MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnpr2o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnpr2o 17440
Description: Function with a domain of 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
fnpr2o ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)

Proof of Theorem fnpr2o
StepHypRef Expression
1 peano1 7826 . . . 4 ∅ ∈ ω
21a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ∅ ∈ ω)
3 1onn 8587 . . . 4 1o ∈ ω
43a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 1o ∈ ω)
5 simpl 484 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴𝑉)
6 simpr 486 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
7 1n0 8435 . . . . 5 1o ≠ ∅
87necomi 2999 . . . 4 ∅ ≠ 1o
98a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ∅ ≠ 1o)
10 fnprg 6561 . . 3 (((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ∅ ≠ 1o) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
112, 4, 5, 6, 9, 10syl221anc 1382 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
12 df2o3 8421 . . 3 2o = {∅, 1o}
1312fneq2i 6601 . 2 ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
1411, 13sylibr 233 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wne 2944  c0 4283  {cpr 4589  cop 4593   Fn wfn 6492  ωcom 7803  1oc1o 8406  2oc2o 8407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-fun 6499  df-fn 6500  df-om 7804  df-1o 8413  df-2o 8414
This theorem is referenced by:  fnpr2ob  17441  xpsfeq  17446  xpsfrnel2  17447  xpsrnbas  17454  xpsaddlem  17456  xpsvsca  17460  xpsle  17462  xpstopnlem1  23163  xpstopnlem2  23165  xpsxmetlem  23735  xpsdsval  23737  xpsmet  23738
  Copyright terms: Public domain W3C validator