Theorem xmulrid 13182

Description: Extended real version of mulrid 11119. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulrid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)

Proof of Theorem xmulrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13019	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		1re 11121	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rexmul 13174	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 1) = (𝐴 · 1))
4	2, 3	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ·e 1) = (𝐴 · 1))
5		ax-1rid 11085	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
6	4, 5	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
7		1xr 11180	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8		0lt1 11648	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
9		xmulpnf2 13178	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (+∞ ·e 1) = +∞)
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (+∞ ·e 1) = +∞
11		oveq1 7361	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 1) = (+∞ ·e 1))
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
13	10, 11, 12	3eqtr4a 2794	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
14		xmulmnf2 13180	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (-∞ ·e 1) = -∞)
15	7, 8, 14	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (-∞ ·e 1) = -∞
16		oveq1 7361	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 1) = (-∞ ·e 1))
17		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18	15, 16, 17	3eqtr4a 2794	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
19	6, 13, 18	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
20	1, 19	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7354  ℝcr 11014  0cc0 11015  1c1 11016   · cmul 11020  +∞cpnf 11152  -∞cmnf 11153  ℝ^*cxr 11154   < clt 11155   ·_e cxmu 13014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-xneg 13015  df-xmul 13017

This theorem is referenced by:  xmullid  13183  xlemul1  13193  xrsmcmn  21332  nmoi2  24648  xdivrec  32916  omssubadd  34336