MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssdomfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssdomfi 8982
Description: A finite set dominates its subsets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ssdomg 8786). (Contributed by BTernaryTau, 12-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssdomfi (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ssdomfi
StepHypRef Expression
1 f1oi 6754 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
2 f1of1 6715 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴
4 f1ss 6676 . . . 4 ((( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴𝐴𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
53, 4mpan 687 . . 3 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
6 f1domfi 8967 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
75, 6sylan2 593 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
87ex 413 1 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wss 3887   class class class wbr 5074   I cid 5488  cres 5591  1-1wf1 6430  1-1-ontowf1o 6432  cdom 8731  Fincfn 8733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-en 8734  df-dom 8735  df-fin 8737
This theorem is referenced by:  php  8993  php2  8994
  Copyright terms: Public domain W3C validator