Theorem rngqiprngfulem2 21340

Description: Lemma 2 for rngqiprngfu 21345 (and lemma for rngqiprngu 21346). (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rngqiprngfulem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rngqiprngfu.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rngqiprngfu.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rngqiprngfu.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rngqiprngfu.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rngqiprngfu.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rngqiprngfu.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8		rngqiprngfu.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9		rngqiprngfu.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10		rngqiprngfu.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	rngqiprngfulem1 21339	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ )
12		rngqiprngfu.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
14		eleq2 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) ↔ 𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ))
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ) → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) ↔ 𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ))
16		elecg 8788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (1r‘𝑄) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ↔ 𝑥 ∼ 𝐸))
17	12, 16	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ↔ 𝑥 ∼ 𝐸))
18		rngabl 20173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
20		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
21	5, 20	2idlss 21290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
22	2, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
23	19, 22	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵))
25		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
26	5, 25, 8	eqgabl 19867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∼ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸(-g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))
27	24, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∼ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸(-g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))
28		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸(-g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ 𝐵)
29	27, 28	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∼ 𝐸 → 𝐸 ∈ 𝐵))
30	17, 29	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
32	15, 31	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ) → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) → 𝐸 ∈ 𝐵))
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) → 𝐸 ∈ 𝐵)))
34	13, 33	mpid 44	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
35	34	rexlimdva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
36	11, 35	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17299   /_s cqus 17552  -_gcsg 18966   ~_QG cqg 19153  Abelcabl 19814  Rngcrng 20170  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  2Idealc2idl 21277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-eqg 19156  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-2idl 21278

This theorem is referenced by:  rngqiprngfulem3  21341  rngqiprngfulem4  21342  rngqiprngfulem5  21343