MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fieq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fieq0 8882
Description: A set is empty iff the class of all the finite intersections of that set is empty. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fieq0 (𝐴𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ (fi‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem fieq0
StepHypRef Expression
1 fveq2 6661 . . 3 (𝐴 = ∅ → (fi‘𝐴) = (fi‘∅))
2 fi0 8881 . . 3 (fi‘∅) = ∅
31, 2syl6eq 2875 . 2 (𝐴 = ∅ → (fi‘𝐴) = ∅)
4 ssfii 8880 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
5 sseq0 4336 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ (fi‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
64, 5sylan 583 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (fi‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
76ex 416 . 2 (𝐴𝑉 → ((fi‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
83, 7impbid2 229 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ (fi‘𝐴) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  c0 4276  cfv 6343  ficfi 8871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-om 7575  df-1o 8098  df-en 8506  df-fin 8509  df-fi 8872
This theorem is referenced by:  fsubbas  22475
  Copyright terms: Public domain W3C validator