Theorem ssdomfi 9215

Description: A finite set dominates its subsets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ssdomg 9019). (Contributed by BTernaryTau, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomfi	⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem ssdomfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6861	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		f1of1 6822	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴
4		f1ss 6784	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
5	3, 4	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
6		f1domfi 9200	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
8	7	ex 412	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124   I cid 5552   ↾ cres 5661  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535   ≼ cdom 8962  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-1o 8485  df-en 8965  df-dom 8966  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  php  9226  php2  9227  fodomfi  9327  imadomfi  42020