Theorem 2idlcpbl 21305

Description: The coset equivalence relation for a two-sided ideal is compatible with ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlcpblrng.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2idlcpblrng.r	⊢ 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
2idlcpblrng.i	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
2idlcpblrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlcpbl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem 2idlcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 20308	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Rng)
3		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝐼)
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
7		2idlcpblrng.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	2idlelb 21286	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
9	8	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10	4	lidlsubg 21256	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	9, 10	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12		2idlcpblrng.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
13		2idlcpblrng.r	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
14		2idlcpblrng.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	12, 13, 7, 14	2idlcpblrng 21304	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷)))
16	2, 3, 11, 15	syl3anc 1371	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  SubGrpcsubg 19160   ~_QG cqg 19162  Rngcrng 20179  Ringcrg 20260  opp_rcoppr 20359  LIdealclidl 21239  2Idealc2idl 21282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-eqg 19165  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-2idl 21283

This theorem is referenced by:  qus1  21307  qusrhm  21309  qusmul2idl  21312  qsidomlem1  33445  qsidomlem2  33446