MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptsmscls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgptsmscls 23517
Description: A sum in a topological group is uniquely determined up to a coset of cls({0}), which is a normal subgroup by clsnsg 23477, 0nsg 18976. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgptsmscls.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tgptsmscls.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tgptsmscls.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tgptsmscls.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
tgptsmscls.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tgptsmscls.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tgptsmscls.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgptsmscls (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))

Proof of Theorem tgptsmscls
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgptsmscls.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
21adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
3 tgpgrp 23445 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
650subg 18958 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
8 tgptsmscls.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
98clssubg 23476 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ {(0gβ€˜πΊ)} ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
102, 7, 9syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
11 tgptsmscls.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) = (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
1311, 12eqger 18985 . . . . . . . 8 (((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) Er 𝐡)
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) Er 𝐡)
15 tgptsmscls.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
16 tgptps 23447 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
18 tgptsmscls.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
19 tgptsmscls.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
2011, 15, 17, 18, 19tsmscl 23502 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† 𝐡)
2120sselda 3945 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
22 tgptsmscls.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2320, 22sseldd 3946 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2423adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
25 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
2615adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
2718adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
2819adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
2922adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
30 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
3111, 25, 26, 2, 27, 28, 28, 29, 30tsmssub 23516 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹)))
3228ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡)
3328feqmptd 6911 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
3427, 32, 32, 33, 33offval2 7638 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)(-gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘˜))))
354adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3611, 5, 25grpsubid 18836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(-gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘˜)) = (0gβ€˜πΊ))
3735, 32, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)(-gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘˜)) = (0gβ€˜πΊ))
3837mpteq2dva 5206 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)(-gβ€˜πΊ)(πΉβ€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))
3934, 38eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))
4039oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹)) = (𝐺 tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))))
412, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
4211, 5grpidcl 18783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
434, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
4443adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
4544fmpttd 7064 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)):𝐴⟢𝐡)
46 fconstmpt 5695 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))
47 fvexd 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
4818, 47fczfsuppd 9328 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) finSupp (0gβ€˜πΊ))
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐴 Γ— {(0gβ€˜πΊ)}) finSupp (0gβ€˜πΊ))
5046, 49eqbrtrrid 5142 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)) finSupp (0gβ€˜πΊ))
5111, 5, 26, 41, 27, 45, 50, 8tsmsgsum 23506 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))}))
52 cmnmnd 19584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5326, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
545gsumz 18651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))) = (0gβ€˜πΊ))
5553, 27, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ))) = (0gβ€˜πΊ))
5655sneqd 4599 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ {(𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))} = {(0gβ€˜πΊ)})
5756fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (0gβ€˜πΊ)))}) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
5840, 51, 573eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (-gβ€˜πΊ)𝐹)) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
5931, 58eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
60 isabl 19571 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
614, 26, 60sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
6211subgss 18934 . . . . . . . . . 10 (((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) βŠ† 𝐡)
6310, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) βŠ† 𝐡)
6411, 25, 12eqgabl 19618 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))𝑋 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))))
6561, 63, 64syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘₯(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))𝑋 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))))
6621, 24, 59, 65mpbir3and 1343 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))𝑋)
6714, 66ersym 8663 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝑋(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))π‘₯)
6812releqg 18982 . . . . . . 7 Rel (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))
69 relelec 8696 . . . . . . 7 (Rel (𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) β†’ (π‘₯ ∈ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))π‘₯))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) ↔ 𝑋(𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}))π‘₯)
7167, 70sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})))
72 eqid 2733 . . . . . . 7 ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)}) = ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})
7311, 8, 5, 12, 72snclseqg 23483 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) = ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
742, 24, 73syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ [𝑋](𝐺 ~QG ((clsβ€˜π½)β€˜{(0gβ€˜πΊ)})) = ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
7571, 74eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
7675ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋})))
7776ssrdv 3951 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
7811, 8, 15, 17, 18, 19, 22tsmscls 23505 . 2 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}) βŠ† (𝐺 tsums 𝐹))
7977, 78eqssd 3962 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((clsβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  Rel wrel 5639  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616   Er wer 8648  [cec 8649   finSupp cfsupp 9308  Basecbs 17088  TopOpenctopn 17308  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561  Grpcgrp 18753  -gcsg 18755  SubGrpcsubg 18927   ~QG cqg 18929  CMndccmn 19567  Abelcabl 19568  TopSpctps 22297  clsccl 22385  TopGrpctgp 23438   tsums ctsu 23493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-ec 8653  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-plusf 18501  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-eqg 18932  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494
This theorem is referenced by:  tgptsmscld  23518
  Copyright terms: Public domain W3C validator