Theorem rabfi 9155

Description: A restricted class built from a finite set is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rabfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rabfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrab3 4266	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ 𝜑})
2		infi 9154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ 𝜑}) ∈ Fin)
3	1, 2	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  {cab 2709  {crab 3395   ∩ cin 3896  Fincfn 8869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-en 8870  df-fin 8873

This theorem is referenced by:  sygbasnfpfi  19424  finptfin  23433  lfinun  23440  numedglnl  29122  usgrfilem  29305  nbusgrfi  29352  cusgrsizeindslem  29430  cusgrsizeinds  29431  vtxdgfival  29448  vtxdgfisnn0  29454  vtxdginducedm1fi  29523  finsumvtxdg2ssteplem4  29527  vtxdgoddnumeven  29532  hashwwlksnext  29892  wwlksnonfi  29898  rusgrnumwwlks  29955  clwwlknclwwlkdifnum  29960  clwwlknonfin  30074  konigsberglem5  30236  fusgreghash2wsp  30318  numclwwlk3lem2  30364  reprfi  34629  phpreu  37643  poimirlem25  37684  poimirlem26  37685  poimirlem27  37686  poimirlem28  37687  poimirlem31  37690  poimirlem32  37691  sstotbnd3  37815  hoidmvlelem2  46693  clnbusgrfi  47942