MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsle 17462
Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsle.t 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
xpsle.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
xpsle.y π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
xpsle.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsle.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
xpsle.p ≀ = (leβ€˜π‘‡)
xpsle.m 𝑀 = (leβ€˜π‘…)
xpsle.n 𝑁 = (leβ€˜π‘†)
xpsle.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsle.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
xpsle.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
xpsle.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
xpsle (πœ‘ β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ≀ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐢 ∧ 𝐡𝑁𝐷)))

Proof of Theorem xpsle
Dummy variables 𝑐 𝑑 π‘˜ π‘₯ 𝑦 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7361 . . . . 5 (𝐴(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})𝐡) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
2 xpsle.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 xpsle.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
54xpsfval 17449 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})𝐡) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩})
62, 3, 5syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})𝐡) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩})
71, 6eqtr3id 2791 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩})
82, 3opelxpd 5672 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
94xpsff1o2 17452 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
10 f1of 6785 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
1211ffvelcdmi 7035 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
138, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
147, 13eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
15 df-ov 7361 . . . . 5 (𝐢(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})𝐷) = ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩)
16 xpsle.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
17 xpsle.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
184xpsfval 17449 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐢(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})𝐷) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
1916, 17, 18syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})𝐷) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
2015, 19eqtr3id 2791 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
2116, 17opelxpd 5672 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
2211ffvelcdmi 7035 . . . . 5 (⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
2321, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
2420, 23eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
25 xpsle.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
26 xpsle.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
27 xpsle.y . . . . 5 π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
28 xpsle.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
29 xpsle.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
30 eqid 2737 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
31 eqid 2737 . . . . 5 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})
3225, 26, 27, 28, 29, 4, 30, 31xpsval 17453 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
3325, 26, 27, 28, 29, 4, 30, 31xpsrnbas 17454 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
34 f1ocnv 6797 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
359, 34mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
36 f1ofo 6792 . . . . 5 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
3735, 36syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
38 ovexd 7393 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) ∈ V)
39 xpsle.p . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘‡)
40 eqid 2737 . . . 4 (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
4135f1olecpbl 17410 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) ∧ 𝑏 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})) ∧ (𝑐 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) ∧ 𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))) β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜π‘Ž) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜π‘) ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜π‘) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜π‘‘)) β†’ (π‘Ž(leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))𝑏 ↔ 𝑐(leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))𝑑)))
4232, 33, 37, 38, 39, 40, 41imasleval 17424 . . 3 ((πœ‘ ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) ∧ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) ≀ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
4314, 24, 42mpd3an23 1464 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) ≀ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
44 f1ocnvfv 7225 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) ∧ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) = ⟨𝐴, 𝐡⟩))
459, 8, 44sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) = ⟨𝐴, 𝐡⟩))
467, 45mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) = ⟨𝐴, 𝐡⟩)
47 f1ocnvfv 7225 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) ∧ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐢, 𝐷⟩))
489, 21, 47sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐢, 𝐷⟩))
4920, 48mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐢, 𝐷⟩)
5046, 49breq12d 5119 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}) ≀ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})β€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ≀ ⟨𝐢, 𝐷⟩))
51 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
52 fvexd 6858 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
53 2on 8427 . . . . 5 2o ∈ On
5453a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2o ∈ On)
55 fnpr2o 17440 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
5628, 29, 55syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
5714, 33eleqtrd 2840 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
5824, 33eleqtrd 2840 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
5931, 51, 52, 54, 56, 57, 58, 40prdsleval 17360 . . 3 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 2o ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜)))
60 df2o3 8421 . . . . . 6 2o = {βˆ…, 1o}
6160raleqi 3312 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ 2o ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ {βˆ…, 1o} ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜))
62 0ex 5265 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
63 1oex 8423 . . . . . 6 1o ∈ V
64 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘˜ = βˆ… β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜) = ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…))
65 2fveq3 6848 . . . . . . 7 (π‘˜ = βˆ… β†’ (leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)))
66 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘˜ = βˆ… β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜) = ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…))
6764, 65, 66breq123d 5120 . . . . . 6 (π‘˜ = βˆ… β†’ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜) ↔ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…)))
68 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘˜ = 1o β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜) = ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o))
69 2fveq3 6848 . . . . . . 7 (π‘˜ = 1o β†’ (leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)))
70 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘˜ = 1o β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜) = ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o))
7168, 69, 70breq123d 5120 . . . . . 6 (π‘˜ = 1o β†’ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜) ↔ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o)))
7262, 63, 67, 71ralpr 4662 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ {βˆ…, 1o} ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜) ↔ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…) ∧ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o)))
7361, 72bitri 275 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ 2o ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜) ↔ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…) ∧ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o)))
74 fvpr0o 17442 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…) = 𝐴)
752, 74syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…) = 𝐴)
76 fvpr0o 17442 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑅)
7728, 76syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑅)
7877fveq2d 6847 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)) = (leβ€˜π‘…))
79 xpsle.m . . . . . . 7 𝑀 = (leβ€˜π‘…)
8078, 79eqtr4di 2795 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…)) = 𝑀)
81 fvpr0o 17442 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ 𝑋 β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…) = 𝐢)
8216, 81syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…) = 𝐢)
8375, 80, 82breq123d 5120 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…) ↔ 𝐴𝑀𝐢))
84 fvpr1o 17443 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o) = 𝐡)
853, 84syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o) = 𝐡)
86 fvpr1o 17443 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o) = 𝑆)
8729, 86syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o) = 𝑆)
8887fveq2d 6847 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)) = (leβ€˜π‘†))
89 xpsle.n . . . . . . 7 𝑁 = (leβ€˜π‘†)
9088, 89eqtr4di 2795 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o)) = 𝑁)
91 fvpr1o 17443 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ π‘Œ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o) = 𝐷)
9217, 91syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o) = 𝐷)
9385, 90, 92breq123d 5120 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o) ↔ 𝐡𝑁𝐷))
9483, 93anbi12d 632 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜βˆ…)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜βˆ…) ∧ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜1o)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜1o)) ↔ (𝐴𝑀𝐢 ∧ 𝐡𝑁𝐷)))
9573, 94bitrid 283 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 2o ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩}β€˜π‘˜)(leβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))({βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}β€˜π‘˜) ↔ (𝐴𝑀𝐢 ∧ 𝐡𝑁𝐷)))
9659, 95bitrd 279 . 2 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐡⟩} (leβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})){βŸ¨βˆ…, 𝐢⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ↔ (𝐴𝑀𝐢 ∧ 𝐡𝑁𝐷)))
9743, 50, 963bitr3d 309 1 (πœ‘ β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ≀ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐢 ∧ 𝐡𝑁𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446  βˆ…c0 4283  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633  ran crn 5635  Oncon0 6318   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1oc1o 8406  2oc2o 8407  Basecbs 17084  Scalarcsca 17137  lecple 17141  Xscprds 17328   Γ—s cxps 17389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-hom 17158  df-cco 17159  df-prds 17330  df-imas 17391  df-xps 17393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator