Theorem finptfin 23461

Description: A finite cover is a point-finite cover. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
finptfin	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem finptfin

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabfi 9280	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ Fin)
2	1	ralrimivw 3137	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ Fin)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
4	3	isptfin 23459	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ PtFin ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ Fin))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ PtFin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  {crab 3420  ∪ cuni 4888  Fincfn 8964  PtFincptfin 23446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-1o 8485  df-en 8965  df-fin 8968  df-ptfin 23449

This theorem is referenced by:  comppfsc  23475