MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zndvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zndvds 21586
Description: Express equality of equivalence classes in ℤ / 𝑛 in terms of divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zncyg.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvds.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
zndvds ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem zndvds
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2742 . 2 ((𝐿𝐴) = (𝐿𝐵) ↔ (𝐿𝐵) = (𝐿𝐴))
2 eqid 2735 . . . . . 6 (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
3 eqid 2735 . . . . . 6 (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))
4 zncyg.y . . . . . 6 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5 zndvds.2 . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
62, 3, 4, 5znzrhval 21583 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
763adant2 1130 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
82, 3, 4, 5znzrhval 21583 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
983adant3 1131 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
107, 9eqeq12d 2751 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐵) = (𝐿𝐴) ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
11 zringring 21478 . . . . . 6 ring ∈ Ring
12 nn0z 12636 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
13123ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1413snssd 4814 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑁} ⊆ ℤ)
15 zringbas 21482 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
16 eqid 2735 . . . . . . . 8 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
172, 15, 16rspcl 21263 . . . . . . 7 ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
1811, 14, 17sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
1916lidlsubg 21251 . . . . . 6 ((ℤring ∈ Ring ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
2011, 18, 19sylancr 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
2115, 3eqger 19209 . . . . 5 (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
23 simp3 1137 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
2422, 23erth 8795 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
25 zringabl 21480 . . . . 5 ring ∈ Abel
2615, 16lidlss 21240 . . . . . 6 (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
2718, 26syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
28 eqid 2735 . . . . . 6 (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
2915, 28, 3eqgabl 19867 . . . . 5 ((ℤring ∈ Abel ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
3025, 27, 29sylancr 587 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
31 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3223, 31jca 511 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
3332biantrurd 532 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
34 df-3an 1088 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
3533, 34bitr4di 289 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
36 zsubrg 21456 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
37 subrgsubg 20594 . . . . . . . . 9 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
3836, 37mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
39 cnfldsub 21428 . . . . . . . . 9 − = (-g‘ℂfld)
40 df-zring 21476 . . . . . . . . 9 ring = (ℂflds ℤ)
4139, 40, 28subgsub 19169 . . . . . . . 8 ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
4238, 41syld3an1 1409 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
4342eqcomd 2741 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) = (𝐴𝐵))
44 dvdsrzring 21490 . . . . . . . 8 ∥ = (∥r‘ℤring)
4515, 2, 44rspsn 21361 . . . . . . 7 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
4611, 13, 45sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
4743, 46eleq12d 2833 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐴𝐵) ∈ {𝑥𝑁𝑥}))
48 ovex 7464 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
49 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴𝐵) → (𝑁𝑥𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
5048, 49elab 3681 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ {𝑥𝑁𝑥} ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵))
5147, 50bitrdi 287 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
5230, 35, 513bitr2d 307 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
5310, 24, 523bitr2d 307 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐵) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
541, 53bitrid 283 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  [cec 8742  cmin 11490  0cn0 12524  cz 12611  cdvds 16287  -gcsg 18966  SubGrpcsubg 19151   ~QG cqg 19153  Abelcabl 19814  Ringcrg 20251  SubRingcsubrg 20586  LIdealclidl 21234  RSpancrsp 21235  fldccnfld 21382  ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528  ℤ/nczn 21531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-dvds 16288  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535
This theorem is referenced by:  zndvds0  21587  znf1o  21588  znunit  21600  cygznlem1  21603  lgsqrlem1  27405  lgsqrlem2  27406  lgsqrlem4  27408  lgsdchrval  27413  lgseisenlem3  27436  lgseisenlem4  27437  dchrisumlem1  27548  dirith  27588  hashscontpow1  42103  aks6d1c2  42112
  Copyright terms: Public domain W3C validator