Theorem fieq0 9462

Description: A set is empty iff the class of all the finite intersections of that set is empty. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fieq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ (fi‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem fieq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6905	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (fi‘𝐴) = (fi‘∅))
2		fi0 9461	. . 3 ⊢ (fi‘∅) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2792	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (fi‘𝐴) = ∅)
4		ssfii 9460	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
5		sseq0 4402	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ (fi‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
6	4, 5	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (fi‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
7	6	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((fi‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
8	3, 7	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ (fi‘𝐴) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ‘cfv 6560  ficfi 9451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-en 8987  df-fin 8990  df-fi 9452

This theorem is referenced by:  fsubbas  23876