Theorem 2idlcpbl 20418

Description: The coset equivalence relation for a two-sided ideal is compatible with ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlcpbl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2idlcpbl.r	⊢ 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
2idlcpbl.i	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
2idlcpbl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlcpbl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem 2idlcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 763	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
5		2idlcpbl.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	2idlval 20417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
7	6	elin2 4127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
8	7	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
9	8	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10	2	lidlsubg 20399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	1, 9, 10	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12		2idlcpbl.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
13		2idlcpbl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
14	12, 13	eqger 18721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐸 Er 𝑋)
15	11, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝐸 Er 𝑋)
16		simprl 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝐴𝐸𝐶)
17	15, 16	ersym 8468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝐶𝐸𝐴)
18		ringabl 19734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
19	18	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝑅 ∈ Abel)
20	12, 2	lidlss 20394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
21	9, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
22		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
23	12, 22, 13	eqgabl 19351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐶𝐸𝐴 ↔ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑆)))
24	19, 21, 23	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶𝐸𝐴 ↔ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑆)))
25	17, 24	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑆))
26	25	simp2d 1141	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
27		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝐵𝐸𝐷)
28	12, 22, 13	eqgabl 19351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐵𝐸𝐷 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (𝐷(-g‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑆)))
29	19, 21, 28	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐵𝐸𝐷 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (𝐷(-g‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑆)))
30	27, 29	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (𝐷(-g‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑆))
31	30	simp1d 1140	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
32		2idlcpbl.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
33	12, 32	ringcl 19715	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
34	1, 26, 31, 33	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
35	25	simp1d 1140	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
36	30	simp2d 1141	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑋)
37	12, 32	ringcl 19715	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋)
38	1, 35, 36, 37	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋)
39		ringgrp 19703	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
40	39	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝑅 ∈ Grp)
41	12, 32	ringcl 19715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑋)
42	1, 35, 31, 41	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑋)
43	12, 22	grpnnncan2 18587	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑋)) → (((𝐶 · 𝐷)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑅)((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵))) = ((𝐶 · 𝐷)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐵)))
44	40, 38, 34, 42, 43	syl13anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (((𝐶 · 𝐷)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑅)((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵))) = ((𝐶 · 𝐷)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐵)))
45	12, 32, 22, 1, 35, 36, 31	ringsubdi 19753	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 · (𝐷(-g‘𝑅)𝐵)) = ((𝐶 · 𝐷)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵)))
46	30	simp3d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐷(-g‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑆)
47	2, 12, 32	lidlmcl 20401	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (𝐷(-g‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑆)) → (𝐶 · (𝐷(-g‘𝑅)𝐵)) ∈ 𝑆)
48	1, 9, 35, 46, 47	syl22anc 835	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 · (𝐷(-g‘𝑅)𝐵)) ∈ 𝑆)
49	45, 48	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐶 · 𝐷)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑆)
50		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
51	12, 32, 3, 50	opprmul 19780	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(.r‘(oppr‘𝑅))(𝐴(-g‘𝑅)𝐶)) = ((𝐴(-g‘𝑅)𝐶) · 𝐵)
52	12, 32, 22, 1, 26, 35, 31	rngsubdir 19754	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐴(-g‘𝑅)𝐶) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵)))
53	51, 52	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐵(.r‘(oppr‘𝑅))(𝐴(-g‘𝑅)𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵)))
54	3	opprring 19788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
55	54	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
56	7	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 → 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
57	56	ad2antlr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
58	25	simp3d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐴(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑆)
59	3, 12	opprbas 19784	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘(oppr‘𝑅))
60	4, 59, 50	lidlmcl 20401	. . . . . . 7 ⊢ ((((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑆)) → (𝐵(.r‘(oppr‘𝑅))(𝐴(-g‘𝑅)𝐶)) ∈ 𝑆)
61	55, 57, 31, 58, 60	syl22anc 835	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐵(.r‘(oppr‘𝑅))(𝐴(-g‘𝑅)𝐶)) ∈ 𝑆)
62	53, 61	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑆)
63	2, 22	lidlsubcl 20400	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (((𝐶 · 𝐷)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑆)) → (((𝐶 · 𝐷)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑅)((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵))) ∈ 𝑆)
64	1, 9, 49, 62, 63	syl22anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (((𝐶 · 𝐷)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑅)((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐶 · 𝐵))) ∈ 𝑆)
65	44, 64	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐶 · 𝐷)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐵)) ∈ 𝑆)
66	12, 22, 13	eqgabl 19351	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐶 · 𝐷)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐵)) ∈ 𝑆)))
67	19, 21, 66	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐶 · 𝐷)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐵)) ∈ 𝑆)))
68	34, 38, 65, 67	mpbir3and 1340	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷)) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷))
69	68	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   Er wer 8453  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494  SubGrpcsubg 18664   ~_QG cqg 18666  Abelcabl 19302  Ringcrg 19698  opp_rcoppr 19776  LIdealclidl 20347  2Idealc2idl 20415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-eqg 18669  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-lidl 20351  df-2idl 20416

This theorem is referenced by:  qus1  20419  qusrhm  20421  quscrng  20424  qsidomlem1  31530  qsidomlem2  31531