Theorem finptfin 21842

Description: A finite cover is a point-finite cover. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
finptfin	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem finptfin

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabfi 8536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ Fin)
2	1	ralrimivw 3127	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ Fin)
3		eqid 2772	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
4	3	isptfin 21840	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ PtFin ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ Fin))
5	2, 4	mpbird 249	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ PtFin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2050  ∀wral 3082  {crab 3086  ∪ cuni 4708  Fincfn 8304  PtFincptfin 21827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-om 7395  df-er 8087  df-en 8305  df-fin 8308  df-ptfin 21830

This theorem is referenced by:  comppfsc  21856