Theorem zndvds 20468

Description: Express equality of equivalence classes in ℤ / 𝑛ℤ in terms of divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zncyg.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvds.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zndvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem zndvds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2743	. 2 ⊢ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝐵) ↔ (𝐿‘𝐵) = (𝐿‘𝐴))
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))
4		zncyg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		zndvds.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
6	2, 3, 4, 5	znzrhval 20465	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
7	6	3adant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
8	2, 3, 4, 5	znzrhval 20465	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
9	8	3adant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
10	7, 9	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐵) = (𝐿‘𝐴) ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
11		zringring 20392	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ Ring
12		nn0z 12165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	3ad2ant1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	snssd 4708	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑁} ⊆ ℤ)
15		zringbas 20395	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
16		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
17	2, 15, 16	rspcl 20214	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
18	11, 14, 17	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
19	16	lidlsubg 20207	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
20	11, 18, 19	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
21	15, 3	eqger 18548	. . . . 5 ⊢ (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
23		simp3 1140	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
24	22, 23	erth 8418	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
25		zringabl 20393	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Abel
26	15, 16	lidlss 20202	. . . . . 6 ⊢ (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
27	18, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
28		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
29	15, 28, 3	eqgabl 19174	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Abel ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
30	25, 27, 29	sylancr 590	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
31		simp2 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
32	23, 31	jca 515	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
33	32	biantrurd 536	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
34		df-3an 1091	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
35	33, 34	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
36		zsubrg 20370	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
37		subrgsubg 19760	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
38	36, 37	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
39		cnfldsub 20345	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘ℂfld)
40		df-zring 20390	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
41	39, 40, 28	subgsub 18509	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
42	38, 41	syld3an1 1412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
43	42	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
44		dvdsrzring 20402	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)
45	15, 2, 44	rspsn 20246	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
46	11, 13, 45	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
47	43, 46	eleq12d 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∈ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
48		ovex 7224	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ V
49		breq2 5043	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 − 𝐵) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
50	48, 49	elab 3576	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵))
51	47, 50	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
52	30, 35, 51	3bitr2d 310	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
53	10, 24, 52	3bitr2d 310	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐵) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
54	1, 53	syl5bb 286	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {cab 2714   ⊆ wss 3853  {csn 4527   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   Er wer 8366  [cec 8367   − cmin 11027  ℕ₀cn0 12055  ℤcz 12141   ∥ cdvds 15778  -_gcsg 18321  SubGrpcsubg 18491   ~_QG cqg 18493  Abelcabl 19125  Ringcrg 19516  SubRingcsubrg 19750  LIdealclidl 20161  RSpancrsp 20162  ℂ_fldccnfld 20317  ℤ_ringzring 20389  ℤRHomczrh 20420  ℤ/nℤczn 20423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-addf 10773  ax-mulf 10774

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-tpos 7946  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-ec 8371  df-qs 8375  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-inf 9037  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-fz 13061  df-seq 13540  df-dvds 15779  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-0g 16900  df-imas 16967  df-qus 16968  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-mhm 18172  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-sbg 18324  df-mulg 18443  df-subg 18494  df-nsg 18495  df-eqg 18496  df-ghm 18574  df-cmn 19126  df-abl 19127  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-cring 19519  df-oppr 19595  df-dvdsr 19613  df-rnghom 19689  df-subrg 19752  df-lmod 19855  df-lss 19923  df-lsp 19963  df-sra 20163  df-rgmod 20164  df-lidl 20165  df-rsp 20166  df-2idl 20224  df-cnfld 20318  df-zring 20390  df-zrh 20424  df-zn 20427

This theorem is referenced by:  zndvds0  20469  znf1o  20470  znunit  20482  cygznlem1  20485  lgsqrlem1  26181  lgsqrlem2  26182  lgsqrlem4  26184  lgsdchrval  26189  lgseisenlem3  26212  lgseisenlem4  26213  dchrisumlem1  26324  dirith  26364