Theorem finptfin 22991

Description: A finite cover is a point-finite cover. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
finptfin	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem finptfin

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabfi 9257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ Fin)
2	1	ralrimivw 3151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ Fin)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
4	3	isptfin 22989	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ PtFin ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ∈ Fin))
5	2, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ PtFin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  {crab 3433  ∪ cuni 4904  Fincfn 8927  PtFincptfin 22976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-om 7843  df-1o 8453  df-en 8928  df-fin 8931  df-ptfin 22979

This theorem is referenced by:  comppfsc  23005