Theorem qusecsub 19776

Description: Two subgroup cosets are equal if and only if the difference of their representatives is a member of the subgroup. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusecsub.x	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusecsub.n	⊢ − = (-g‘𝐺)
qusecsub.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
qusecsub	⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ([𝑋] ∼ = [𝑌] ∼ ↔ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆))

Proof of Theorem qusecsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusecsub.x	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19069	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3	2	anim2i 618	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵))
5		qusecsub.n	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
6		qusecsub.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
7	1, 5, 6	eqgabl 19775	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆)))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆)))
9	1, 6	eqger 19119	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝐵)
10	9	ad2antlr 728	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∼ Er 𝐵)
11		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	erth 8700	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ [𝑋] ∼ = [𝑌] ∼ ))
13		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆))
14		ibar 528	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆)))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆)))
16	13, 15	bitr4id 290	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆) ↔ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆))
17	8, 12, 16	3bitr3d 309	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ([𝑋] ∼ = [𝑌] ∼ ↔ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   Er wer 8642  [cec 8643  Basecbs 17148  -_gcsg 18877  SubGrpcsubg 19062   ~_QG cqg 19064  Abelcabl 19722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-ec 8647  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-eqg 19067  df-cmn 19723  df-abl 19724

This theorem is referenced by:  rngqiprngimf1lem  21261  rngqiprngimfo  21268  rngqiprngfulem4  21281