Theorem finptfin 23460

Description: A finite cover is a point-finite cover. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
finptfin	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem finptfin

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabfi 9169	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ Fin)
2	1	ralrimivw 3130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ Fin)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
4	3	isptfin 23458	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ PtFin ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ Fin))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ PtFin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  {crab 3397  ∪ cuni 4861  Fincfn 8881  PtFincptfin 23445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-om 7807  df-1o 8395  df-en 8882  df-fin 8885  df-ptfin 23448

This theorem is referenced by:  comppfsc  23474