Theorem xpsle 17522

Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsle.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsle.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsle.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsle.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsle.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsle.p	⊢ ≤ = (le‘𝑇)
xpsle.m	⊢ 𝑀 = (le‘𝑅)
xpsle.n	⊢ 𝑁 = (le‘𝑆)
xpsle.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsle.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsle.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
xpsle.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xpsle	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))

Proof of Theorem xpsle

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7409	. . . . 5 ⊢ (𝐴(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		xpsle.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		xpsle.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
4		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
5	4	xpsfval 17509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐵) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩})
6	2, 3, 5	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐵) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩})
7	1, 6	eqtr3id 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩})
8	2, 3	opelxpd 5714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
9	4	xpsff1o2 17512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
10		f1of 6831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
12	11	ffvelcdmi 7083	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
13	8, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
14	7, 13	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
15		df-ov 7409	. . . . 5 ⊢ (𝐶(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩)
16		xpsle.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
17		xpsle.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
18	4	xpsfval 17509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐶(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐷) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
19	16, 17, 18	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐷) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
20	15, 19	eqtr3id 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
21	16, 17	opelxpd 5714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
22	11	ffvelcdmi 7083	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
24	20, 23	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
25		xpsle.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
26		xpsle.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
27		xpsle.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
28		xpsle.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
29		xpsle.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
30		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
31		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
32	25, 26, 27, 28, 29, 4, 30, 31	xpsval 17513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
33	25, 26, 27, 28, 29, 4, 30, 31	xpsrnbas 17514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
34		f1ocnv 6843	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
35	9, 34	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
36		f1ofo 6838	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–onto→(𝑋 × 𝑌))
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–onto→(𝑋 × 𝑌))
38		ovexd 7441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
39		xpsle.p	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑇)
40		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
41	35	f1olecpbl 17470	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ 𝑏 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) ∧ (𝑐 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ 𝑑 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) → (((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑎) = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑐) ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑏) = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑑)) → (𝑎(le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))𝑏 ↔ 𝑐(le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))𝑑)))
42	32, 33, 37, 38, 39, 40, 41	imasleval 17484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) → ((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) ≤ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
43	14, 24, 42	mpd3an23 1464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) ≤ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
44		f1ocnvfv 7273	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
45	9, 8, 44	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
46	7, 45	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
47		f1ocnvfv 7273	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
48	9, 21, 47	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
49	20, 48	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
50	46, 49	breq12d 5161	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) ≤ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩))
51		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
52		fvexd 6904	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
53		2on 8477	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ On
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
55		fnpr2o 17500	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
56	28, 29, 55	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
57	14, 33	eleqtrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
58	24, 33	eleqtrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
59	31, 51, 52, 54, 56, 57, 58, 40	prdsleval 17420	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ↔ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘)))
60		df2o3 8471	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, 1o}
61	60	raleqi 3324	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1o} ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘))
62		0ex 5307	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
63		1oex 8473	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
64		fveq2 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅))
65		2fveq3 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)))
66		fveq2 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅))
67	64, 65, 66	breq123d 5162	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ∅ → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅)))
68		fveq2 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o))
69		2fveq3 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1o → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)))
70		fveq2 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o))
71	68, 69, 70	breq123d 5162	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1o → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)))
72	62, 63, 67, 71	ralpr 4704	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ {∅, 1o} ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ∧ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)))
73	61, 72	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ∧ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)))
74		fvpr0o 17502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
75	2, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
76		fvpr0o 17502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
77	28, 76	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
78	77	fveq2d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = (le‘𝑅))
79		xpsle.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (le‘𝑅)
80	78, 79	eqtr4di 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = 𝑀)
81		fvpr0o 17502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) = 𝐶)
82	16, 81	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) = 𝐶)
83	75, 80, 82	breq123d 5162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ↔ 𝐴𝑀𝐶))
84		fvpr1o 17503	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
85	3, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
86		fvpr1o 17503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
87	29, 86	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
88	87	fveq2d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = (le‘𝑆))
89		xpsle.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (le‘𝑆)
90	88, 89	eqtr4di 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = 𝑁)
91		fvpr1o 17503	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑌 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o) = 𝐷)
92	17, 91	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o) = 𝐷)
93	85, 90, 92	breq123d 5162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o) ↔ 𝐵𝑁𝐷))
94	83, 93	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ∧ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)) ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))
95	73, 94	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))
96	59, 95	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))
97	43, 50, 96	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475  ∅c0 4322  {cpr 4630  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675  ran crn 5677  Oncon0 6362   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  –onto→wfo 6539  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  1_oc1o 8456  2_oc2o 8457  Basecbs 17141  Scalarcsca 17197  lecple 17201  X_scprds 17388   ×_s cxps 17449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-hom 17218  df-cco 17219  df-prds 17390  df-imas 17451  df-xps 17453

This theorem is referenced by: (None)