MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssdomfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssdomfi 9230
Description: A finite set dominates its subsets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike ssdomg 9027). (Contributed by BTernaryTau, 12-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
ssdomfi (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ssdomfi
StepHypRef Expression
1 f1oi 6882 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
2 f1of1 6843 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴
4 f1ss 6804 . . . 4 ((( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐴𝐴𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
53, 4mpan 688 . . 3 (𝐴𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵)
6 f1domfi 9215 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
75, 6sylan2 591 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
87ex 411 1 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  wss 3949   class class class wbr 5152   I cid 5579  cres 5684  1-1wf1 6550  1-1-ontowf1o 6552  cdom 8968  Fincfn 8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-1o 8493  df-en 8971  df-dom 8972  df-fin 8974
This theorem is referenced by:  php  9241  php2  9242  imadomfi  41505
  Copyright terms: Public domain W3C validator