MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2seq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2seq 24270
Description: Definitional property of the 2 integral: for any function 𝐹 there is a countable sequence 𝑔 of simple functions less than 𝐹 whose integrals converge to the integral of 𝐹. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 24283, but unlike that theorem this one doesn't require 𝐹 to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2seq (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < )))
Distinct variable group:   𝑔,𝑛,𝐹

Proof of Theorem itg2seq
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 11633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
21ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑛 ∈ ℝ)
32ltpnfd 12504 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑛 < +∞)
4 iftrue 4469 . . . . . . . . . . 11 ((∫2𝐹) = +∞ → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = 𝑛)
54adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = 𝑛)
6 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) = +∞)
73, 5, 63brtr4d 5089 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹))
8 iffalse 4472 . . . . . . . . . . 11 (¬ (∫2𝐹) = +∞ → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))
98adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))
10 itg2cl 24260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
11 xrrebnd 12549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → ((∫2𝐹) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) < +∞)))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) < +∞)))
13 itg2ge0 24263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))
14 mnflt0 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ < 0
15 mnfxr 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -∞ ∈ ℝ*
16 0xr 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ*
17 xrltletr 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2𝐹)) → -∞ < (∫2𝐹)))
1815, 16, 10, 17mp3an12i 1456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2𝐹)) → -∞ < (∫2𝐹)))
1914, 18mpani 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (0 ≤ (∫2𝐹) → -∞ < (∫2𝐹)))
2013, 19mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → -∞ < (∫2𝐹))
2120biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) < +∞ ↔ (-∞ < (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) < +∞)))
22 nltpnft 12545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → ((∫2𝐹) = +∞ ↔ ¬ (∫2𝐹) < +∞))
2310, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) = +∞ ↔ ¬ (∫2𝐹) < +∞))
2423con2bid 356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) < +∞ ↔ ¬ (∫2𝐹) = +∞))
2512, 21, 243bitr2rd 309 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (¬ (∫2𝐹) = +∞ ↔ (∫2𝐹) ∈ ℝ))
2625biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
2726adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
28 nnrp 12388 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
2928rpreccld 12429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3029ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3127, 30ltsubrpd 12451 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)) < (∫2𝐹))
329, 31eqbrtrd 5079 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹))
337, 32pm2.61dan 809 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹))
34 nnrecre 11667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3534ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3627, 35resubcld 11056 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
372, 36ifclda 4497 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
3837rexrd 10679 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
3910adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
40 xrltnle 10696 . . . . . . . . 9 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
4138, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
4233, 41mpbid 233 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
43 itg2leub 24262 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
4438, 43syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
4542, 44mtbid 325 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
46 rexanali 3262 . . . . . 6 (∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
4745, 46sylibr 235 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
48 itg1cl 24213 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
49 ltnle 10708 . . . . . . . 8 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ ∧ (∫1𝑓) ∈ ℝ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓) ↔ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
5037, 48, 49syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓) ↔ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
5150anbi2d 628 . . . . . 6 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((𝑓r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) ↔ (𝑓r𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
5251rexbidva 3293 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
5347, 52mpbird 258 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)))
5453ralrimiva 3179 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)))
55 ovex 7178 . . . . 5 (ℝ ↑m ℝ) ∈ V
56 i1ff 24204 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ dom ∫1𝑥:ℝ⟶ℝ)
57 reex 10616 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
5857, 57elmap 8424 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ↑m ℝ) ↔ 𝑥:ℝ⟶ℝ)
5956, 58sylibr 235 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ (ℝ ↑m ℝ))
6059ssriv 3968 . . . . 5 dom ∫1 ⊆ (ℝ ↑m ℝ)
6155, 60ssexi 5217 . . . 4 dom ∫1 ∈ V
62 nnenom 13336 . . . 4 ℕ ≈ ω
63 breq1 5060 . . . . 5 (𝑓 = (𝑔𝑛) → (𝑓r𝐹 ↔ (𝑔𝑛) ∘r𝐹))
64 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔𝑛) → (∫1𝑓) = (∫1‘(𝑔𝑛)))
6564breq2d 5069 . . . . 5 (𝑓 = (𝑔𝑛) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓) ↔ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))
6663, 65anbi12d 630 . . . 4 (𝑓 = (𝑔𝑛) → ((𝑓r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) ↔ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))))
6761, 62, 66axcc4 9849 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))))
6854, 67syl 17 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))))
69 simprl 767 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
70 simpl 483 . . . . . . 7 (((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → (𝑔𝑛) ∘r𝐹)
7170ralimi 3157 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘r𝐹)
7271ad2antll 725 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘r𝐹)
7310adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
74 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ dom ∫1)
75 itg1cl 24213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔𝑛) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ)
7776fmpttd 6871 . . . . . . . . . 10 (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ)
7877ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ)
7978frnd 6514 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ)
80 ressxr 10673 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
8179, 80sstrdi 3976 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ*)
82 supxrcl 12696 . . . . . . 7 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8381, 82syl 17 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8438adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
8576adantll 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ)
8685rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ*)
87 xrltle 12530 . . . . . . . . . . . . 13 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ*) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛))))
8884, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛))))
89 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → (∫1‘(𝑔𝑛)) = (∫1‘(𝑔𝑚)))
9089cbvmptv 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))
9190rneqi 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) = ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))
9277adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ)
9392frnd 6514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ)
9493, 80sstrdi 3976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ*)
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ*)
9691, 95eqsstrrid 4013 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) ⊆ ℝ*)
97 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → (∫1‘(𝑔𝑚)) = (∫1‘(𝑔𝑛)))
98 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))
99 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ V
10097, 98, 99fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))‘𝑛) = (∫1‘(𝑔𝑛)))
101 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∫1‘(𝑔𝑚)) ∈ V
102101, 98fnmpti 6484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) Fn ℕ
103 fnfvelrn 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) Fn ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))‘𝑛) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
104102, 103mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))‘𝑛) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
105100, 104eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
106105adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
107 supxrub 12705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) ⊆ ℝ* ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
10896, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
10991supeq1i 8899 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )
11095, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
111109, 110eqeltrrid 2915 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
112 xrletr 12539 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ* ∧ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
11384, 86, 111, 112syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
114108, 113mpan2d 690 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
11588, 114syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
116115adantld 491 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
117116ralimdva 3174 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
118117impr 455 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
119 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
120119ralbidv 3194 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
121 breq2 5061 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → ((∫2𝐹) ≤ 𝑥 ↔ (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
122120, 121imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → ((∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥) ↔ (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))))
123 elxr 12499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
124 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
125 arch 11882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
1274adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = 𝑛)
128127breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ 𝑥 < 𝑛))
129128rexbidv 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛))
130126, 129mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
13126adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
132 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
133131, 132resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ((∫2𝐹) − 𝑥) ∈ ℝ)
134 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑥 < (∫2𝐹))
135132, 131posdifd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (𝑥 < (∫2𝐹) ↔ 0 < ((∫2𝐹) − 𝑥)))
136134, 135mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → 0 < ((∫2𝐹) − 𝑥))
137 nnrecl 11883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((∫2𝐹) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((∫2𝐹) − 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥))
138133, 136, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥))
13934adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
140131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
141132adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
142 ltsub13 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ 𝑥 < ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
143139, 140, 141, 142syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ 𝑥 < ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
1448ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))
145144breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ 𝑥 < ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
146143, 145bitr4d 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
147146rexbidva 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
148138, 147mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
149130, 148pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
150149expr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (∫2𝐹) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
151 rexr 10675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
152 xrltnle 10696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → (𝑥 < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
153151, 10, 152syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
154151ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
15538adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
156 xrltnle 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
157154, 155, 156syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
158157rexbidva 3293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
159 rexnal 3235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
160158, 159syl6bb 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
161150, 153, 1603imtr3d 294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (∫2𝐹) ≤ 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
162161con4d 115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
16310adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
164 pnfge 12513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → (∫2𝐹) ≤ +∞)
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∫2𝐹) ≤ +∞)
166 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝑥 = +∞)
167165, 166breqtrrd 5085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∫2𝐹) ≤ 𝑥)
168167a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
169 1nn 11637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
170169ne0ii 4300 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ ≠ ∅
171 r19.2z 4436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥) → ∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
172170, 171mpan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
17337adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
174 mnflt 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → -∞ < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
175 rexr 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
176 xrltnle 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*) → (-∞ < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞))
17715, 175, 176sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → (-∞ < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞))
178174, 177mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞)
179173, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞)
180 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 = -∞)
181180breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞))
182179, 181mtbird 326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
183182nrexdv 3267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
184183pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
185172, 184syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
186162, 168, 1853jaodan 1422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
187123, 186sylan2b 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
188187ralrimiva 3179 . . . . . . . . . 10 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
189188adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
190109, 83eqeltrrid 2915 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
191122, 189, 190rspcdva 3622 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
192118, 191mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
193192, 109breqtrrdi 5099 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))
194 itg2ub 24261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔𝑛) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑔𝑛) ∘r𝐹) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹))
1951943expia 1113 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔𝑛) ∈ dom ∫1) → ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
19674, 195sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
197196anassrs 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
198197adantrd 492 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
199198ralimdva 3174 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
200199impr 455 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹))
201 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))
20289, 201, 101fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑔𝑚)))
203202breq1d 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹)))
204203ralbiia 3161 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
20589breq1d 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹)))
206205cbvralvw 3447 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
207204, 206bitr4i 279 . . . . . . . . 9 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹))
208200, 207sylibr 235 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹))
209 ffn 6507 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) Fn ℕ)
210 breq1 5060 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) → (𝑧 ≤ (∫2𝐹) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹)))
211210ralrn 6846 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹)))
21278, 209, 2113syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹)))
213208, 212mpbird 258 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹))
214 supxrleub 12707 . . . . . . . 8 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹)))
21581, 73, 214syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹)))
216213, 215mpbird 258 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))
21773, 83, 193, 216xrletrid 12536 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))
21869, 72, 2173jca 1120 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < )))
219218ex 413 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))))
220219eximdv 1909 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))))
22168, 220mpd 15 1 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘r𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  r cofr 7397  m cmap 8395  supcsup 8892  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  +crp 12377  [,]cicc 12729  1citg1 24143  2citg2 24144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-xmet 20466  df-met 20467  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator