MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1imaenfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1imaenfi 9233
Description: If a function is one-to-one, then the image of a finite subset of its domain under it is equinumerous to the subset. This theorem is proved without using the Axiom of Replacement or the Axiom of Power Sets (unlike f1imaeng 9053). (Contributed by BTernaryTau, 29-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1imaenfi ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶 ∈ Fin) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)

Proof of Theorem f1imaenfi
StepHypRef Expression
1 f1ores 6863 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))
2 f1oenfi 9217 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Fin ∧ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶)) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
3 ensymfib 9222 . . . . . 6 (𝐶 ∈ Fin → (𝐶 ≈ (𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶) ≈ 𝐶))
43adantr 480 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Fin ∧ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶)) → (𝐶 ≈ (𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶) ≈ 𝐶))
52, 4mpbid 232 . . . 4 ((𝐶 ∈ Fin ∧ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶)) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
61, 5sylan2 593 . . 3 ((𝐶 ∈ Fin ∧ (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴)) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
763impb 1114 . 2 ((𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
873coml 1126 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶 ∈ Fin) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  cres 5691  cima 5692  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cen 8981  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  phplem2  9243
  Copyright terms: Public domain W3C validator