MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zndvds Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem zndvds 21096
Description: Express equality of equivalence classes in β„€ / 𝑛℀ in terms of divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zncyg.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
zndvds.2 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
zndvds ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π΅) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
Proof of Theorem zndvds
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2739 . 2 ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π΅) ↔ (πΏβ€˜π΅) = (πΏβ€˜π΄))
2 eqid 2732 . . . . . 6 (RSpanβ€˜β„€ring) = (RSpanβ€˜β„€ring)
3 eqid 2732 . . . . . 6 (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) = (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))
4 zncyg.y . . . . . 6 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
5 zndvds.2 . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
62, 3, 4, 5znzrhval 21093 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΅) = [𝐡](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))
763adant2 1131 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΅) = [𝐡](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))
82, 3, 4, 5znzrhval 21093 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΄) = [𝐴](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))
983adant3 1132 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΄) = [𝐴](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))
107, 9eqeq12d 2748 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΅) = (πΏβ€˜π΄) ↔ [𝐡](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) = [𝐴](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
11 zringring 21012 . . . . . 6 β„€ring ∈ Ring
12 nn0z 12579 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
13123ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1413snssd 4811 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ {𝑁} βŠ† β„€)
15 zringbas 21015 . . . . . . . 8 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
16 eqid 2732 . . . . . . . 8 (LIdealβ€˜β„€ring) = (LIdealβ€˜β„€ring)
172, 15, 16rspcl 20839 . . . . . . 7 ((β„€ring ∈ Ring ∧ {𝑁} βŠ† β„€) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (LIdealβ€˜β„€ring))
1811, 14, 17sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (LIdealβ€˜β„€ring))
1916lidlsubg 20830 . . . . . 6 ((β„€ring ∈ Ring ∧ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (LIdealβ€˜β„€ring)) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (SubGrpβ€˜β„€ring))
2011, 18, 19sylancr 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (SubGrpβ€˜β„€ring))
2115, 3eqger 19052 . . . . 5 (((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (SubGrpβ€˜β„€ring) β†’ (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) Er β„€)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) Er β„€)
23 simp3 1138 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
2422, 23erth 8748 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐡(β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))𝐴 ↔ [𝐡](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) = [𝐴](β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
25 zringabl 21013 . . . . 5 β„€ring ∈ Abel
2615, 16lidlss 20825 . . . . . 6 (((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ∈ (LIdealβ€˜β„€ring) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) βŠ† β„€)
2718, 26syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) βŠ† β„€)
28 eqid 2732 . . . . . 6 (-gβ€˜β„€ring) = (-gβ€˜β„€ring)
2915, 28, 3eqgabl 19696 . . . . 5 ((β„€ring ∈ Abel ∧ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) βŠ† β„€) β†’ (𝐡(β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
3025, 27, 29sylancr 587 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐡(β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
31 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
3223, 31jca 512 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€))
3332biantrurd 533 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ↔ ((𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
34 df-3an 1089 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})) ↔ ((𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁})))
3533, 34bitr4di 288 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ↔ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))))
36 zsubrg 20990 . . . . . . . . 9 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
37 subrgsubg 20361 . . . . . . . . 9 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
3836, 37mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
39 cnfldsub 20965 . . . . . . . . 9 βˆ’ = (-gβ€˜β„‚fld)
40 df-zring 21010 . . . . . . . . 9 β„€ring = (β„‚fld β†Ύs β„€)
4139, 40, 28subgsub 19012 . . . . . . . 8 ((β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡))
4238, 41syld3an1 1410 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡))
4342eqcomd 2738 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
44 dvdsrzring 21022 . . . . . . . 8 βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜β„€ring)
4515, 2, 44rspsn 20884 . . . . . . 7 ((β„€ring ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) = {π‘₯ ∣ 𝑁 βˆ₯ π‘₯})
4611, 13, 45sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) = {π‘₯ ∣ 𝑁 βˆ₯ π‘₯})
4743, 46eleq12d 2827 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ {π‘₯ ∣ 𝑁 βˆ₯ π‘₯}))
48 ovex 7438 . . . . . 6 (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ V
49 breq2 5151 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝐴 βˆ’ 𝐡) β†’ (𝑁 βˆ₯ π‘₯ ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
5048, 49elab 3667 . . . . 5 ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ {π‘₯ ∣ 𝑁 βˆ₯ π‘₯} ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
5147, 50bitrdi 286 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴(-gβ€˜β„€ring)𝐡) ∈ ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
5230, 35, 513bitr2d 306 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐡(β„€ring ~QG ((RSpanβ€˜β„€ring)β€˜{𝑁}))𝐴 ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
5310, 24, 523bitr2d 306 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΅) = (πΏβ€˜π΄) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
541, 53bitrid 282 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π΅) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   Er wer 8696  [cec 8697   βˆ’ cmin 11440  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554   βˆ₯ cdvds 16193  -gcsg 18817  SubGrpcsubg 18994   ~QG cqg 18996  Abelcabl 19643  Ringcrg 20049  SubRingcsubrg 20351  LIdealclidl 20775  RSpancrsp 20776  β„‚fldccnfld 20936  β„€ringczring 21009  β„€RHomczrh 21040  β„€/nβ„€czn 21043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-dvds 16194  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047
This theorem is referenced by:  zndvds0  21097  znf1o  21098  znunit  21110  cygznlem1  21113  lgsqrlem1  26838  lgsqrlem2  26839  lgsqrlem4  26841  lgsdchrval  26846  lgseisenlem3  26869  lgseisenlem4  26870  dchrisumlem1  26981  dirith  27021
  Copyright terms: Public domain W3C validator