MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusecsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusecsub 19794
Description: Two subgroup cosets are equal if and only if the difference of their representatives is a member of the subgroup. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qusecsub.x 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusecsub.n = (-g𝐺)
qusecsub.r = (𝐺 ~QG 𝑆)
Assertion
Ref Expression
qusecsub (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ([𝑋] = [𝑌] ↔ (𝑌 𝑋) ∈ 𝑆))

Proof of Theorem qusecsub
StepHypRef Expression
1 qusecsub.x . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgss 19086 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
32anim2i 615 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝐵))
43adantr 479 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝐵))
5 qusecsub.n . . . 4 = (-g𝐺)
6 qusecsub.r . . . 4 = (𝐺 ~QG 𝑆)
71, 5, 6eqgabl 19793 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑌 𝑋) ∈ 𝑆)))
84, 7syl 17 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑌 𝑋) ∈ 𝑆)))
91, 6eqger 19137 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝐵)
109ad2antlr 725 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → Er 𝐵)
11 simprl 769 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
1210, 11erth 8773 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 ↔ [𝑋] = [𝑌] ))
13 df-3an 1086 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑌 𝑋) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑌 𝑋) ∈ 𝑆))
14 ibar 527 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑌 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑌 𝑋) ∈ 𝑆)))
1514adantl 480 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑌 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑌 𝑋) ∈ 𝑆)))
1613, 15bitr4id 289 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑌 𝑋) ∈ 𝑆) ↔ (𝑌 𝑋) ∈ 𝑆))
178, 12, 163bitr3d 308 1 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ([𝑋] = [𝑌] ↔ (𝑌 𝑋) ∈ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3939   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7416   Er wer 8720  [cec 8721  Basecbs 17179  -gcsg 18896  SubGrpcsubg 19079   ~QG cqg 19081  Abelcabl 19740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-ec 8725  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-eqg 19084  df-cmn 19741  df-abl 19742
This theorem is referenced by:  rngqiprngimf1lem  21188  rngqiprngimfo  21195  rngqiprngfulem4  21208
  Copyright terms: Public domain W3C validator