MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zndvds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem zndvds 21105
Description: Express equality of equivalence classes in β„€ / 𝑛℀ in terms of divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zncyg.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
zndvds.2 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
zndvds ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π΅) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
Proof of Theorem zndvds
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2740 . 2 ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π΅) ↔ (πΏβ€˜π΅) = (πΏβ€˜π΄))
2 eqid 2733 . . . . . 6 (RSpanβ€˜β„€ring) = (RSpanβ€˜β„€ring)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) = (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))
4 zncyg.y . . . . . 6 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
5 zndvds.2 . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
62, 3, 4, 5znzrhval 21102 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΅) = [𝐡](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))
763adant2 1132 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΅) = [𝐡](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))
82, 3, 4, 5znzrhval 21102 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΄) = [𝐴](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))
983adant3 1133 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΄) = [𝐴](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))
107, 9eqeq12d 2749 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΅) = (πΏβ€˜π΄) ↔ [𝐡](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) = [𝐴](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
11 zringring 21020 . . . . . 6 β„€ring ∈ Ring
12 nn0z 12583 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
13123ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1413snssd 4813 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ {𝑁} βŠ† β„€)
15 zringbas 21023 . . . . . . . 8 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
16 eqid 2733 . . . . . . . 8 (LIdealβ€˜β„€ring) = (LIdealβ€˜β„€ring)
172, 15, 16rspcl 20847 . . . . . . 7 ((β„€ring ∈ Ring ∧ {𝑁} βŠ† β„€) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (LIdealβ€˜β„€ring))
1811, 14, 17sylancr 588 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (LIdealβ€˜β„€ring))
1916lidlsubg 20838 . . . . . 6 ((β„€ring ∈ Ring ∧ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (LIdealβ€˜β„€ring)) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (SubGrpβ€˜β„€ring))
2011, 18, 19sylancr 588 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (SubGrpβ€˜β„€ring))
2115, 3eqger 19058 . . . . 5 (((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (SubGrpβ€˜β„€ring) β†’ (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) Er β„€)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) Er β„€)
23 simp3 1139 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
2422, 23erth 8752 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐡(β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))𝐴 ↔ [𝐡](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) = [𝐴](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
25 zringabl 21021 . . . . 5 β„€ring ∈ Abel
2615, 16lidlss 20833 . . . . . 6 (((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (LIdealβ€˜β„€ring) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) βŠ† β„€)
2718, 26syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) βŠ† β„€)
28 eqid 2733 . . . . . 6 (-gβ€˜β„€ring) = (-gβ€˜β„€ring)
2915, 28, 3eqgabl 19702 . . . . 5 ((β„€ring ∈ Abel ∧ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) βŠ† β„€) β†’ (𝐡(β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
3025, 27, 29sylancr 588 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐡(β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
31 simp2 1138 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
3223, 31jca 513 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€))
3332biantrurd 534 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ↔ ((𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
34 df-3an 1090 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) ↔ ((𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))
3533, 34bitr4di 289 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ↔ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
36 zsubrg 20998 . . . . . . . . 9 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
37 subrgsubg 20325 . . . . . . . . 9 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
3836, 37mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
39 cnfldsub 20973 . . . . . . . . 9 βˆ’ = (-gβ€˜β„‚fld)
40 df-zring 21018 . . . . . . . . 9 β„€ring = (β„‚fld β†Ύs β„€)
4139, 40, 28subgsub 19018 . . . . . . . 8 ((β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡))
4238, 41syld3an1 1411 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡))
4342eqcomd 2739 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
44 dvdsrzring 21031 . . . . . . . 8 βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜β„€ring)
4515, 2, 44rspsn 20892 . . . . . . 7 ((β„€ring ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) = {π‘₯ ∣ 𝑁 βˆ₯ π‘₯})
4611, 13, 45sylancr 588 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) = {π‘₯ ∣ 𝑁 βˆ₯ π‘₯})
4743, 46eleq12d 2828 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ {π‘₯ ∣ 𝑁 βˆ₯ π‘₯}))
48 ovex 7442 . . . . . 6 (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ V
49 breq2 5153 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝐴 βˆ’ 𝐡) β†’ (𝑁 βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
5048, 49elab 3669 . . . . 5 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ {π‘₯ ∣ 𝑁 βˆ₯ π‘₯} ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
5147, 50bitrdi 287 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
5230, 35, 513bitr2d 307 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐡(β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))𝐴 ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
5310, 24, 523bitr2d 307 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΅) = (πΏβ€˜π΄) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
541, 53bitrid 283 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π΅) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   Er wer 8700  [cec 8701   βˆ’ cmin 11444  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558   βˆ₯ cdvds 16197  -gcsg 18821  SubGrpcsubg 19000   ~QG cqg 19002  Abelcabl 19649  Ringcrg 20056  SubRingcsubrg 20315  LIdealclidl 20783  RSpancrsp 20784  β„‚fldccnfld 20944  β„€ringczring 21017  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056
This theorem is referenced by:  zndvds0  21106  znf1o  21107  znunit  21119  cygznlem1  21122  lgsqrlem1  26849  lgsqrlem2  26850  lgsqrlem4  26852  lgsdchrval  26857  lgseisenlem3  26880  lgseisenlem4  26881  dchrisumlem1  26992  dirith  27032
  Copyright terms: Public domain W3C validator