MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptsmscls Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgptsmscls 23645
Description: A sum in a topological group is uniquely determined up to a coset of cls({0}), which is a normal subgroup by clsnsg 23605, 0nsg 19043. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgptsmscls.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tgptsmscls.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tgptsmscls.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tgptsmscls.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
tgptsmscls.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tgptsmscls.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tgptsmscls.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgptsmscls (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
Proof of Theorem tgptsmscls
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgptsmscls.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
21adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
3 tgpgrp 23573 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
650subg 19025 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
8 tgptsmscls.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
98clssubg 23604 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
102, 7, 9syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
11 tgptsmscls.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
12 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) = (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
1311, 12eqger 19052 . . . . . . . 8 (((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) Er 𝐡)
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) Er 𝐡)
15 tgptsmscls.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
16 tgptps 23575 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
18 tgptsmscls.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
19 tgptsmscls.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
2011, 15, 17, 18, 19tsmscl 23630 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† 𝐡)
2120sselda 3981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
22 tgptsmscls.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2320, 22sseldd 3982 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
25 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
2615adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
2718adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2819adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
2922adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
30 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
3111, 25, 26, 2, 27, 28, 28, 29, 30tsmssub 23644 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹)))
3228ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡)
3328feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
3427, 32, 32, 33, 33offval2 7686 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)(-gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘˜))))
354adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3611, 5, 25grpsubid 18903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(-gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘˜)) = (0gβ€˜πΊ))
3735, 32, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(-gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘˜)) = (0gβ€˜πΊ))
3837mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)(-gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))
3934, 38eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))
4039oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹)) = (𝐺 tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))))
412, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
4211, 5grpidcl 18846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
434, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
4544fmpttd 7111 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)):𝐴⟢𝐡)
46 fconstmpt 5736 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))
47 fvexd 6903 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
4818, 47fczfsuppd 9377 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) finSupp (0gβ€˜πΊ))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐴 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) finSupp (0gβ€˜πΊ))
5046, 49eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)) finSupp (0gβ€˜πΊ))
5111, 5, 26, 41, 27, 45, 50, 8tsmsgsum 23634 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))}))
52 cmnmnd 19659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5326, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
545gsumz 18713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))) = (0gβ€˜πΊ))
5553, 27, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))) = (0gβ€˜πΊ))
5655sneqd 4639 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ {(𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))} = {(0gβ€˜πΊ)})
5756fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))}) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
5840, 51, 573eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹)) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
5931, 58eleqtrd 2835 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
60 isabl 19646 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
614, 26, 60sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
6211subgss 19001 . . . . . . . . . 10 (((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) βŠ† 𝐡)
6310, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) βŠ† 𝐡)
6411, 25, 12eqgabl 19696 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))𝑋 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))))
6561, 63, 64syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘₯(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))𝑋 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))))
6621, 24, 59, 65mpbir3and 1342 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))𝑋)
6714, 66ersym 8711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝑋(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))π‘₯)
6812releqg 19049 . . . . . . 7 Rel (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
69 relelec 8744 . . . . . . 7 (Rel (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) β†’ (π‘₯ ∈ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))π‘₯))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))π‘₯)
7167, 70sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})))
72 eqid 2732 . . . . . . 7 ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})
7311, 8, 5, 12, 72snclseqg 23611 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) = ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
742, 24, 73syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) = ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
7571, 74eleqtrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
7675ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋})))
7776ssrdv 3987 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
7811, 8, 15, 17, 18, 19, 22tsmscls 23633 . 2 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}) βŠ† (𝐺 tsums 𝐹))
7977, 78eqssd 3998 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  Rel wrel 5680  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664   Er wer 8696  [cec 8697   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  TopOpenctopn 17363  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  SubGrpcsubg 18994   ~QG cqg 18996  CMndccmn 19642  Abelcabl 19643  TopSpctps 22425  clsccl 22513  TopGrpctgp 23566   tsums ctsu 23621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-tsms 23622
This theorem is referenced by:  tgptsmscld  23646
  Copyright terms: Public domain W3C validator