Theorem xpsfrnel2 17497

Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 17503. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsfrnel2	⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Proof of Theorem xpsfrnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsfrnel 17495	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵))
2		fnpr2ob 17491	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ↔ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o)
3	2	biimpri 228	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
4	3	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
5		elex 3463	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ V)
6		elex 3463	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ V)
7	5, 6	anim12i 614	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
8		3anass 1095	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵)))
9		fnpr2o 17490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o)
10	9	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵))))
11		fvpr0o 17492	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) = 𝑋)
12	11	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
13		fvpr1o 17493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) = 𝑌)
14	13	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ 𝐵))
15	12, 14	bi2anan9 639	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
16	10, 15	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
17	8, 16	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
18	4, 7, 17	pm5.21nii 378	. 2 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
19	1, 18	bitri 275	1 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  ifcif 4481  {cpr 4584  ⟨cop 4588   Fn wfn 6495  ‘cfv 6500  1_oc1o 8400  2_oc2o 8401  Xcixp 8847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1o 8407  df-2o 8408  df-ixp 8848  df-en 8896  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  xpscf  17498  xpsff1o  17500