Theorem xpsle 17518

Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsle.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsle.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsle.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsle.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsle.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsle.p	⊢ ≤ = (le‘𝑇)
xpsle.m	⊢ 𝑀 = (le‘𝑅)
xpsle.n	⊢ 𝑁 = (le‘𝑆)
xpsle.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsle.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsle.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
xpsle.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xpsle	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))

Proof of Theorem xpsle

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7372	. . . . 5 ⊢ (𝐴(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		xpsle.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		xpsle.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
5	4	xpsfval 17505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐵) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩})
6	2, 3, 5	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐵) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩})
7	1, 6	eqtr3id 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩})
8	2, 3	opelxpd 5670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
9	4	xpsff1o2 17508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
10		f1of 6782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
12	11	ffvelcdmi 7037	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
13	8, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
14	7, 13	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
15		df-ov 7372	. . . . 5 ⊢ (𝐶(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩)
16		xpsle.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
17		xpsle.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
18	4	xpsfval 17505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐶(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐷) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐷) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
20	15, 19	eqtr3id 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
21	16, 17	opelxpd 5670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
22	11	ffvelcdmi 7037	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
24	20, 23	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
25		xpsle.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
26		xpsle.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
27		xpsle.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
28		xpsle.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
29		xpsle.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
30		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
31		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
32	25, 26, 27, 28, 29, 4, 30, 31	xpsval 17509	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
33	25, 26, 27, 28, 29, 4, 30, 31	xpsrnbas 17510	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
34		f1ocnv 6794	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
35	9, 34	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
36		f1ofo 6789	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–onto→(𝑋 × 𝑌))
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–onto→(𝑋 × 𝑌))
38		ovexd 7404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
39		xpsle.p	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑇)
40		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
41	35	f1olecpbl 17466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ 𝑏 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) ∧ (𝑐 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ 𝑑 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) → (((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑎) = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑐) ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑏) = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑑)) → (𝑎(le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))𝑏 ↔ 𝑐(le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))𝑑)))
42	32, 33, 37, 38, 39, 40, 41	imasleval 17480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) → ((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) ≤ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
43	14, 24, 42	mpd3an23 1465	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) ≤ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
44		f1ocnvfv 7235	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
45	9, 8, 44	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
46	7, 45	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
47		f1ocnvfv 7235	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
48	9, 21, 47	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
49	20, 48	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
50	46, 49	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) ≤ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩))
51		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
52		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
53		2on 8424	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ On
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
55		fnpr2o 17496	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
56	28, 29, 55	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
57	14, 33	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
58	24, 33	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
59	31, 51, 52, 54, 56, 57, 58, 40	prdsleval 17416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ↔ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘)))
60		df2o3 8419	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, 1o}
61	60	raleqi 3294	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1o} ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘))
62		0ex 5257	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
63		1oex 8421	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
64		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅))
65		2fveq3 6845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)))
66		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅))
67	64, 65, 66	breq123d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ∅ → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅)))
68		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o))
69		2fveq3 6845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1o → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)))
70		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o))
71	68, 69, 70	breq123d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1o → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)))
72	62, 63, 67, 71	ralpr 4660	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ {∅, 1o} ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ∧ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)))
73	61, 72	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ∧ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)))
74		fvpr0o 17498	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
75	2, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
76		fvpr0o 17498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
77	28, 76	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
78	77	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = (le‘𝑅))
79		xpsle.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (le‘𝑅)
80	78, 79	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = 𝑀)
81		fvpr0o 17498	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) = 𝐶)
82	16, 81	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) = 𝐶)
83	75, 80, 82	breq123d 5116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ↔ 𝐴𝑀𝐶))
84		fvpr1o 17499	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
85	3, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
86		fvpr1o 17499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
87	29, 86	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
88	87	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = (le‘𝑆))
89		xpsle.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (le‘𝑆)
90	88, 89	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = 𝑁)
91		fvpr1o 17499	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑌 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o) = 𝐷)
92	17, 91	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o) = 𝐷)
93	85, 90, 92	breq123d 5116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o) ↔ 𝐵𝑁𝐷))
94	83, 93	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ∧ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)) ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))
95	73, 94	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))
96	59, 95	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))
97	43, 50, 96	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444  ∅c0 4292  {cpr 4587  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632  Oncon0 6320   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  –onto→wfo 6497  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  1_oc1o 8404  2_oc2o 8405  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199  lecple 17203  X_scprds 17384   ×_s cxps 17445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-prds 17386  df-imas 17447  df-xps 17449

This theorem is referenced by: (None)