Theorem xpsxmetlem 23440

Description: Lemma for xpsxmet 23441. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsds.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsds.p	⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m	⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n	⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsds.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
xpsds.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
xpsxmetlem	⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsxmetlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
6		fvexd 6771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7		2on 8275	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
9		fvexd 6771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) ∈ V)
10		elpri 4580	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {∅, 1o} → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
11		df2o3 8282	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
12	10, 11	eleq2s 2857	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 2o → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
13		xpsds.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
15		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))
16		xpsds.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
17		fvpr0o 17187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
19	15, 18	sylan9eqr 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = 𝑅)
20	19	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (dist‘𝑅))
21	19	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘𝑅))
22		xpsds.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
23	21, 22	eqtr4di 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = 𝑋)
24	23	sqxpeqd 5612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (𝑋 × 𝑋))
25	20, 24	reseq12d 5881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
26		xpsds.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
27	25, 26	eqtr4di 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = 𝑀)
28	23	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (∞Met‘𝑋))
29	14, 27, 28	3eltr4d 2854	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
30		xpsds.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
32		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))
33		xpsds.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
34		fvpr1o 17188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
36	32, 35	sylan9eqr 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = 𝑆)
37	36	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (dist‘𝑆))
38	36	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘𝑆))
39		xpsds.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
40	38, 39	eqtr4di 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = 𝑌)
41	40	sqxpeqd 5612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (𝑌 × 𝑌))
42	37, 41	reseq12d 5881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
43		xpsds.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
44	42, 43	eqtr4di 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = 𝑁)
45	40	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (∞Met‘𝑌))
46	31, 44, 45	3eltr4d 2854	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
47	29, 46	jaodan 954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o)) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
48	12, 47	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 48	prdsxmet 23430	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))))
50		fnpr2o 17185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
51	16, 33, 50	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
52		dffn5 6810	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} = (𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
53	51, 52	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} = (𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
54	53	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
55	54	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
56		xpsds.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
57		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
58		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
59		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
60	56, 22, 39, 16, 33, 57, 58, 59	xpsrnbas 17199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
61	54	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
62	60, 61	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
63	62	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) = (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))))
64	49, 55, 63	3eltr4d 2854	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  {cpr 4560  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ran crn 5581   ↾ cres 5582  Oncon0 6251   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  1_oc1o 8260  2_oc2o 8261  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891  distcds 16897  X_scprds 17073   ×_s cxps 17134  ∞Metcxmet 20495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-prds 17075  df-xmet 20503

This theorem is referenced by:  xpsxmet  23441  xpsdsval  23442