MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptsmscls Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgptsmscls 23661
Description: A sum in a topological group is uniquely determined up to a coset of cls({0}), which is a normal subgroup by clsnsg 23621, 0nsg 19051. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgptsmscls.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tgptsmscls.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tgptsmscls.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tgptsmscls.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
tgptsmscls.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tgptsmscls.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tgptsmscls.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgptsmscls (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
Proof of Theorem tgptsmscls
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgptsmscls.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
21adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
3 tgpgrp 23589 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
650subg 19033 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
8 tgptsmscls.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
98clssubg 23620 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
102, 7, 9syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
11 tgptsmscls.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
12 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) = (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
1311, 12eqger 19060 . . . . . . . 8 (((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) Er 𝐡)
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) Er 𝐡)
15 tgptsmscls.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
16 tgptps 23591 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
18 tgptsmscls.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
19 tgptsmscls.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
2011, 15, 17, 18, 19tsmscl 23646 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† 𝐡)
2120sselda 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
22 tgptsmscls.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2320, 22sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
25 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
2615adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
2718adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2819adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
2922adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
30 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
3111, 25, 26, 2, 27, 28, 28, 29, 30tsmssub 23660 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹)))
3228ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡)
3328feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
3427, 32, 32, 33, 33offval2 7692 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)(-gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘˜))))
354adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3611, 5, 25grpsubid 18909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(-gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘˜)) = (0gβ€˜πΊ))
3735, 32, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(-gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘˜)) = (0gβ€˜πΊ))
3837mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)(-gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))
3934, 38eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))
4039oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹)) = (𝐺 tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))))
412, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
4211, 5grpidcl 18852 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
434, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
4544fmpttd 7116 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)):𝐴⟢𝐡)
46 fconstmpt 5738 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))
47 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
4818, 47fczfsuppd 9383 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) finSupp (0gβ€˜πΊ))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐴 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) finSupp (0gβ€˜πΊ))
5046, 49eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)) finSupp (0gβ€˜πΊ))
5111, 5, 26, 41, 27, 45, 50, 8tsmsgsum 23650 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))}))
52 cmnmnd 19667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5326, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
545gsumz 18719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))) = (0gβ€˜πΊ))
5553, 27, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))) = (0gβ€˜πΊ))
5655sneqd 4640 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ {(𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))} = {(0gβ€˜πΊ)})
5756fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))}) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
5840, 51, 573eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹)) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
5931, 58eleqtrd 2835 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
60 isabl 19654 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
614, 26, 60sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
6211subgss 19009 . . . . . . . . . 10 (((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) βŠ† 𝐡)
6310, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) βŠ† 𝐡)
6411, 25, 12eqgabl 19704 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))𝑋 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))))
6561, 63, 64syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘₯(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))𝑋 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))))
6621, 24, 59, 65mpbir3and 1342 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))𝑋)
6714, 66ersym 8717 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝑋(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))π‘₯)
6812releqg 19057 . . . . . . 7 Rel (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
69 relelec 8750 . . . . . . 7 (Rel (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) β†’ (π‘₯ ∈ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))π‘₯))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))π‘₯)
7167, 70sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})))
72 eqid 2732 . . . . . . 7 ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})
7311, 8, 5, 12, 72snclseqg 23627 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) = ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
742, 24, 73syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) = ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
7571, 74eleqtrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
7675ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋})))
7776ssrdv 3988 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
7811, 8, 15, 17, 18, 19, 22tsmscls 23649 . 2 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}) βŠ† (𝐺 tsums 𝐹))
7977, 78eqssd 3999 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  Rel wrel 5681  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   Er wer 8702  [cec 8703   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17146  TopOpenctopn 17369  0gc0g 17387   Ξ£g cgsu 17388  Mndcmnd 18627  Grpcgrp 18821  -gcsg 18823  SubGrpcsubg 19002   ~QG cqg 19004  CMndccmn 19650  Abelcabl 19651  TopSpctps 22441  clsccl 22529  TopGrpctgp 23582   tsums ctsu 23637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-plusf 18562  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-eqg 19007  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-tmd 23583  df-tgp 23584  df-tsms 23638
This theorem is referenced by:  tgptsmscld  23662
  Copyright terms: Public domain W3C validator