Theorem xmulrid 13246

Description: Extended real version of mulrid 11179. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulrid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)

Proof of Theorem xmulrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13083	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		1re 11181	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rexmul 13238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 1) = (𝐴 · 1))
4	2, 3	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ·e 1) = (𝐴 · 1))
5		ax-1rid 11145	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
6	4, 5	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
7		1xr 11240	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8		0lt1 11707	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
9		xmulpnf2 13242	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (+∞ ·e 1) = +∞)
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (+∞ ·e 1) = +∞
11		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 1) = (+∞ ·e 1))
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
13	10, 11, 12	3eqtr4a 2791	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
14		xmulmnf2 13244	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (-∞ ·e 1) = -∞)
15	7, 8, 14	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (-∞ ·e 1) = -∞
16		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 1) = (-∞ ·e 1))
17		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18	15, 16, 17	3eqtr4a 2791	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
19	6, 13, 18	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
20	1, 19	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  +∞cpnf 11212  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ·_e cxmu 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-xneg 13079  df-xmul 13081

This theorem is referenced by:  xmullid  13247  xlemul1  13257  xrsmcmn  21310  nmoi2  24625  xdivrec  32854  omssubadd  34298