Theorem xpsxmetlem 24105

Description: Lemma for xpsxmet 24106. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsds.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsds.p	⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m	⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n	⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsds.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
xpsds.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
xpsxmetlem	⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsxmetlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
6		fvexd 6905	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7		2on 8482	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
9		fvexd 6905	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) ∈ V)
10		elpri 4649	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {∅, 1o} → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
11		df2o3 8476	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
12	10, 11	eleq2s 2849	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 2o → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
13		xpsds.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
14	13	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
15		fveq2 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))
16		xpsds.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
17		fvpr0o 17509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
19	15, 18	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = 𝑅)
20	19	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (dist‘𝑅))
21	19	fveq2d 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘𝑅))
22		xpsds.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
23	21, 22	eqtr4di 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = 𝑋)
24	23	sqxpeqd 5707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (𝑋 × 𝑋))
25	20, 24	reseq12d 5981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
26		xpsds.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
27	25, 26	eqtr4di 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = 𝑀)
28	23	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (∞Met‘𝑋))
29	14, 27, 28	3eltr4d 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
30		xpsds.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
31	30	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
32		fveq2 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))
33		xpsds.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
34		fvpr1o 17510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
36	32, 35	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = 𝑆)
37	36	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (dist‘𝑆))
38	36	fveq2d 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘𝑆))
39		xpsds.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
40	38, 39	eqtr4di 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = 𝑌)
41	40	sqxpeqd 5707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (𝑌 × 𝑌))
42	37, 41	reseq12d 5981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
43		xpsds.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
44	42, 43	eqtr4di 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = 𝑁)
45	40	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (∞Met‘𝑌))
46	31, 44, 45	3eltr4d 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
47	29, 46	jaodan 954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o)) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
48	12, 47	sylan2 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 48	prdsxmet 24095	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))))
50		fnpr2o 17507	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
51	16, 33, 50	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
52		dffn5 6949	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} = (𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
53	51, 52	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} = (𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
54	53	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
55	54	fveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
56		xpsds.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
57		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
58		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
59		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
60	56, 22, 39, 16, 33, 57, 58, 59	xpsrnbas 17521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
61	54	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
62	60, 61	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
63	62	fveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) = (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))))
64	49, 55, 63	3eltr4d 2846	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  ∅c0 4321  {cpr 4629  ⟨cop 4633   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673  ran crn 5676   ↾ cres 5677  Oncon0 6363   Fn wfn 6537  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1_oc1o 8461  2_oc2o 8462  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204  distcds 17210  X_scprds 17395   ×_s cxps 17456  ∞Metcxmet 21129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-prds 17397  df-xmet 21137

This theorem is referenced by:  xpsxmet  24106  xpsdsval  24107