MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2seq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2seq 23800
Description: Definitional property of the 2 integral: for any function 𝐹 there is a countable sequence 𝑔 of simple functions less than 𝐹 whose integrals converge to the integral of 𝐹. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 23813, but unlike that theorem this one doesn't require 𝐹 to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2seq (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < )))
Distinct variable group:   𝑔,𝑛,𝐹

Proof of Theorem itg2seq
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
21ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑛 ∈ ℝ)
3 ltpnf 12154 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 < +∞)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑛 < +∞)
5 iftrue 4249 . . . . . . . . . . 11 ((∫2𝐹) = +∞ → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = 𝑛)
65adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = 𝑛)
7 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) = +∞)
84, 6, 73brtr4d 4841 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹))
9 iffalse 4252 . . . . . . . . . . 11 (¬ (∫2𝐹) = +∞ → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))
109adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))
11 itg2cl 23790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
12 xrrebnd 12201 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → ((∫2𝐹) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) < +∞)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) < +∞)))
14 itg2ge0 23793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))
15 mnflt0 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ < 0
16 mnfxr 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ ∈ ℝ*
17 0xr 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ*
18 xrltletr 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2𝐹)) → -∞ < (∫2𝐹)))
1916, 17, 18mp3an12 1575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2𝐹)) → -∞ < (∫2𝐹)))
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2𝐹)) → -∞ < (∫2𝐹)))
2115, 20mpani 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (0 ≤ (∫2𝐹) → -∞ < (∫2𝐹)))
2214, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → -∞ < (∫2𝐹))
2322biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) < +∞ ↔ (-∞ < (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) < +∞)))
24 nltpnft 12197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → ((∫2𝐹) = +∞ ↔ ¬ (∫2𝐹) < +∞))
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) = +∞ ↔ ¬ (∫2𝐹) < +∞))
2625con2bid 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) < +∞ ↔ ¬ (∫2𝐹) = +∞))
2713, 23, 263bitr2rd 299 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (¬ (∫2𝐹) = +∞ ↔ (∫2𝐹) ∈ ℝ))
2827biimpa 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
2928adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
30 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
3130rpreccld 12080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3231ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3329, 32ltsubrpd 12102 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)) < (∫2𝐹))
3410, 33eqbrtrd 4831 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹))
358, 34pm2.61dan 847 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹))
36 nnrecre 11314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3736ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3829, 37resubcld 10712 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
392, 38ifclda 4277 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
4039rexrd 10343 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
4111adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
42 xrltnle 10359 . . . . . . . . 9 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
4340, 41, 42syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
4435, 43mpbid 223 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
45 itg2leub 23792 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
4640, 45syldan 585 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
4744, 46mtbid 315 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
48 rexanali 3144 . . . . . 6 (∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
4947, 48sylibr 225 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
50 itg1cl 23743 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
51 ltnle 10371 . . . . . . . 8 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ ∧ (∫1𝑓) ∈ ℝ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓) ↔ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
5239, 50, 51syl2an 589 . . . . . . 7 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓) ↔ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
5352anbi2d 622 . . . . . 6 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) ↔ (𝑓𝑟𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
5453rexbidva 3196 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
5549, 54mpbird 248 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)))
5655ralrimiva 3113 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)))
57 ovex 6874 . . . . 5 (ℝ ↑𝑚 ℝ) ∈ V
58 i1ff 23734 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ dom ∫1𝑥:ℝ⟶ℝ)
59 reex 10280 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6059, 59elmap 8089 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 ℝ) ↔ 𝑥:ℝ⟶ℝ)
6158, 60sylibr 225 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 ℝ))
6261ssriv 3765 . . . . 5 dom ∫1 ⊆ (ℝ ↑𝑚 ℝ)
6357, 62ssexi 4964 . . . 4 dom ∫1 ∈ V
64 nnenom 12987 . . . 4 ℕ ≈ ω
65 breq1 4812 . . . . 5 (𝑓 = (𝑔𝑛) → (𝑓𝑟𝐹 ↔ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹))
66 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔𝑛) → (∫1𝑓) = (∫1‘(𝑔𝑛)))
6766breq2d 4821 . . . . 5 (𝑓 = (𝑔𝑛) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓) ↔ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))
6865, 67anbi12d 624 . . . 4 (𝑓 = (𝑔𝑛) → ((𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) ↔ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))))
6963, 64, 68axcc4 9514 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))))
7056, 69syl 17 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))))
71 simprl 787 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
72 simpl 474 . . . . . . 7 (((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹)
7372ralimi 3099 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹)
7473ad2antll 720 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹)
7540adantlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
76 ffvelrn 6547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ dom ∫1)
77 itg1cl 23743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔𝑛) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ)
7978adantll 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ)
8079rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ*)
81 xrltle 12182 . . . . . . . . . . . . 13 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ*) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛))))
8275, 80, 81syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛))))
83 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → (∫1‘(𝑔𝑛)) = (∫1‘(𝑔𝑚)))
8483cbvmptv 4909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))
8584rneqi 5520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) = ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))
8678fmpttd 6575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ)
8786adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ)
8887frnd 6230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ)
89 ressxr 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℝ*
9088, 89syl6ss 3773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ*)
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ*)
9285, 91syl5eqssr 3810 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) ⊆ ℝ*)
93 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → (∫1‘(𝑔𝑚)) = (∫1‘(𝑔𝑛)))
94 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))
95 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ V
9693, 94, 95fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))‘𝑛) = (∫1‘(𝑔𝑛)))
97 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∫1‘(𝑔𝑚)) ∈ V
9897, 94fnmpti 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) Fn ℕ
99 fnfvelrn 6546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) Fn ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))‘𝑛) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
10098, 99mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))‘𝑛) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
10196, 100eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
102101adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
103 supxrub 12356 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) ⊆ ℝ* ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
10492, 102, 103syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
10585supeq1i 8560 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )
106 supxrcl 12347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10791, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
108105, 107syl5eqelr 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
109 xrletr 12191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ* ∧ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
11075, 80, 108, 109syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
111104, 110mpan2d 685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
11282, 111syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
113112adantld 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
114113ralimdva 3109 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
115114impr 446 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
116 breq2 4813 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
117116ralbidv 3133 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
118 breq2 4813 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → ((∫2𝐹) ≤ 𝑥 ↔ (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
119117, 118imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → ((∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥) ↔ (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))))
120 elxr 12150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
121 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
122 arch 11535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
1245adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = 𝑛)
125124breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ 𝑥 < 𝑛))
126125rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛))
127123, 126mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
12828adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
129 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
130128, 129resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ((∫2𝐹) − 𝑥) ∈ ℝ)
131 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑥 < (∫2𝐹))
132129, 128posdifd 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (𝑥 < (∫2𝐹) ↔ 0 < ((∫2𝐹) − 𝑥)))
133131, 132mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → 0 < ((∫2𝐹) − 𝑥))
134 nnrecl 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((∫2𝐹) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((∫2𝐹) − 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥))
135130, 133, 134syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥))
13636adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
137128adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
138129adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
139 ltsub13 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ 𝑥 < ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
140136, 137, 138, 139syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ 𝑥 < ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
1419ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))
142141breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ 𝑥 < ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
143140, 142bitr4d 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
144143rexbidva 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
145135, 144mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
146127, 145pm2.61dan 847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
147146expr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (∫2𝐹) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
148 rexr 10339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
149 xrltnle 10359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → (𝑥 < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
150148, 11, 149syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
151148ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
15240adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
153 xrltnle 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
154151, 152, 153syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
155154rexbidva 3196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
156 rexnal 3141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
157155, 156syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
158147, 150, 1573imtr3d 284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (∫2𝐹) ≤ 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
159158con4d 115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
16011adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
161 pnfge 12164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → (∫2𝐹) ≤ +∞)
162160, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∫2𝐹) ≤ +∞)
163 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝑥 = +∞)
164162, 163breqtrrd 4837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∫2𝐹) ≤ 𝑥)
165164a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
166 1nn 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
167166ne0ii 4088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ ≠ ∅
168 r19.2z 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥) → ∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
169167, 168mpan 681 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
17039adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
171 mnflt 12157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → -∞ < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
172 rexr 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
173 xrltnle 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*) → (-∞ < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞))
17416, 172, 173sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → (-∞ < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞))
175171, 174mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞)
176170, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞)
177 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 = -∞)
178177breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞))
179176, 178mtbird 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
180179nrexdv 3147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
181180pm2.21d 119 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
182169, 181syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
183159, 165, 1823jaodan 1555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
184120, 183sylan2b 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
185184ralrimiva 3113 . . . . . . . . . 10 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
186185adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
18786ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ)
188187frnd 6230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ)
189188, 89syl6ss 3773 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ*)
190189, 106syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
191105, 190syl5eqelr 2849 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
192119, 186, 191rspcdva 3467 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
193115, 192mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
194193, 105syl6breqr 4851 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))
195 itg2ub 23791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔𝑛) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹))
1961953expia 1150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔𝑛) ∈ dom ∫1) → ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
19776, 196sylan2 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
198197anassrs 459 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
199198adantrd 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
200199ralimdva 3109 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
201200impr 446 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹))
202 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))
20383, 202, 97fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑔𝑚)))
204203breq1d 4819 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹)))
205204ralbiia 3126 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
20683breq1d 4819 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹)))
207206cbvralv 3319 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
208205, 207bitr4i 269 . . . . . . . . 9 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹))
209201, 208sylibr 225 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹))
210 ffn 6223 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) Fn ℕ)
211 breq1 4812 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) → (𝑧 ≤ (∫2𝐹) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹)))
212211ralrn 6552 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹)))
213187, 210, 2123syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹)))
214209, 213mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹))
21511adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
216 supxrleub 12358 . . . . . . . 8 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹)))
217189, 215, 216syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹)))
218214, 217mpbird 248 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))
21911adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
22090, 106syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
221 xrletri3 12187 . . . . . . . 8 (((∫2𝐹) ∈ ℝ* ∧ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ↔ ((∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∧ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))))
222219, 220, 221syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → ((∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ↔ ((∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∧ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))))
223222adantrr 708 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ((∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ↔ ((∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∧ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))))
224194, 218, 223mpbir2and 704 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))
22571, 74, 2243jca 1158 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < )))
226225ex 401 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))))
227226eximdv 2012 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))))
22870, 227mpd 15 1 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3o 1106  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  c0 4079  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  ran crn 5278   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑟 cofr 7094  𝑚 cmap 8060  supcsup 8553  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  +crp 12028  [,]cicc 12380  1citg1 23673  2citg2 23674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xadd 12147  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-xmet 20012  df-met 20013  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator