Theorem rngqiprngfulem2 21310

Description: Lemma 2 for rngqiprngfu 21315 (and lemma for rngqiprngu 21316). (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rngqiprngfulem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rngqiprngfu.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rngqiprngfu.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rngqiprngfu.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rngqiprngfu.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rngqiprngfu.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rngqiprngfu.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8		rngqiprngfu.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9		rngqiprngfu.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10		rngqiprngfu.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	rngqiprngfulem1 21309	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ )
12		rngqiprngfu.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
14		eleq2 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) ↔ 𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ))
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ) → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) ↔ 𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ))
16		elecg 8688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (1r‘𝑄) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ↔ 𝑥 ∼ 𝐸))
17	12, 16	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ ↔ 𝑥 ∼ 𝐸))
18		rngabl 20136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
20		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
21	5, 20	2idlss 21260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
22	2, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
23	19, 22	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵))
25		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
26	5, 25, 8	eqgabl 19809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∼ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸(-g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))
27	24, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∼ 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸(-g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼)))
28		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸(-g‘𝑅)𝑥) ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ 𝐵)
29	27, 28	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∼ 𝐸 → 𝐸 ∈ 𝐵))
30	17, 29	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ) → (𝐸 ∈ [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
32	15, 31	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ) → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) → 𝐸 ∈ 𝐵))
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → (𝐸 ∈ (1r‘𝑄) → 𝐸 ∈ 𝐵)))
34	13, 33	mpid 44	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
35	34	rexlimdva 3138	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ → 𝐸 ∈ 𝐵))
36	11, 35	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  [cec 8641  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221   /_s cqus 17469  -_gcsg 18911   ~_QG cqg 19098  Abelcabl 19756  Rngcrng 20133  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  2Idealc2idl 21247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-0g 17404  df-imas 17472  df-qus 17473  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-eqg 19101  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-2idl 21248

This theorem is referenced by:  rngqiprngfulem3  21311  rngqiprngfulem4  21312  rngqiprngfulem5  21313