Theorem rabfi 9214

Description: A restricted class built from a finite set is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rabfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rabfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrab3 4282	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ 𝜑})
2		infi 9213	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ 𝜑}) ∈ Fin)
3	1, 2	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  {cab 2707  {crab 3405   ∩ cin 3913  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-en 8919  df-fin 8922

This theorem is referenced by:  sygbasnfpfi  19442  finptfin  23405  lfinun  23412  numedglnl  29071  usgrfilem  29254  nbusgrfi  29301  cusgrsizeindslem  29379  cusgrsizeinds  29380  vtxdgfival  29397  vtxdgfisnn0  29403  vtxdginducedm1fi  29472  finsumvtxdg2ssteplem4  29476  vtxdgoddnumeven  29481  hashwwlksnext  29844  wwlksnonfi  29850  rusgrnumwwlks  29904  clwwlknclwwlkdifnum  29909  clwwlknonfin  30023  konigsberglem5  30185  fusgreghash2wsp  30267  numclwwlk3lem2  30313  reprfi  34607  phpreu  37598  poimirlem25  37639  poimirlem26  37640  poimirlem27  37641  poimirlem28  37642  poimirlem31  37645  poimirlem32  37646  sstotbnd3  37770  hoidmvlelem2  46594  clnbusgrfi  47843