MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2idlcpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2idlcpbl 20720
Description: The coset equivalence relation for a two-sided ideal is compatible with ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2idlcpbl.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
2idlcpbl.r 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
2idlcpbl.i 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
2idlcpbl.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
2idlcpbl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷) β†’ (𝐴 Β· 𝐡)𝐸(𝐢 Β· 𝐷)))

Proof of Theorem 2idlcpbl
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
3 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
4 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))
5 2idlcpbl.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
62, 3, 4, 52idlval 20719 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = ((LIdealβ€˜π‘…) ∩ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
76elin2 4158 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))))
87simplbi 499 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝐼 β†’ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
98ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
102lidlsubg 20701 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
111, 9, 10syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
12 2idlcpbl.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
13 2idlcpbl.r . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
1412, 13eqger 18985 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐸 Er 𝑋)
1511, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐸 Er 𝑋)
16 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐴𝐸𝐢)
1715, 16ersym 8663 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐢𝐸𝐴)
18 ringabl 20007 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
2012, 2lidlss 20696 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
22 eqid 2733 . . . . . . . 8 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
2312, 22, 13eqgabl 19618 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐢𝐸𝐴 ↔ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑆)))
2419, 21, 23syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐢𝐸𝐴 ↔ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑆)))
2517, 24mpbid 231 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑆))
2625simp2d 1144 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
27 simprr 772 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐡𝐸𝐷)
2812, 22, 13eqgabl 19618 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐡𝐸𝐷 ↔ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑆)))
2919, 21, 28syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐡𝐸𝐷 ↔ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑆)))
3027, 29mpbid 231 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑆))
3130simp1d 1143 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
32 2idlcpbl.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
3312, 32ringcl 19986 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
341, 26, 31, 33syl3anc 1372 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
3525simp1d 1143 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
3630simp2d 1144 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑋)
3712, 32ringcl 19986 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢 Β· 𝐷) ∈ 𝑋)
381, 35, 36, 37syl3anc 1372 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐢 Β· 𝐷) ∈ 𝑋)
39 ringgrp 19974 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4039ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4112, 32ringcl 19986 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
421, 35, 31, 41syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
4312, 22grpnnncan2 18849 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐢 Β· 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))(-gβ€˜π‘…)((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))) = ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐡)))
4440, 38, 34, 42, 43syl13anc 1373 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))(-gβ€˜π‘…)((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))) = ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐡)))
4512, 32, 22, 1, 35, 36, 31ringsubdi 20028 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐢 Β· (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡)) = ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)))
4630simp3d 1145 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑆)
472, 12, 32lidlmcl 20703 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑆)) β†’ (𝐢 Β· (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡)) ∈ 𝑆)
481, 9, 35, 46, 47syl22anc 838 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐢 Β· (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡)) ∈ 𝑆)
4945, 48eqeltrrd 2835 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆)
50 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
5112, 32, 3, 50opprmul 20057 . . . . . . 7 (𝐡(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢)) = ((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) Β· 𝐡)
5212, 32, 22, 1, 26, 35, 31ringsubdir 20029 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) Β· 𝐡) = ((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)))
5351, 52eqtrid 2785 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐡(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢)) = ((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)))
543opprring 20065 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
5554ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
567simprbi 498 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝐼 β†’ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
5756ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
5825simp3d 1145 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑆)
593, 12opprbas 20061 . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
604, 59, 50lidlmcl 20703 . . . . . . 7 ((((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑆)) β†’ (𝐡(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢)) ∈ 𝑆)
6155, 57, 31, 58, 60syl22anc 838 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐡(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢)) ∈ 𝑆)
6253, 61eqeltrrd 2835 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆)
632, 22lidlsubcl 20702 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆)) β†’ (((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))(-gβ€˜π‘…)((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))) ∈ 𝑆)
641, 9, 49, 62, 63syl22anc 838 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))(-gβ€˜π‘…)((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))) ∈ 𝑆)
6544, 64eqeltrrd 2835 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆)
6612, 22, 13eqgabl 19618 . . . 4 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝐸(𝐢 Β· 𝐷) ↔ ((𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐢 Β· 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆)))
6719, 21, 66syl2anc 585 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝐸(𝐢 Β· 𝐷) ↔ ((𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐢 Β· 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆)))
6834, 38, 65, 67mpbir3and 1343 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡)𝐸(𝐢 Β· 𝐷))
6968ex 414 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷) β†’ (𝐴 Β· 𝐡)𝐸(𝐢 Β· 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   Er wer 8648  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  Grpcgrp 18753  -gcsg 18755  SubGrpcsubg 18927   ~QG cqg 18929  Abelcabl 19568  Ringcrg 19969  opprcoppr 20053  LIdealclidl 20647  2Idealc2idl 20717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-eqg 18932  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-2idl 20718
This theorem is referenced by:  qus1  20721  qusrhm  20723  quscrng  20726  qsidomlem1  32273  qsidomlem2  32274
  Copyright terms: Public domain W3C validator