MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsmet 24110
Description: The direct product of two metric spaces. Definition 14-1.5 of [Gleason] p. 225. (Contributed by NM, 20-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
xpsds.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
xpsds.y π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
xpsds.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
xpsds.p 𝑃 = (distβ€˜π‘‡)
xpsds.m 𝑀 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
xpsds.n 𝑁 = ((distβ€˜π‘†) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
xpsmet.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
xpsmet.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
xpsmet (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))

Proof of Theorem xpsmet
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . 3 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
2 xpsds.x . . 3 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
3 xpsds.y . . 3 π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
4 xpsds.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
5 xpsds.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
6 eqid 2730 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
7 eqid 2730 . . 3 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
8 eqid 2730 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 17522 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsrnbas 17523 . 2 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
116xpsff1o2 17521 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
12 f1ocnv 6846 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
1311, 12mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
14 ovexd 7448 . 2 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) ∈ V)
15 eqid 2730 . 2 ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))) = ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})))
16 xpsds.p . 2 𝑃 = (distβ€˜π‘‡)
17 eqid 2730 . . . . 5 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))
18 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
19 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))
20 eqid 2730 . . . . 5 ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
21 eqid 2730 . . . . 5 (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
22 fvexd 6907 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
23 2onn 8645 . . . . . 6 2o ∈ Ο‰
24 nnfi 9171 . . . . . 6 (2o ∈ Ο‰ β†’ 2o ∈ Fin)
2523, 24mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2o ∈ Fin)
26 fvexd 6907 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜) ∈ V)
27 elpri 4651 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {βˆ…, 1o} β†’ (π‘˜ = βˆ… ∨ π‘˜ = 1o))
28 df2o3 8478 . . . . . . 7 2o = {βˆ…, 1o}
2927, 28eleq2s 2849 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 2o β†’ (π‘˜ = βˆ… ∨ π‘˜ = 1o))
30 xpsmet.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3130adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = βˆ… β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜) = ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))
33 fvpr0o 17511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑅)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑅)
3532, 34sylan9eqr 2792 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜) = 𝑅)
3635fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ (distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (distβ€˜π‘…))
3735fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (Baseβ€˜π‘…))
3837, 2eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = 𝑋)
3938sqxpeqd 5709 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))) = (𝑋 Γ— 𝑋))
4036, 39reseq12d 5983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
41 xpsds.m . . . . . . . . 9 𝑀 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
4240, 41eqtr4di 2788 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = 𝑀)
4338fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ (Metβ€˜(Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))) = (Metβ€˜π‘‹))
4431, 42, 433eltr4d 2846 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
45 xpsmet.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
4645adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
47 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 1o β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜) = ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))
48 fvpr1o 17512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o) = 𝑆)
495, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o) = 𝑆)
5047, 49sylan9eqr 2792 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜) = 𝑆)
5150fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ (distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (distβ€˜π‘†))
5250fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (Baseβ€˜π‘†))
5352, 3eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = π‘Œ)
5453sqxpeqd 5709 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))) = (π‘Œ Γ— π‘Œ))
5551, 54reseq12d 5983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = ((distβ€˜π‘†) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
56 xpsds.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((distβ€˜π‘†) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
5755, 56eqtr4di 2788 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = 𝑁)
5853fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ (Metβ€˜(Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))) = (Metβ€˜π‘Œ))
5946, 57, 583eltr4d 2846 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
6044, 59jaodan 954 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ = βˆ… ∨ π‘˜ = 1o)) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
6129, 60sylan2 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
6217, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 26, 61prdsmet 24098 . . . 4 (πœ‘ β†’ (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))))
63 fnpr2o 17509 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
644, 5, 63syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
65 dffn5 6951 . . . . . . 7 ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ↔ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} = (π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))
6664, 65sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} = (π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))
6766oveq2d 7429 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
6867fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))))
6967fveq2d 6896 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))))
7010, 69eqtrd 2770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))))
7170fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})) = (Metβ€˜(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))))
7262, 68, 713eltr4d 2846 . . 3 (πœ‘ β†’ (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∈ (Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})))
73 ssid 4005 . . 3 ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
74 metres2 24091 . . 3 (((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∈ (Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})) β†’ ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))) ∈ (Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})))
7572, 73, 74sylancl 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))) ∈ (Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})))
769, 10, 13, 14, 15, 16, 75imasf1omet 24104 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Ο‰com 7859  1oc1o 8463  2oc2o 8464  Fincfn 8943  Basecbs 17150  Scalarcsca 17206  distcds 17212  Xscprds 17397   Γ—s cxps 17458  Metcmet 21132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14297  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-xmet 21139  df-met 21140
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator