MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1imaenfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1imaenfi 9200
Description: If a function is one-to-one, then the image of a finite subset of its domain under it is equinumerous to the subset. This theorem is proved without using the Axiom of Replacement or the Axiom of Power Sets (unlike f1imaeng 9012). (Contributed by BTernaryTau, 29-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1imaenfi ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶 ∈ Fin) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)

Proof of Theorem f1imaenfi
StepHypRef Expression
1 f1ores 6847 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))
2 f1oenfi 9184 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Fin ∧ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶)) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
3 ensymfib 9189 . . . . . 6 (𝐶 ∈ Fin → (𝐶 ≈ (𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶) ≈ 𝐶))
43adantr 481 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Fin ∧ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶)) → (𝐶 ≈ (𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶) ≈ 𝐶))
52, 4mpbid 231 . . . 4 ((𝐶 ∈ Fin ∧ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶)) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
61, 5sylan2 593 . . 3 ((𝐶 ∈ Fin ∧ (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴)) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
763impb 1115 . 2 ((𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
873coml 1127 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶 ∈ Fin) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wss 3948   class class class wbr 5148  cres 5678  cima 5679  1-1wf1 6540  1-1-ontowf1o 6542  cen 8938  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-1o 8468  df-en 8942  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  phplem2  9210
  Copyright terms: Public domain W3C validator