Theorem rabfi 9181

Description: A restricted class built from a finite set is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rabfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rabfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrab3 4259	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ 𝜑})
2		infi 9180	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ 𝜑}) ∈ Fin)
3	1, 2	eqeltrid 2840	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  {cab 2714  {crab 3389   ∩ cin 3888  Fincfn 8893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-1o 8405  df-en 8894  df-fin 8897

This theorem is referenced by:  sygbasnfpfi  19487  finptfin  23483  lfinun  23490  numedglnl  29213  usgrfilem  29396  nbusgrfi  29443  cusgrsizeindslem  29520  cusgrsizeinds  29521  vtxdgfival  29538  vtxdgfisnn0  29544  vtxdginducedm1fi  29613  finsumvtxdg2ssteplem4  29617  vtxdgoddnumeven  29622  hashwwlksnext  29982  wwlksnonfi  29988  rusgrnumwwlks  30045  clwwlknclwwlkdifnum  30050  clwwlknonfin  30164  konigsberglem5  30326  fusgreghash2wsp  30408  numclwwlk3lem2  30454  reprfi  34760  phpreu  37925  poimirlem25  37966  poimirlem26  37967  poimirlem27  37968  poimirlem28  37969  poimirlem31  37972  poimirlem32  37973  sstotbnd3  38097  hoidmvlelem2  47024  clnbusgrfi  48319