MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssdomfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssdomfi 8973
Description: A finite set dominates its subsets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ssdomg 8778). (Contributed by BTernaryTau, 12-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssdomfi (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ssdomfi
StepHypRef Expression
1 f1oi 6751 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
2 f1of1 6713 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴
4 f1ss 6674 . . . 4 ((( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴𝐴𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
53, 4mpan 687 . . 3 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
6 f1domfi 8958 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
75, 6sylan2 593 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
87ex 413 1 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  wss 3892   class class class wbr 5079   I cid 5489  cres 5592  1-1wf1 6429  1-1-ontowf1o 6431  cdom 8723  Fincfn 8725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-un 7583
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-om 7708  df-1o 8289  df-en 8726  df-dom 8727  df-fin 8729
This theorem is referenced by:  php  8983  php2  8984
  Copyright terms: Public domain W3C validator