Theorem xpsle 17534

Description: Value of the ordering in a binary structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsle.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsle.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsle.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsle.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsle.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsle.p	⊢ ≤ = (le‘𝑇)
xpsle.m	⊢ 𝑀 = (le‘𝑅)
xpsle.n	⊢ 𝑁 = (le‘𝑆)
xpsle.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsle.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsle.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
xpsle.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xpsle	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))

Proof of Theorem xpsle

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7363	. . . . 5 ⊢ (𝐴(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		xpsle.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		xpsle.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
5	4	xpsfval 17521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐵) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩})
6	2, 3, 5	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐵) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩})
7	1, 6	eqtr3id 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩})
8	2, 3	opelxpd 5663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
9	4	xpsff1o2 17524	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
10		f1of 6774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)⟶ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
12	11	ffvelcdmi 7029	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
13	8, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
14	7, 13	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
15		df-ov 7363	. . . . 5 ⊢ (𝐶(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐷) = ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩)
16		xpsle.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
17		xpsle.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
18	4	xpsfval 17521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐶(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐷) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
19	16, 17, 18	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})𝐷) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
20	15, 19	eqtr3id 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩})
21	16, 17	opelxpd 5663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
22	11	ffvelcdmi 7029	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
24	20, 23	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
25		xpsle.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
26		xpsle.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
27		xpsle.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
28		xpsle.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
29		xpsle.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
30		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
31		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
32	25, 26, 27, 28, 29, 4, 30, 31	xpsval 17525	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
33	25, 26, 27, 28, 29, 4, 30, 31	xpsrnbas 17526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
34		f1ocnv 6786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
35	9, 34	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
36		f1ofo 6781	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–onto→(𝑋 × 𝑌))
37	35, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–onto→(𝑋 × 𝑌))
38		ovexd 7395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
39		xpsle.p	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑇)
40		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
41	35	f1olecpbl 17482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ 𝑏 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) ∧ (𝑐 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ 𝑑 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) → (((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑎) = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑐) ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑏) = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘𝑑)) → (𝑎(le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))𝑏 ↔ 𝑐(le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))𝑑)))
42	32, 33, 37, 38, 39, 40, 41	imasleval 17496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) → ((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) ≤ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
43	14, 24, 42	mpd3an23 1466	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) ≤ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}))
44		f1ocnvfv 7226	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
45	9, 8, 44	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
46	7, 45	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
47		f1ocnvfv 7226	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
48	9, 21, 47	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐶, 𝐷⟩))
49	20, 48	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
50	46, 49	breq12d 5099	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}) ≤ (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})‘{⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩))
51		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
52		fvexd 6849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
53		2on 8411	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ On
54	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
55		fnpr2o 17512	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
56	28, 29, 55	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
57	14, 33	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
58	24, 33	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
59	31, 51, 52, 54, 56, 57, 58, 40	prdsleval 17431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ↔ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘)))
60		df2o3 8406	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, 1o}
61	60	raleqi 3294	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ {∅, 1o} ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘))
62		0ex 5242	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
63		1oex 8408	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
64		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅))
65		2fveq3 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)))
66		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅))
67	64, 65, 66	breq123d 5100	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ∅ → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅)))
68		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o))
69		2fveq3 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1o → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)))
70		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o))
71	68, 69, 70	breq123d 5100	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1o → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)))
72	62, 63, 67, 71	ralpr 4645	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ {∅, 1o} ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ∧ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)))
73	61, 72	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ∧ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)))
74		fvpr0o 17514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
75	2, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
76		fvpr0o 17514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
77	28, 76	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
78	77	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = (le‘𝑅))
79		xpsle.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (le‘𝑅)
80	78, 79	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅)) = 𝑀)
81		fvpr0o 17514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) = 𝐶)
82	16, 81	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) = 𝐶)
83	75, 80, 82	breq123d 5100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ↔ 𝐴𝑀𝐶))
84		fvpr1o 17515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
85	3, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
86		fvpr1o 17515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
87	29, 86	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
88	87	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = (le‘𝑆))
89		xpsle.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (le‘𝑆)
90	88, 89	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o)) = 𝑁)
91		fvpr1o 17515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑌 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o) = 𝐷)
92	17, 91	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o) = 𝐷)
93	85, 90, 92	breq123d 5100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o) ↔ 𝐵𝑁𝐷))
94	83, 93	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘∅) ∧ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘1o)) ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))
95	73, 94	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘𝑘)(le‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))({⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩}‘𝑘) ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))
96	59, 95	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩} (le‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})){⟨∅, 𝐶⟩, ⟨1o, 𝐷⟩} ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))
97	43, 50, 96	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴𝑀𝐶 ∧ 𝐵𝑁𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {cpr 4570  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  ran crn 5625  Oncon0 6317   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  1_oc1o 8391  2_oc2o 8392  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214  lecple 17218  X_scprds 17399   ×_s cxps 17461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-prds 17401  df-imas 17463  df-xps 17465

This theorem is referenced by: (None)