MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabfi 9220
Description: A restricted class built from a finite set is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
rabfi (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝜑} ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rabfi
StepHypRef Expression
1 dfrab3 4274 . 2 {𝑥𝐴𝜑} = (𝐴 ∩ {𝑥𝜑})
2 infi 9219 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ {𝑥𝜑}) ∈ Fin)
31, 2eqeltrid 2842 1 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝜑} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  {cab 2714  {crab 3410  cin 3914  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-om 7808  df-1o 8417  df-en 8891  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  sygbasnfpfi  19301  finptfin  22885  lfinun  22892  numedglnl  28137  usgrfilem  28317  nbusgrfi  28364  cusgrsizeindslem  28441  cusgrsizeinds  28442  vtxdgfival  28459  vtxdgfisnn0  28465  vtxdginducedm1fi  28534  finsumvtxdg2ssteplem4  28538  vtxdgoddnumeven  28543  hashwwlksnext  28901  wwlksnonfi  28907  rusgrnumwwlks  28961  clwwlknclwwlkdifnum  28966  clwwlknonfin  29080  konigsberglem5  29242  fusgreghash2wsp  29324  numclwwlk3lem2  29370  reprfi  33269  phpreu  36091  poimirlem25  36132  poimirlem26  36133  poimirlem27  36134  poimirlem28  36135  poimirlem31  36138  poimirlem32  36139  sstotbnd3  36264  hoidmvlelem2  44911
  Copyright terms: Public domain W3C validator