Theorem fnpr2o 17268

Description: Function with a domain of 2_o. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fnpr2o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)

Proof of Theorem fnpr2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7735	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∅ ∈ ω)
3		1onn 8470	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 1o ∈ ω)
5		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		1n0 8318	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
8	7	necomi 2998	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∅ ≠ 1o)
10		fnprg 6493	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ∅ ≠ 1o) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
11	2, 4, 5, 6, 9, 10	syl221anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
12		df2o3 8305	. . 3 ⊢ 2o = {∅, 1o}
13	12	fneq2i 6531	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
14	11, 13	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∅c0 4256  {cpr 4563  ⟨cop 4567   Fn wfn 6428  ωcom 7712  1_oc1o 8290  2_oc2o 8291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-fun 6435  df-fn 6436  df-om 7713  df-1o 8297  df-2o 8298

This theorem is referenced by:  fnpr2ob  17269  xpsfeq  17274  xpsfrnel2  17275  xpsrnbas  17282  xpsaddlem  17284  xpsvsca  17288  xpsle  17290  xpstopnlem1  22960  xpstopnlem2  22962  xpsxmetlem  23532  xpsdsval  23534  xpsmet  23535