MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zndvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zndvds 20245
Description: Express equality of equivalence classes in ℤ / 𝑛 in terms of divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zncyg.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvds.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
zndvds ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem zndvds
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2808 . 2 ((𝐿𝐴) = (𝐿𝐵) ↔ (𝐿𝐵) = (𝐿𝐴))
2 eqid 2801 . . . . . 6 (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
3 eqid 2801 . . . . . 6 (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))
4 zncyg.y . . . . . 6 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5 zndvds.2 . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
62, 3, 4, 5znzrhval 20242 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
763adant2 1128 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
82, 3, 4, 5znzrhval 20242 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
983adant3 1129 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
107, 9eqeq12d 2817 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐵) = (𝐿𝐴) ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
11 zringring 20170 . . . . . 6 ring ∈ Ring
12 nn0z 11997 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
13123ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1413snssd 4705 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑁} ⊆ ℤ)
15 zringbas 20173 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
16 eqid 2801 . . . . . . . 8 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
172, 15, 16rspcl 19992 . . . . . . 7 ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
1811, 14, 17sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
1916lidlsubg 19985 . . . . . 6 ((ℤring ∈ Ring ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
2011, 18, 19sylancr 590 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
2115, 3eqger 18326 . . . . 5 (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
23 simp3 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
2422, 23erth 8325 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
25 zringabl 20171 . . . . 5 ring ∈ Abel
2615, 16lidlss 19980 . . . . . 6 (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
2718, 26syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
28 eqid 2801 . . . . . 6 (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
2915, 28, 3eqgabl 18952 . . . . 5 ((ℤring ∈ Abel ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
3025, 27, 29sylancr 590 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
31 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3223, 31jca 515 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
3332biantrurd 536 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
34 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
3533, 34syl6bbr 292 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
36 zsubrg 20148 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
37 subrgsubg 19538 . . . . . . . . 9 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
3836, 37mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
39 cnfldsub 20123 . . . . . . . . 9 − = (-g‘ℂfld)
40 df-zring 20168 . . . . . . . . 9 ring = (ℂflds ℤ)
4139, 40, 28subgsub 18287 . . . . . . . 8 ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
4238, 41syld3an1 1407 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
4342eqcomd 2807 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) = (𝐴𝐵))
44 dvdsrzring 20180 . . . . . . . 8 ∥ = (∥r‘ℤring)
4515, 2, 44rspsn 20024 . . . . . . 7 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
4611, 13, 45sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
4743, 46eleq12d 2887 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐴𝐵) ∈ {𝑥𝑁𝑥}))
48 ovex 7172 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ∈ V
49 breq2 5037 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴𝐵) → (𝑁𝑥𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
5048, 49elab 3618 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ {𝑥𝑁𝑥} ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵))
5147, 50syl6bb 290 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
5230, 35, 513bitr2d 310 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
5310, 24, 523bitr2d 310 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐵) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
541, 53syl5bb 286 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  {cab 2779  wss 3884  {csn 4528   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139   Er wer 8273  [cec 8274  cmin 10863  0cn0 11889  cz 11973  cdvds 15603  -gcsg 18101  SubGrpcsubg 18269   ~QG cqg 18271  Abelcabl 18903  Ringcrg 19294  SubRingcsubrg 19528  LIdealclidl 19939  RSpancrsp 19940  fldccnfld 20095  ringzring 20167  ℤRHomczrh 20197  ℤ/nczn 20200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-seq 13369  df-dvds 15604  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-imas 16777  df-qus 16778  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-nsg 18273  df-eqg 18274  df-ghm 18352  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-rnghom 19467  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-lidl 19943  df-rsp 19944  df-2idl 20002  df-cnfld 20096  df-zring 20168  df-zrh 20201  df-zn 20204
This theorem is referenced by:  zndvds0  20246  znf1o  20247  znunit  20259  cygznlem1  20262  lgsqrlem1  25934  lgsqrlem2  25935  lgsqrlem4  25937  lgsdchrval  25942  lgseisenlem3  25965  lgseisenlem4  25966  dchrisumlem1  26077  dirith  26117
  Copyright terms: Public domain W3C validator