MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2seq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2seq 23730
Description: Definitional property of the 2 integral: for any function 𝐹 there is a countable sequence 𝑔 of simple functions less than 𝐹 whose integrals converge to the integral of 𝐹. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 23743, but unlike that theorem this one doesn't require 𝐹 to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2seq (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < )))
Distinct variable group:   𝑔,𝑛,𝐹

Proof of Theorem itg2seq
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 11230 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
21ad2antlr 700 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑛 ∈ ℝ)
3 ltpnf 12160 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 < +∞)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑛 < +∞)
5 iftrue 4232 . . . . . . . . . . 11 ((∫2𝐹) = +∞ → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = 𝑛)
65adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = 𝑛)
7 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) = +∞)
84, 6, 73brtr4d 4819 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹))
9 iffalse 4235 . . . . . . . . . . 11 (¬ (∫2𝐹) = +∞ → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))
109adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))
11 itg2cl 23720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
12 xrrebnd 12205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → ((∫2𝐹) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) < +∞)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) < +∞)))
14 itg2ge0 23723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))
15 mnflt0 12165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ < 0
16 mnfxr 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ ∈ ℝ*
17 0xr 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ*
18 xrltletr 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2𝐹)) → -∞ < (∫2𝐹)))
1916, 17, 18mp3an12 1562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2𝐹)) → -∞ < (∫2𝐹)))
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2𝐹)) → -∞ < (∫2𝐹)))
2115, 20mpani 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (0 ≤ (∫2𝐹) → -∞ < (∫2𝐹)))
2214, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → -∞ < (∫2𝐹))
2322biantrurd 518 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) < +∞ ↔ (-∞ < (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) < +∞)))
24 nltpnft 12201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → ((∫2𝐹) = +∞ ↔ ¬ (∫2𝐹) < +∞))
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) = +∞ ↔ ¬ (∫2𝐹) < +∞))
2625con2bid 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) < +∞ ↔ ¬ (∫2𝐹) = +∞))
2713, 23, 263bitr2rd 297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (¬ (∫2𝐹) = +∞ ↔ (∫2𝐹) ∈ ℝ))
2827biimpa 462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
2928adantlr 688 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
30 nnrp 12046 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
3130rpreccld 12086 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3231ad2antlr 700 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3329, 32ltsubrpd 12108 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)) < (∫2𝐹))
3410, 33eqbrtrd 4809 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹))
358, 34pm2.61dan 807 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹))
36 nnrecre 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3736ad2antlr 700 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3829, 37resubcld 10661 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
392, 38ifclda 4260 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
4039rexrd 10292 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
4111adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
42 xrltnle 10308 . . . . . . . . 9 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
4340, 41, 42syl2anc 567 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
4435, 43mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
45 itg2leub 23722 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
4640, 45syldan 573 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
4744, 46mtbid 313 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
48 rexanali 3146 . . . . . 6 (∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
4947, 48sylibr 224 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
50 itg1cl 23673 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
51 ltnle 10320 . . . . . . . 8 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ ∧ (∫1𝑓) ∈ ℝ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓) ↔ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
5239, 50, 51syl2an 577 . . . . . . 7 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓) ↔ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
5352anbi2d 608 . . . . . 6 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) ↔ (𝑓𝑟𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
5453rexbidva 3197 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
5549, 54mpbird 247 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)))
5655ralrimiva 3115 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)))
57 ovex 6824 . . . . 5 (ℝ ↑𝑚 ℝ) ∈ V
58 i1ff 23664 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ dom ∫1𝑥:ℝ⟶ℝ)
59 reex 10230 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6059, 59elmap 8039 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 ℝ) ↔ 𝑥:ℝ⟶ℝ)
6158, 60sylibr 224 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 ℝ))
6261ssriv 3757 . . . . 5 dom ∫1 ⊆ (ℝ ↑𝑚 ℝ)
6357, 62ssexi 4938 . . . 4 dom ∫1 ∈ V
64 nnenom 12988 . . . 4 ℕ ≈ ω
65 breq1 4790 . . . . 5 (𝑓 = (𝑔𝑛) → (𝑓𝑟𝐹 ↔ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹))
66 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔𝑛) → (∫1𝑓) = (∫1‘(𝑔𝑛)))
6766breq2d 4799 . . . . 5 (𝑓 = (𝑔𝑛) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓) ↔ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))
6865, 67anbi12d 610 . . . 4 (𝑓 = (𝑔𝑛) → ((𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) ↔ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))))
6963, 64, 68axcc4 9464 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))))
7056, 69syl 17 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))))
71 simprl 748 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
72 simpl 468 . . . . . . 7 (((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹)
7372ralimi 3101 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹)
7473ad2antll 702 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹)
7540adantlr 688 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
76 ffvelrn 6501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ dom ∫1)
77 itg1cl 23673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔𝑛) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ)
7978adantll 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ)
8079rexrd 10292 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ*)
81 xrltle 12188 . . . . . . . . . . . . 13 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ*) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛))))
8275, 80, 81syl2anc 567 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛))))
83 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑚 → (𝑔𝑛) = (𝑔𝑚))
8483fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → (∫1‘(𝑔𝑛)) = (∫1‘(𝑔𝑚)))
8584cbvmptv 4885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))
8685rneqi 5491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) = ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))
87 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))
8878, 87fmptd 6528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ)
8988adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ)
90 frn 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ)
92 ressxr 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℝ*
9391, 92syl6ss 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ*)
9493adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ*)
9586, 94syl5eqssr 3800 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) ⊆ ℝ*)
96 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (𝑔𝑚) = (𝑔𝑛))
9796fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → (∫1‘(𝑔𝑚)) = (∫1‘(𝑔𝑛)))
98 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))
99 fvex 6343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ V
10097, 98, 99fvmpt 6425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))‘𝑛) = (∫1‘(𝑔𝑛)))
101 fvex 6343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∫1‘(𝑔𝑚)) ∈ V
102101, 98fnmpti 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) Fn ℕ
103 fnfvelrn 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) Fn ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))‘𝑛) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
104102, 103mpan 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))‘𝑛) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
105100, 104eqeltrrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
106105adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
107 supxrub 12360 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) ⊆ ℝ* ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
10895, 106, 107syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
10986supeq1i 8510 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )
110 supxrcl 12351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11194, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
112109, 111syl5eqelr 2855 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
113 xrletr 12195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ* ∧ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
11475, 80, 112, 113syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
115108, 114mpan2d 668 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
11682, 115syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
117116adantld 474 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
118117ralimdva 3111 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
119118impr 442 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
120 breq2 4791 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
121120ralbidv 3135 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
122 breq2 4791 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → ((∫2𝐹) ≤ 𝑥 ↔ (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
123121, 122imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → ((∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥) ↔ (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))))
124 elxr 12156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
125 simplrl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
126 arch 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
1285adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = 𝑛)
129128breq2d 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ 𝑥 < 𝑛))
130129rexbidv 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛))
131127, 130mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
13228adantlr 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
133 simplrl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
134132, 133resubcld 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ((∫2𝐹) − 𝑥) ∈ ℝ)
135 simplrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑥 < (∫2𝐹))
136133, 132posdifd 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (𝑥 < (∫2𝐹) ↔ 0 < ((∫2𝐹) − 𝑥)))
137135, 136mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → 0 < ((∫2𝐹) − 𝑥))
138 nnrecl 11493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((∫2𝐹) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((∫2𝐹) − 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥))
139134, 137, 138syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥))
14036adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
141132adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
142133adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
143 ltsub13 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ 𝑥 < ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
144140, 141, 142, 143syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ 𝑥 < ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
1459ad2antlr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))
146145breq2d 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ 𝑥 < ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
147144, 146bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
148147rexbidva 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
149139, 148mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
150131, 149pm2.61dan 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
151150expr 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (∫2𝐹) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
152 rexr 10288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
153 xrltnle 10308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → (𝑥 < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
154152, 11, 153syl2anr 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
155152ad2antlr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
15640adantlr 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
157 xrltnle 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
158155, 156, 157syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
159158rexbidva 3197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
160 rexnal 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
161159, 160syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
162151, 154, 1613imtr3d 282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (∫2𝐹) ≤ 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
163162con4d 115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
16411adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
165 pnfge 12170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → (∫2𝐹) ≤ +∞)
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∫2𝐹) ≤ +∞)
167 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝑥 = +∞)
168166, 167breqtrrd 4815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∫2𝐹) ≤ 𝑥)
169168a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
170 1nn 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
171170ne0ii 4072 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ ≠ ∅
172 r19.2z 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥) → ∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
173171, 172mpan 664 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
17439adantlr 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
175 mnflt 12163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → -∞ < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
176 rexr 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
177 xrltnle 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*) → (-∞ < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞))
17816, 176, 177sylancr 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → (-∞ < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞))
179175, 178mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞)
180174, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞)
181 simplr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 = -∞)
182181breq2d 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞))
183180, 182mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
184183nrexdv 3149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
185184pm2.21d 119 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
186173, 185syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
187163, 169, 1863jaodan 1542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
188124, 187sylan2b 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
189188ralrimiva 3115 . . . . . . . . . 10 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
190189adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
19188ad2antrl 701 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ)
192191, 90syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ)
193192, 92syl6ss 3765 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ*)
194193, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
195109, 194syl5eqelr 2855 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
196123, 190, 195rspcdva 3467 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
197119, 196mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
198197, 109syl6breqr 4829 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))
199 itg2ub 23721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔𝑛) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹))
2001993expia 1114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔𝑛) ∈ dom ∫1) → ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
20176, 200sylan2 574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
202201anassrs 458 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
203202adantrd 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
204203ralimdva 3111 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
205204impr 442 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹))
20684, 87, 101fvmpt 6425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑔𝑚)))
207206breq1d 4797 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹)))
208207ralbiia 3128 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
20984breq1d 4797 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹)))
210209cbvralv 3320 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
211208, 210bitr4i 267 . . . . . . . . 9 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹))
212205, 211sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹))
213 ffn 6186 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) Fn ℕ)
214 breq1 4790 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) → (𝑧 ≤ (∫2𝐹) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹)))
215214ralrn 6506 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹)))
216191, 213, 2153syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹)))
217212, 216mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹))
21811adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
219 supxrleub 12362 . . . . . . . 8 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹)))
220193, 218, 219syl2anc 567 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹)))
221217, 220mpbird 247 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))
22211adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
22393, 110syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
224 xrletri3 12191 . . . . . . . 8 (((∫2𝐹) ∈ ℝ* ∧ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ↔ ((∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∧ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))))
225222, 223, 224syl2anc 567 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → ((∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ↔ ((∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∧ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))))
226225adantrr 690 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ((∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ↔ ((∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∧ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))))
227198, 221, 226mpbir2and 686 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))
22871, 74, 2273jca 1122 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < )))
229228ex 397 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))))
230229eximdv 1998 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))))
23170, 230mpd 15 1 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3o 1070  w3a 1071   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  wss 3724  c0 4064  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  ran crn 5251   Fn wfn 6027  wf 6028  cfv 6032  (class class class)co 6794  𝑟 cofr 7044  𝑚 cmap 8010  supcsup 8503  cr 10138  0cc0 10139  1c1 10140  +∞cpnf 10274  -∞cmnf 10275  *cxr 10276   < clt 10277  cle 10278  cmin 10469   / cdiv 10887  cn 11223  +crp 12036  [,]cicc 12384  1citg1 23604  2citg2 23605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cc 9460  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-ofr 7046  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12037  df-xadd 12153  df-ioo 12385  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-fl 12802  df-seq 13010  df-exp 13069  df-hash 13323  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-clim 14428  df-sum 14626  df-xmet 19955  df-met 19956  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23608  df-itg1 23609  df-itg2 23610
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator