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Theorem xlt2add 13179
Description: Extended real version of lt2add 11640. Note that ltleadd 11638, which has weaker assumptions, is not true for the extended reals (since 0 + +∞ < 1 + +∞ fails). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlt2add (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xlt2add
StepHypRef Expression
1 xaddcl 13158 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
213ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
32adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4 simp1l 1197 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2r 1200 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
6 xaddcl 13158 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
87adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
9 xaddcl 13158 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
1093ad2ant2 1134 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
12 simp3r 1202 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 < 𝐷)
14 simp1r 1198 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
165adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
17 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 xltadd2 13176 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷)))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷)))
2013, 19mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷))
21 simp3l 1201 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < 𝐶)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 < 𝐶)
234adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24 simp2l 1199 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
2524adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
26 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
27 xltadd1 13175 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2922, 28mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
303, 8, 11, 20, 29xrlttrd 13078 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
3130anassrs 468 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
32 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → +∞ ∈ ℝ*)
34 pnfge 13051 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≤ +∞)
3524, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≤ +∞)
364, 24, 33, 21, 35xrltletrd 13080 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < +∞)
37 nltpnft 13083 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
3837necon2abid 2986 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
394, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
4036, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ≠ +∞)
41 pnfge 13051 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≤ +∞)
425, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≤ +∞)
4314, 5, 33, 12, 42xrltletrd 13080 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < +∞)
44 nltpnft 13083 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
4544necon2abid 2986 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
4614, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
4743, 46mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ≠ +∞)
48 xaddnepnf 13156 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
494, 40, 14, 47, 48syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
50 nltpnft 13083 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞ ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞))
5150necon2abid 2986 . . . . . . . . 9 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞))
522, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞))
5349, 52mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞)
5453adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞)
55 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝐷 = +∞ → (𝐶 +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 +∞))
56 mnfxr 11212 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ*)
58 mnfle 13055 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
594, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐴)
6057, 4, 24, 59, 21xrlelttrd 13079 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐶)
61 ngtmnft 13085 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐶))
6261necon2abid 2986 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐶𝐶 ≠ -∞))
6324, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐶𝐶 ≠ -∞))
6460, 63mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≠ -∞)
65 xaddpnf1 13145 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
6624, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
6755, 66sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐶 +𝑒 𝐷) = +∞)
6854, 67breqtrrd 5133 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
6968adantlr 713 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
70 mnfle 13055 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
7114, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐵)
7257, 14, 5, 71, 12xrlelttrd 13079 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐷)
73 ngtmnft 13085 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐷))
7473necon2abid 2986 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐷𝐷 ≠ -∞))
755, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐷𝐷 ≠ -∞))
7672, 75mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≠ -∞)
7776a1d 25 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷) → 𝐷 ≠ -∞))
7877necon4bd 2963 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
7978imp 407 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
8079adantlr 713 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
81 elxr 13037 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ* ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
825, 81sylib 217 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
8382adantr 481 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
8431, 69, 80, 83mpjao3dan 1431 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
8540a1d 25 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷) → 𝐴 ≠ +∞))
8685necon4bd 2963 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
8786imp 407 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
88 oveq1 7364 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
89 xaddmnf2 13148 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
9014, 47, 89syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
9188, 90sylan9eqr 2798 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
92 xaddnemnf 13155 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
9324, 64, 5, 76, 92syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
94 ngtmnft 13085 . . . . . . . 8 ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* → ((𝐶 +𝑒 𝐷) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
9594necon2abid 2986 . . . . . . 7 ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* → (-∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞))
9610, 95syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞))
9793, 96mpbird 256 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷))
9897adantr 481 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷))
9991, 98eqbrtrd 5127 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
100 elxr 13037 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
1014, 100sylib 217 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
10284, 87, 99, 101mpjao3dan 1431 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
1031023expia 1121 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cr 11050  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190   +𝑒 cxad 13031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-xneg 13033  df-xadd 13034
This theorem is referenced by:  bldisj  23751  iscau3  24642  xrofsup  31672  xrge0addgt0  31882
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