Theorem qusecsub 19804

Description: Two subgroup cosets are equal if and only if the difference of their representatives is a member of the subgroup. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusecsub.x	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusecsub.n	⊢ − = (-g‘𝐺)
qusecsub.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
qusecsub	⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ([𝑋] ∼ = [𝑌] ∼ ↔ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆))

Proof of Theorem qusecsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusecsub.x	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19098	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3	2	anim2i 624	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵))
4	3	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵))
5		qusecsub.n	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
6		qusecsub.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
7	1, 5, 6	eqgabl 19803	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆)))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆)))
9	1, 6	eqger 19148	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝐵)
10	9	ad2antlr 734	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∼ Er 𝐵)
11		simprl 777	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	10, 11	erth 8692	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∼ 𝑌 ↔ [𝑋] ∼ = [𝑌] ∼ ))
13		df-3an 1095	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆))
14		ibar 534	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆)))
15	14	adantl 483	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆)))
16	13, 15	bitr4id 292	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆) ↔ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆))
17	8, 12, 16	3bitr3d 311	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ([𝑋] ∼ = [𝑌] ∼ ↔ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   Er wer 8634  [cec 8635  Basecbs 17174  -_gcsg 18906  SubGrpcsubg 19091   ~_QG cqg 19093  Abelcabl 19750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-ec 8639  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-eqg 19096  df-cmn 19751  df-abl 19752

This theorem is referenced by:  rngqiprngimf1lem  21290  rngqiprngimfo  21297  rngqiprngfulem4  21310