MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnpr2o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnpr2o 17602
Description: Function with a domain of 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
fnpr2o ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)

Proof of Theorem fnpr2o
StepHypRef Expression
1 peano1 7910 . . . 4 ∅ ∈ ω
21a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ∅ ∈ ω)
3 1onn 8678 . . . 4 1o ∈ ω
43a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 1o ∈ ω)
5 simpl 482 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴𝑉)
6 simpr 484 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
7 1n0 8526 . . . . 5 1o ≠ ∅
87necomi 2995 . . . 4 ∅ ≠ 1o
98a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ∅ ≠ 1o)
10 fnprg 6625 . . 3 (((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ∅ ≠ 1o) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
112, 4, 5, 6, 9, 10syl221anc 1383 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
12 df2o3 8514 . . 3 2o = {∅, 1o}
1312fneq2i 6666 . 2 ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
1411, 13sylibr 234 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wne 2940  c0 4333  {cpr 4628  cop 4632   Fn wfn 6556  ωcom 7887  1oc1o 8499  2oc2o 8500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-fun 6563  df-fn 6564  df-om 7888  df-1o 8506  df-2o 8507
This theorem is referenced by:  fnpr2ob  17603  xpsfeq  17608  xpsfrnel2  17609  xpsrnbas  17616  xpsaddlem  17618  xpsvsca  17622  xpsle  17624  xpstopnlem1  23817  xpstopnlem2  23819  xpsxmetlem  24389  xpsdsval  24391  xpsmet  24392
  Copyright terms: Public domain W3C validator