Theorem xpsxmetlem 24390

Description: Lemma for xpsxmet 24391. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsds.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsds.p	⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m	⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n	⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsds.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
xpsds.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
xpsxmetlem	⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsxmetlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
6		fvexd 6920	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7		2on 8521	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
9		fvexd 6920	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) ∈ V)
10		elpri 4648	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {∅, 1o} → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
11		df2o3 8515	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
12	10, 11	eleq2s 2858	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 2o → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
13		xpsds.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
15		fveq2 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))
16		xpsds.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
17		fvpr0o 17605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
19	15, 18	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = 𝑅)
20	19	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (dist‘𝑅))
21	19	fveq2d 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘𝑅))
22		xpsds.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
23	21, 22	eqtr4di 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = 𝑋)
24	23	sqxpeqd 5716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (𝑋 × 𝑋))
25	20, 24	reseq12d 5997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
26		xpsds.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
27	25, 26	eqtr4di 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = 𝑀)
28	23	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (∞Met‘𝑋))
29	14, 27, 28	3eltr4d 2855	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
30		xpsds.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
32		fveq2 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))
33		xpsds.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
34		fvpr1o 17606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
36	32, 35	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = 𝑆)
37	36	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (dist‘𝑆))
38	36	fveq2d 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘𝑆))
39		xpsds.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
40	38, 39	eqtr4di 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = 𝑌)
41	40	sqxpeqd 5716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (𝑌 × 𝑌))
42	37, 41	reseq12d 5997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
43		xpsds.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
44	42, 43	eqtr4di 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = 𝑁)
45	40	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (∞Met‘𝑌))
46	31, 44, 45	3eltr4d 2855	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
47	29, 46	jaodan 959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o)) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
48	12, 47	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 48	prdsxmet 24380	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))))
50		fnpr2o 17603	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
51	16, 33, 50	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
52		dffn5 6966	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} = (𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
53	51, 52	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} = (𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
54	53	oveq2d 7448	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
55	54	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
56		xpsds.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
57		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
58		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
59		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
60	56, 22, 39, 16, 33, 57, 58, 59	xpsrnbas 17617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
61	54	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
62	60, 61	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
63	62	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) = (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))))
64	49, 55, 63	3eltr4d 2855	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479  ∅c0 4332  {cpr 4627  ⟨cop 4631   ↦ cmpt 5224   × cxp 5682  ran crn 5685   ↾ cres 5686  Oncon0 6383   Fn wfn 6555  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434  1_oc1o 8500  2_oc2o 8501  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301  distcds 17307  X_scprds 17491   ×_s cxps 17552  ∞Metcxmet 21350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-fz 13549  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17493  df-xmet 21358

This theorem is referenced by:  xpsxmet  24391  xpsdsval  24392