Theorem fnpr2o 17604

Description: Function with a domain of 2_o. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fnpr2o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)

Proof of Theorem fnpr2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7911	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∅ ∈ ω)
3		1onn 8677	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 1o ∈ ω)
5		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		1n0 8525	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
8	7	necomi 2993	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∅ ≠ 1o)
10		fnprg 6627	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ∅ ≠ 1o) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
11	2, 4, 5, 6, 9, 10	syl221anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
12		df2o3 8513	. . 3 ⊢ 2o = {∅, 1o}
13	12	fneq2i 6667	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
14	11, 13	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339  {cpr 4633  ⟨cop 4637   Fn wfn 6558  ωcom 7887  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-fun 6565  df-fn 6566  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506

This theorem is referenced by:  fnpr2ob  17605  xpsfeq  17610  xpsfrnel2  17611  xpsrnbas  17618  xpsaddlem  17620  xpsvsca  17624  xpsle  17626  xpstopnlem1  23833  xpstopnlem2  23835  xpsxmetlem  24405  xpsdsval  24407  xpsmet  24408