Theorem xpsmet 23870

Description: The direct product of two metric spaces. Definition 14-1.5 of [Gleason] p. 225. (Contributed by NM, 20-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsds.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsds.p	⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m	⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n	⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsmet.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
xpsmet.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
xpsmet	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem xpsmet

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsds.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsds.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
3		xpsds.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
4		xpsds.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
5		xpsds.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17512	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17513	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
11	6	xpsff1o2 17511	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
12		f1ocnv 6842	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
13	11, 12	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
14		ovexd 7439	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
15		eqid 2733	. 2 ⊢ ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) = ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
16		xpsds.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)
17		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
18		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
19		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))
20		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
21		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
22		fvexd 6903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
23		2onn 8637	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
24		nnfi 9163	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
25	23, 24	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ Fin)
26		fvexd 6903	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) ∈ V)
27		elpri 4649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {∅, 1o} → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
28		df2o3 8469	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
29	27, 28	eleq2s 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 2o → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
30		xpsmet.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
31	30	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
32		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))
33		fvpr0o 17501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
35	32, 34	sylan9eqr 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = 𝑅)
36	35	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (dist‘𝑅))
37	35	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘𝑅))
38	37, 2	eqtr4di 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = 𝑋)
39	38	sqxpeqd 5707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (𝑋 × 𝑋))
40	36, 39	reseq12d 5980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
41		xpsds.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
42	40, 41	eqtr4di 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = 𝑀)
43	38	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (Met‘𝑋))
44	31, 42, 43	3eltr4d 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
45		xpsmet.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑌))
46	45	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑌))
47		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))
48		fvpr1o 17502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
49	5, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
50	47, 49	sylan9eqr 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = 𝑆)
51	50	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (dist‘𝑆))
52	50	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘𝑆))
53	52, 3	eqtr4di 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = 𝑌)
54	53	sqxpeqd 5707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (𝑌 × 𝑌))
55	51, 54	reseq12d 5980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
56		xpsds.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
57	55, 56	eqtr4di 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = 𝑁)
58	53	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → (Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (Met‘𝑌))
59	46, 57, 58	3eltr4d 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
60	44, 59	jaodan 957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o)) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
61	29, 60	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
62	17, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 26, 61	prdsmet 23858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))))
63		fnpr2o 17499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
64	4, 5, 63	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
65		dffn5 6947	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} = (𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
66	64, 65	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} = (𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
67	66	oveq2d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
68	67	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
69	67	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
70	10, 69	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
71	70	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) = (Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))))
72	62, 68, 71	3eltr4d 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
73		ssid 4003	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
74		metres2 23851	. . 3 ⊢ (((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) ∧ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) ∈ (Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
75	72, 73, 74	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) ∈ (Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
76	9, 10, 13, 14, 15, 16, 75	imasf1omet 23864	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {cpr 4629  ⟨cop 4633   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673  ^◡ccnv 5674  ran crn 5676   ↾ cres 5677   Fn wfn 6535  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  ωcom 7850  1_oc1o 8454  2_oc2o 8455  Fincfn 8935  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196  distcds 17202  X_scprds 17387   ×_s cxps 17448  Metcmet 20915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-xmet 20922  df-met 20923

This theorem is referenced by: (None)