Theorem rngqiprngfulem2 21482

Description: Lemma 2 for rngqiprngfu 21487 (and lemma for rngqiprngu 21488). (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rngqiprngfulem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rngqiprngfu.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rngqiprngfu.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rngqiprngfu.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rngqiprngfu.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rngqiprngfu.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rngqiprngfu.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8		rngqiprngfu.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9		rngqiprngfu.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10		rngqiprngfu.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	rngqiprngfulem1 21481	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ )
12		rngqiprngfu.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
14		eleq2 2854	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) ↔ 𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ))
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ) → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) ↔ 𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ))
16		elecg 8741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (1r‘𝑄) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ↔ 𝑥 ∼ 𝐸))
17	12, 16	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ↔ 𝑥 ∼ 𝐸))
18		rngabl 20257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
19	1, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
20		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
21	5, 20	2idlss 21431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
22	2, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
23	19, 22	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵))
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵))
25		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
26	5, 25, 8	eqgabl 19928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∼ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸(-g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))
27	24, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∼ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸(-g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))
28		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸(-g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ 𝐵)
29	27, 28	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∼ 𝐸 → 𝐸 ∈ 𝐵))
30	17, 29	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
32	15, 31	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ) → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) → 𝐸 ∈ 𝐵))
33	32	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) → 𝐸 ∈ 𝐵)))
34	13, 33	mpid 45	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
35	34	rexlimdva 3168	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
36	11, 35	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  [cec 8694  Basecbs 17287   ↾_s cress 17308  ._rcmulr 17329   /_s cqus 17577  -_gcsg 19026   ~_QG cqg 19212  Abelcabl 19875  Rngcrng 20254  1_rcur 20287  Ringcrg 20339  2Idealc2idl 21418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-0g 17512  df-imas 17580  df-qus 17581  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-eqg 19215  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-lss 21083  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-lidl 21362  df-2idl 21419

This theorem is used by:  rngqiprngfulem3  21483  rngqiprngfulem4  21484  rngqiprngfulem5  21485