Theorem fnpr2o 17463

Description: Function with a domain of 2_o. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fnpr2o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)

Proof of Theorem fnpr2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7825	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∅ ∈ ω)
3		1onn 8561	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 1o ∈ ω)
5		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		1n0 8409	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
8	7	necomi 2983	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∅ ≠ 1o)
10		fnprg 6545	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ∅ ≠ 1o) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
11	2, 4, 5, 6, 9, 10	syl221anc 1383	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
12		df2o3 8399	. . 3 ⊢ 2o = {∅, 1o}
13	12	fneq2i 6584	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
14	11, 13	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282  {cpr 4577  ⟨cop 4581   Fn wfn 6481  ωcom 7802  1_oc1o 8384  2_oc2o 8385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2537  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-fun 6488  df-fn 6489  df-om 7803  df-1o 8391  df-2o 8392

This theorem is referenced by:  fnpr2ob  17464  xpsfeq  17469  xpsfrnel2  17470  xpsrnbas  17477  xpsaddlem  17479  xpsvsca  17483  xpsle  17485  xpstopnlem1  23725  xpstopnlem2  23727  xpsxmetlem  24295  xpsdsval  24297  xpsmet  24298