Theorem fnpr2o 17611

Description: Function with a domain of 2_o. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fnpr2o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)

Proof of Theorem fnpr2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7885	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∅ ∈ ω)
3		1onn 8626	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 1o ∈ ω)
5		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		1n0 8472	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
8	7	necomi 3018	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∅ ≠ 1o)
10		fnprg 6596	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ∅ ≠ 1o) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
11	2, 4, 5, 6, 9, 10	syl221anc 1406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
12		df2o3 8461	. . 3 ⊢ 2o = {∅, 1o}
13	12	fneq2i 6634	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn {∅, 1o})
14	11, 13	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} Fn 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294  {cpr 4596  ⟨cop 4600   Fn wfn 6532  ωcom 7862  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-mo 2573  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-fun 6539  df-fn 6540  df-om 7863  df-1o 8453  df-2o 8454

This theorem is referenced by:  fnpr2ob  17612  xpsfeq  17617  xpsfrnel2  17618  xpsrnbas  17625  xpsaddlem  17627  xpsvsca  17631  xpsle  17633  xpstopnlem1  23935  xpstopnlem2  23937  xpsxmetlem  24505  xpsdsval  24507  xpsmet  24508