MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2idlcpbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2idlcpbl 20871
Description: The coset equivalence relation for a two-sided ideal is compatible with ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Proof ahortened by AV, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
2idlcpbl.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
2idlcpbl.r 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
2idlcpbl.i 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
2idlcpbl.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
2idlcpbl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷) β†’ (𝐴 Β· 𝐡)𝐸(𝐢 Β· 𝐷)))
Proof of Theorem 2idlcpbl
StepHypRef Expression
1 2idlcpbl.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
2 2idlcpbl.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
3 simpll 766 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
6 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))
7 2idlcpbl.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (2Idealβ€˜π‘…)
84, 5, 6, 72idlelb 20865 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))))
98simplbi 499 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝐼 β†’ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
109ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
114lidlsubg 20838 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
123, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
13 2idlcpbl.r . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
141, 13eqger 19058 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐸 Er 𝑋)
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐸 Er 𝑋)
16 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐴𝐸𝐢)
1715, 16ersym 8715 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐢𝐸𝐴)
18 ringabl 20098 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
201, 72idlss 20868 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝐼 β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
2120ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
22 eqid 2733 . . . . . . . 8 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
231, 22, 13eqgabl 19702 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐢𝐸𝐴 ↔ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑆)))
2419, 21, 23syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐢𝐸𝐴 ↔ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑆)))
2517, 24mpbid 231 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑆))
2625simp2d 1144 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
27 simprr 772 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐡𝐸𝐷)
281, 22, 13eqgabl 19702 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐡𝐸𝐷 ↔ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑆)))
2919, 21, 28syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐡𝐸𝐷 ↔ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑆)))
3027, 29mpbid 231 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑆))
3130simp1d 1143 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
321, 2, 3, 26, 31ringcld 20080 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
3325simp1d 1143 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
3430simp2d 1144 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑋)
351, 2, 3, 33, 34ringcld 20080 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐢 Β· 𝐷) ∈ 𝑋)
36 ringgrp 20061 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3736ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
381, 2, 3, 33, 31ringcld 20080 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
391, 22grpnnncan2 18920 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐢 Β· 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))(-gβ€˜π‘…)((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))) = ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐡)))
4037, 35, 32, 38, 39syl13anc 1373 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))(-gβ€˜π‘…)((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))) = ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐡)))
411, 2, 22, 3, 33, 34, 31ringsubdi 20119 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐢 Β· (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡)) = ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)))
4230simp3d 1145 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑆)
434, 1, 2lidlmcl 20840 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡) ∈ 𝑆)) β†’ (𝐢 Β· (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡)) ∈ 𝑆)
443, 10, 33, 42, 43syl22anc 838 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐢 Β· (𝐷(-gβ€˜π‘…)𝐡)) ∈ 𝑆)
4541, 44eqeltrrd 2835 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆)
46 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
471, 2, 5, 46opprmul 20153 . . . . . . 7 (𝐡(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢)) = ((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) Β· 𝐡)
481, 2, 22, 3, 26, 33, 31ringsubdir 20120 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) Β· 𝐡) = ((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)))
4947, 48eqtrid 2785 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐡(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢)) = ((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)))
505opprring 20161 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
5150ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
528simprbi 498 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝐼 β†’ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
5352ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
5425simp3d 1145 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑆)
555, 1opprbas 20157 . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
566, 55, 46lidlmcl 20840 . . . . . . 7 ((((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑆)) β†’ (𝐡(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢)) ∈ 𝑆)
5751, 53, 31, 54, 56syl22anc 838 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐡(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝐢)) ∈ 𝑆)
5849, 57eqeltrrd 2835 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆)
594, 22lidlsubcl 20839 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆)) β†’ (((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))(-gβ€˜π‘…)((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))) ∈ 𝑆)
603, 10, 45, 58, 59syl22anc 838 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))(-gβ€˜π‘…)((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐢 Β· 𝐡))) ∈ 𝑆)
6140, 60eqeltrrd 2835 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆)
621, 22, 13eqgabl 19702 . . . 4 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝐸(𝐢 Β· 𝐷) ↔ ((𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐢 Β· 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆)))
6319, 21, 62syl2anc 585 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝐸(𝐢 Β· 𝐷) ↔ ((𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐢 Β· 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐢 Β· 𝐷)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐡)) ∈ 𝑆)))
6432, 35, 61, 63mpbir3and 1343 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡)𝐸(𝐢 Β· 𝐷))
6564ex 414 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐴𝐸𝐢 ∧ 𝐡𝐸𝐷) β†’ (𝐴 Β· 𝐡)𝐸(𝐢 Β· 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   Er wer 8700  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  SubGrpcsubg 19000   ~QG cqg 19002  Abelcabl 19649  Ringcrg 20056  opprcoppr 20149  LIdealclidl 20783  2Idealc2idl 20856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-eqg 19005  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-2idl 20857
This theorem is referenced by:  qus1  20872  qusrhm  20874  qusmul2  20875  quscrng  20878  qusmul  32515  qsidomlem1  32571  qsidomlem2  32572
  Copyright terms: Public domain W3C validator