Theorem rngqiprngfulem2 21433

Description: Lemma 2 for rngqiprngfu 21438 (and lemma for rngqiprngu 21439). (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rngqiprngfulem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rngqiprngfu.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rngqiprngfu.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rngqiprngfu.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rngqiprngfu.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rngqiprngfu.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rngqiprngfu.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8		rngqiprngfu.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9		rngqiprngfu.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10		rngqiprngfu.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	rngqiprngfulem1 21432	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ )
12		rngqiprngfu.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
14		eleq2 2852	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) ↔ 𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ))
15	14	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ) → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) ↔ 𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ))
16		elecg 8740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (1r‘𝑄) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ↔ 𝑥 ∼ 𝐸))
17	12, 16	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ↔ 𝑥 ∼ 𝐸))
18		rngabl 20234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
19	1, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
20		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
21	5, 20	2idlss 21382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
22	2, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
23	19, 22	jca 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵))
24	23	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵))
25		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
26	5, 25, 8	eqgabl 19905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∼ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸(-g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))
27	24, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∼ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸(-g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))
28		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸(-g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ 𝐵)
29	27, 28	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∼ 𝐸 → 𝐸 ∈ 𝐵))
30	17, 29	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
31	30	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
32	15, 31	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ) → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) → 𝐸 ∈ 𝐵))
33	32	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) → 𝐸 ∈ 𝐵)))
34	13, 33	mpid 45	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
35	34	rexlimdva 3166	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
36	11, 35	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  [cec 8693  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  ._rcmulr 17312   /_s cqus 17560  -_gcsg 19003   ~_QG cqg 19189  Abelcabl 19852  Rngcrng 20231  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  2Idealc2idl 21369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-0g 17495  df-imas 17563  df-qus 17564  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-eqg 19192  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-lss 21034  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-lidl 21313  df-2idl 21370

This theorem is referenced by:  rngqiprngfulem3  21434  rngqiprngfulem4  21435  rngqiprngfulem5  21436