MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsle 17461
Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsle.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsle.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsle.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsle.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsle.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsle.p = (le‘𝑇)
xpsle.m 𝑀 = (le‘𝑅)
xpsle.n 𝑁 = (le‘𝑆)
xpsle.3 (𝜑𝐴𝑋)
xpsle.4 (𝜑𝐵𝑌)
xpsle.5 (𝜑𝐶𝑋)
xpsle.6 (𝜑𝐷𝑌)
Assertion
Ref Expression
xpsle (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))

Proof of Theorem xpsle
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7360 . . . . 5 (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐵) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 xpsle.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
3 xpsle.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑌)
4 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
54xpsfval 17448 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐵) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩})
62, 3, 5syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐵) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩})
71, 6eqtr3id 2790 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩})
82, 3opelxpd 5671 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
94xpsff1o2 17451 . . . . . . 7 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
10 f1of 6784 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
1211ffvelcdmi 7034 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
138, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
147, 13eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑 → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
15 df-ov 7360 . . . . 5 (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐷) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩)
16 xpsle.5 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑋)
17 xpsle.6 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑌)
184xpsfval 17448 . . . . . 6 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐷) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶(𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐷) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
2015, 19eqtr3id 2790 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
2116, 17opelxpd 5671 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
2211ffvelcdmi 7034 . . . . 5 (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
2420, 23eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑 → {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
25 xpsle.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
26 xpsle.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑅)
27 xpsle.y . . . . 5 𝑌 = (Base‘𝑆)
28 xpsle.1 . . . . 5 (𝜑𝑅𝑉)
29 xpsle.2 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑊)
30 eqid 2736 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
31 eqid 2736 . . . . 5 ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
3225, 26, 27, 28, 29, 4, 30, 31xpsval 17452 . . . 4 (𝜑𝑇 = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
3325, 26, 27, 28, 29, 4, 30, 31xpsrnbas 17453 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
34 f1ocnv 6796 . . . . . 6 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
359, 34mp1i 13 . . . . 5 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
36 f1ofo 6791 . . . . 5 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–onto→(𝑋 × 𝑌))
3735, 36syl 17 . . . 4 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–onto→(𝑋 × 𝑌))
38 ovexd 7392 . . . 4 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
39 xpsle.p . . . 4 = (le‘𝑇)
40 eqid 2736 . . . 4 (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
4135f1olecpbl 17409 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ 𝑏 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) ∧ (𝑐 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ 𝑑 ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) → ((((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑎) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑐) ∧ ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑏) = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑑)) → (𝑎(le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))𝑏𝑐(le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))𝑑)))
4232, 33, 37, 38, 39, 40, 41imasleval 17423 . . 3 ((𝜑 ∧ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
4314, 24, 42mpd3an23 1463 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
44 f1ocnvfv 7224 . . . . 5 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
459, 8, 44sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
467, 45mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
47 f1ocnvfv 7224 . . . . 5 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
489, 21, 47sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
4920, 48mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
5046, 49breq12d 5118 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩))
51 eqid 2736 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
52 fvexd 6857 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
53 2on 8426 . . . . 5 2o ∈ On
5453a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2o ∈ On)
55 fnpr2o 17439 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
5628, 29, 55syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
5714, 33eleqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
5824, 33eleqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
5931, 51, 52, 54, 56, 57, 58, 40prdsleval 17359 . . 3 (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ↔ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘)))
60 df2o3 8420 . . . . . 6 2o = {∅, 1o}
6160raleqi 3311 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1o} ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘))
62 0ex 5264 . . . . . 6 ∅ ∈ V
63 1oex 8422 . . . . . 6 1o ∈ V
64 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅))
65 2fveq3 6847 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)))
66 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅))
6764, 65, 66breq123d 5119 . . . . . 6 (𝑘 = ∅ → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅)))
68 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o))
69 2fveq3 6847 . . . . . . 7 (𝑘 = 1o → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)))
70 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o))
7168, 69, 70breq123d 5119 . . . . . 6 (𝑘 = 1o → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)))
7262, 63, 67, 71ralpr 4661 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {∅, 1o} ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ∧ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)))
7361, 72bitri 274 . . . 4 (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ∧ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)))
74 fvpr0o 17441 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
752, 74syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
76 fvpr0o 17441 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑉 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
7728, 76syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
7877fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = (le‘𝑅))
79 xpsle.m . . . . . . 7 𝑀 = (le‘𝑅)
8078, 79eqtr4di 2794 . . . . . 6 (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = 𝑀)
81 fvpr0o 17441 . . . . . . 7 (𝐶𝑋 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) = 𝐶)
8216, 81syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) = 𝐶)
8375, 80, 82breq123d 5119 . . . . 5 (𝜑 → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ↔ 𝐴𝑀𝐶))
84 fvpr1o 17442 . . . . . . 7 (𝐵𝑌 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
853, 84syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
86 fvpr1o 17442 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑊 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
8729, 86syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
8887fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = (le‘𝑆))
89 xpsle.n . . . . . . 7 𝑁 = (le‘𝑆)
9088, 89eqtr4di 2794 . . . . . 6 (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = 𝑁)
91 fvpr1o 17442 . . . . . . 7 (𝐷𝑌 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o) = 𝐷)
9217, 91syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o) = 𝐷)
9385, 90, 92breq123d 5119 . . . . 5 (𝜑 → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o) ↔ 𝐵𝑁𝐷))
9483, 93anbi12d 631 . . . 4 (𝜑 → ((({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ∧ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)) ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
9573, 94bitrid 282 . . 3 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
9659, 95bitrd 278 . 2 (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
9743, 50, 963bitr3d 308 1 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶𝐵𝑁𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  c0 4282  {cpr 4588  cop 4592   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ccnv 5632  ran crn 5634  Oncon0 6317   Fn wfn 6491  wf 6492  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  1oc1o 8405  2oc2o 8406  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136  lecple 17140  Xscprds 17327   ×s cxps 17388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-prds 17329  df-imas 17390  df-xps 17392
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator