Theorem xpsfrnel2 17736

Description: Elementhood in the target space of the function 𝐹 appearing in xpsval 17742. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsfrnel2	⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌

Proof of Theorem xpsfrnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsfrnel 17734	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵))
2		fnpr2ob 17730	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ↔ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o)
3	2	biimpri 231	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
4	3	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
5		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ V)
6		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ V)
7	5, 6	anim12i 625	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
8		3anass 1111	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵)))
9		fnpr2o 17729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o)
10	9	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵))))
11		fvpr0o 17731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ V → ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) = 𝑋)
12	11	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
13		fvpr1o 17732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) = 𝑌)
14	13	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ 𝐵))
15	12, 14	bi2anan9 650	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ((({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
16	10, 15	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
17	8, 16	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
18	4, 7, 17	pm5.21nii 381	. 2 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘1o) ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
19	1, 18	bitri 278	1 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ifcif 4481  {cpr 4585  ⟨cop 4589   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  1_oc1o 8469  2_oc2o 8470  Xcixp 8925

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8476  df-2o 8477  df-ixp 8926  df-en 8974  df-fin 8977

This theorem is used by:  xpscf  17737  xpsff1o  17739