 25, 26, 27	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐷) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
29	22, 28	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐷) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
30	3, 8, 11, 20, 29	xrlttrd 13078	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
31	30	anassrs 468	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
32		pnfxr 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → +∞ ∈ ℝ^)
34		pnfge 13051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → 𝐶 ≤ +∞)
35	24, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≤ +∞)
36	4, 24, 33, 21, 35	xrltletrd 13080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < +∞)
37		nltpnft 13083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
38	37	necon2abid 2986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
39	4, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
40	36, 39	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ≠ +∞)
41		pnfge 13051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* → 𝐷 ≤ +∞)
42	5, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≤ +∞)
43	14, 5, 33, 12, 42	xrltletrd 13080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < +∞)
44		nltpnft 13083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
45	44	necon2abid 2986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
46	14, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
47	43, 46	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ≠ +∞)
48		xaddnepnf 13156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞)
49	4, 40, 14, 47, 48	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞)
50		nltpnft 13083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) = +∞ ↔ ¬ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞))
51	50	necon2abid 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +_𝑒 𝐵) ∈ ℝ^* → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞))
52	2, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → ((𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +_𝑒 𝐵) ≠ +∞))
53	49, 52	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞)
54	53	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < +∞)
55		oveq2 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = +∞ → (𝐶 +_𝑒 𝐷) = (𝐶 +_𝑒 +∞))
56		mnfxr 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ^)
58		mnfle 13055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
59	4, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐴)
60	57, 4, 24, 59, 21	xrlelttrd 13079	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐶)
61		ngtmnft 13085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → (𝐶 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐶))
62	61	necon2abid 2986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → (-∞ < 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ -∞))
63	24, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ -∞))
64	60, 63	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≠ -∞)
65		xaddpnf1 13145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (𝐶 +_𝑒 +∞) = +∞)
66	24, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +_𝑒 +∞) = +∞)
67	55, 66	sylan9eqr 2798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) = +∞)
68	54, 67	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
69	68	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
70		mnfle 13055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐵)
71	14, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐵)
72	57, 14, 5, 71, 12	xrlelttrd 13079	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐷)
73		ngtmnft 13085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* → (𝐷 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐷))
74	73	necon2abid 2986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* → (-∞ < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ -∞))
75	5, 74	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐷 ↔ 𝐷 ≠ -∞))
76	72, 75	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≠ -∞)
77	76	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷) → 𝐷 ≠ -∞))
78	77	necon4bd 2963	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 = -∞ → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
79	78	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
80	79	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
81		elxr 13037	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ^* ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
82	5, 81	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
83	82	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
84	31, 69, 80, 83	mpjao3dan 1431	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
85	40	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷) → 𝐴 ≠ +∞))
86	85	necon4bd 2963	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 = +∞ → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
87	86	imp 407	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
88		oveq1 7364	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 +_𝑒 𝐵) = (-∞ +_𝑒 𝐵))
89		xaddmnf2 13148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +_𝑒 𝐵) = -∞)
90	14, 47, 89	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ +_𝑒 𝐵) = -∞)
91	88, 90	sylan9eqr 2798	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) = -∞)
92		xaddnemnf 13155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ^* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞)
93	24, 64, 5, 76, 92	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞)
94		ngtmnft 13085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^* → ((𝐶 +_𝑒 𝐷) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))
95	94	necon2abid 2986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 +_𝑒 𝐷) ∈ ℝ^* → (-∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞))
96	10, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +_𝑒 𝐷) ≠ -∞))
97	93, 96	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → -∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
98	97	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
99	91, 98	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
100		elxr 13037	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
101	4, 100	sylib 217	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
102	84, 87, 99, 101	mpjao3dan 1431	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷))
103	102	3expia 1121	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^ ∧ 𝐷 ∈ ℝ^*)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +_𝑒 𝐵) < (𝐶 +_𝑒 𝐷)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ w3o 1086 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 class class class wbr 5105 (class class class)co 7357 ℝcr 11050 +∞cpnf 11186 -∞cmnf 11187 ℝ^*cxr 11188 < clt 11189 ≤ cle 11190 +_𝑒 cxad 13031

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-id 5531 df-po 5545 df-so 5546 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-er 8648 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-xneg 13033 df-xadd 13034

This theorem is referenced by: bldisj 23751 iscau3 24642 xrofsup 31672 xrge0addgt0 31882

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