Theorem fieq0 9324

Description: A set is empty iff the class of all the finite intersections of that set is empty. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fieq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ (fi‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem fieq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6827	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (fi‘𝐴) = (fi‘∅))
2		fi0 9323	. . 3 ⊢ (fi‘∅) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2790	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (fi‘𝐴) = ∅)
4		ssfii 9322	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
5		sseq0 4331	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ (fi‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
6	4, 5	sylan 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (fi‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
7	6	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((fi‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
8	3, 7	impbid2 227	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ (fi‘𝐴) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  ‘cfv 6485  ficfi 9313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-om 7807  df-1o 8395  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9314

This theorem is referenced by:  fsubbas  23850