Theorem xmulrid 13312

Description: Extended real version of mulrid 11262. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulrid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)

Proof of Theorem xmulrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13150	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		1re 11264	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rexmul 13304	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 1) = (𝐴 · 1))
4	2, 3	mpan2 689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ·e 1) = (𝐴 · 1))
5		ax-1rid 11228	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
6	4, 5	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
7		1xr 11323	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8		0lt1 11786	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
9		xmulpnf2 13308	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (+∞ ·e 1) = +∞)
10	7, 8, 9	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (+∞ ·e 1) = +∞
11		oveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 1) = (+∞ ·e 1))
12		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
13	10, 11, 12	3eqtr4a 2792	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
14		xmulmnf2 13310	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (-∞ ·e 1) = -∞)
15	7, 8, 14	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (-∞ ·e 1) = -∞
16		oveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 1) = (-∞ ·e 1))
17		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
18	15, 16, 17	3eqtr4a 2792	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
19	6, 13, 18	3jaoi 1425	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
20	1, 19	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1083   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163  +∞cpnf 11295  -∞cmnf 11296  ℝ^*cxr 11297   < clt 11298   ·_e cxmu 13145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-xneg 13146  df-xmul 13148

This theorem is referenced by:  xmullid  13313  xlemul1  13323  xrsmcmn  21383  nmoi2  24738  xdivrec  32788  omssubadd  34134