Theorem rabfi 8743

Description: A restricted class built from a finite set is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rabfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rabfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrab3 4278	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ 𝜑})
2		infi 8742	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ 𝜑}) ∈ Fin)
3	1, 2	eqeltrid 2917	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  {cab 2799  {crab 3142   ∩ cin 3935  Fincfn 8509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-om 7581  df-er 8289  df-en 8510  df-fin 8513

This theorem is referenced by:  sygbasnfpfi  18640  finptfin  22126  lfinun  22133  numedglnl  26929  usgrfilem  27109  nbusgrfi  27156  cusgrsizeindslem  27233  cusgrsizeinds  27234  vtxdgfival  27251  vtxdgfisnn0  27257  vtxdginducedm1fi  27326  finsumvtxdg2ssteplem4  27330  vtxdgoddnumeven  27335  hashwwlksnext  27693  wwlksnonfi  27699  rusgrnumwwlks  27753  clwwlknclwwlkdifnum  27758  clwwlknonfin  27873  konigsberglem5  28035  fusgreghash2wsp  28117  numclwwlk3lem2  28163  reprfi  31887  phpreu  34891  poimirlem25  34932  poimirlem26  34933  poimirlem27  34934  poimirlem28  34935  poimirlem31  34938  poimirlem32  34939  sstotbnd3  35069  hoidmvlelem2  42898