Theorem xpsxmetlem 22695

Description: Lemma for xpsxmet 22696. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsds.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsds.p	⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m	⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n	⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsds.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
xpsds.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
xpsxmetlem	⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsxmetlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
2		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
3		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))
4		eqid 2778	. . 3 ⊢ ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
5		eqid 2778	. . 3 ⊢ (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
6		fvexd 6516	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7		2on 7916	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
9		fvexd 6516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) ∈ V)
10		elpri 4464	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {∅, 1o} → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
11		df2o3 7921	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
12	10, 11	eleq2s 2884	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 2o → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
13		xpsds.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
14	13	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
15		fveq2 6501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ∅ → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))
16		xpsds.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
17		xpsc0 16692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
19	15, 18	sylan9eqr 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = 𝑅)
20	19	fveq2d 6505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘𝑅))
21	19	fveq2d 6505	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘𝑅))
22		xpsds.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
23	21, 22	syl6eqr 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = 𝑋)
24	23	sqxpeqd 5440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (𝑋 × 𝑋))
25	20, 24	reseq12d 5697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
26		xpsds.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
27	25, 26	syl6eqr 2832	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = 𝑀)
28	23	fveq2d 6505	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (∞Met‘𝑋))
29	14, 27, 28	3eltr4d 2881	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
30		xpsds.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
31	30	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
32		fveq2 6501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1o → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o))
33		xpsds.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
34		xpsc1 16693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o) = 𝑆)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o) = 𝑆)
36	32, 35	sylan9eqr 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
37	36	fveq2d 6505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘𝑆))
38	36	fveq2d 6505	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘𝑆))
39		xpsds.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
40	38, 39	syl6eqr 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = 𝑌)
41	40	sqxpeqd 5440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (𝑌 × 𝑌))
42	37, 41	reseq12d 5697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
43		xpsds.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
44	42, 43	syl6eqr 2832	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = 𝑁)
45	40	fveq2d 6505	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (∞Met‘𝑌))
46	31, 44, 45	3eltr4d 2881	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
47	29, 46	jaodan 940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o)) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
48	12, 47	sylan2 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 48	prdsxmet 22685	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))))
50		xpscfn 16691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2o)
51	16, 33, 50	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2o)
52		dffn5 6556	. . . . 5 ⊢ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2o ↔ ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) = (𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
53	51, 52	sylib 210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) = (𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
54	53	oveq2d 6994	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
55	54	fveq2d 6505	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
56		xpsds.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
57		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
58		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
59		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
60	56, 22, 39, 16, 33, 57, 58, 59	xpslem 16705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
61	54	fveq2d 6505	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
62	60, 61	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
63	62	fveq2d 6505	. 2 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) = (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))))
64	49, 55, 63	3eltr4d 2881	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∨ wo 833   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3415  ∅c0 4180  {csn 4442  {cpr 4444   ↦ cmpt 5009   × cxp 5406  ^◡ccnv 5407  ran crn 5409   ↾ cres 5410  Oncon0 6031   Fn wfn 6185  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978   ∈ cmpo 6980  1_oc1o 7900  2_oc2o 7901   +_𝑐 ccda 9389  Basecbs 16342  Scalarcsca 16427  distcds 16433  X_scprds 16578   ×_s cxps 16638  ∞Metcxmet 20235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-cda 9390  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-rp 12208  df-xneg 12327  df-xadd 12328  df-xmul 12329  df-icc 12564  df-fz 12712  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-hom 16448  df-cco 16449  df-prds 16580  df-xmet 20243

This theorem is referenced by:  xpsxmet  22696  xpsdsval  22697