Theorem fieq0 8569

Description: If 𝐴 is not empty, the class of all the finite intersections of 𝐴 is not empty either. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fieq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ (fi‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem fieq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6411	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (fi‘𝐴) = (fi‘∅))
2		fi0 8568	. . 3 ⊢ (fi‘∅) = ∅
3	1, 2	syl6eq 2849	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (fi‘𝐴) = ∅)
4		ssfii 8567	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
5		sseq0 4171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ (fi‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
6	4, 5	sylan 576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (fi‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
7	6	ex 402	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((fi‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
8	3, 7	impbid2 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ (fi‘𝐴) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3769  ∅c0 4115  ‘cfv 6101  ficfi 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-1o 7799  df-en 8196  df-fin 8199  df-fi 8559

This theorem is referenced by:  fsubbas  21999