MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabfi 8719
Description: A restricted class built from a finite set is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
rabfi (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝜑} ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rabfi
StepHypRef Expression
1 dfrab3 4253 . 2 {𝑥𝐴𝜑} = (𝐴 ∩ {𝑥𝜑})
2 infi 8718 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ {𝑥𝜑}) ∈ Fin)
31, 2eqeltrid 2916 1 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝜑} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  {cab 2799  {crab 3130  cin 3909  Fincfn 8484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-om 7556  df-er 8264  df-en 8485  df-fin 8488
This theorem is referenced by:  sygbasnfpfi  18619  finptfin  22102  lfinun  22109  numedglnl  26916  usgrfilem  27096  nbusgrfi  27143  cusgrsizeindslem  27220  cusgrsizeinds  27221  vtxdgfival  27238  vtxdgfisnn0  27244  vtxdginducedm1fi  27313  finsumvtxdg2ssteplem4  27317  vtxdgoddnumeven  27322  hashwwlksnext  27679  wwlksnonfi  27685  rusgrnumwwlks  27739  clwwlknclwwlkdifnum  27744  clwwlknonfin  27858  konigsberglem5  28020  fusgreghash2wsp  28102  numclwwlk3lem2  28148  reprfi  31895  phpreu  34927  poimirlem25  34968  poimirlem26  34969  poimirlem27  34970  poimirlem28  34971  poimirlem31  34974  poimirlem32  34975  sstotbnd3  35100  hoidmvlelem2  43058
  Copyright terms: Public domain W3C validator