MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsmet 23580
Description: The direct product of two metric spaces. Definition 14-1.5 of [Gleason] p. 225. (Contributed by NM, 20-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
xpsds.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
xpsds.y π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
xpsds.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
xpsds.p 𝑃 = (distβ€˜π‘‡)
xpsds.m 𝑀 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
xpsds.n 𝑁 = ((distβ€˜π‘†) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
xpsmet.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
xpsmet.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
xpsmet (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))

Proof of Theorem xpsmet
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . 3 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
2 xpsds.x . . 3 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
3 xpsds.y . . 3 π‘Œ = (Baseβ€˜π‘†)
4 xpsds.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
5 xpsds.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
6 eqid 2736 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
7 eqid 2736 . . 3 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
8 eqid 2736 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 17326 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsrnbas 17327 . 2 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
116xpsff1o2 17325 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
12 f1ocnv 6758 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
1311, 12mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’(𝑋 Γ— π‘Œ))
14 ovexd 7342 . 2 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) ∈ V)
15 eqid 2736 . 2 ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))) = ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})))
16 xpsds.p . 2 𝑃 = (distβ€˜π‘‡)
17 eqid 2736 . . . . 5 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))
18 eqid 2736 . . . . 5 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
19 eqid 2736 . . . . 5 (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))
20 eqid 2736 . . . . 5 ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
21 eqid 2736 . . . . 5 (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
22 fvexd 6819 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
23 2onn 8503 . . . . . 6 2o ∈ Ο‰
24 nnfi 8988 . . . . . 6 (2o ∈ Ο‰ β†’ 2o ∈ Fin)
2523, 24mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2o ∈ Fin)
26 fvexd 6819 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜) ∈ V)
27 elpri 4587 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {βˆ…, 1o} β†’ (π‘˜ = βˆ… ∨ π‘˜ = 1o))
28 df2o3 8336 . . . . . . 7 2o = {βˆ…, 1o}
2927, 28eleq2s 2855 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 2o β†’ (π‘˜ = βˆ… ∨ π‘˜ = 1o))
30 xpsmet.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3130adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
32 fveq2 6804 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = βˆ… β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜) = ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…))
33 fvpr0o 17315 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑅)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑅)
3532, 34sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜) = 𝑅)
3635fveq2d 6808 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ (distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (distβ€˜π‘…))
3735fveq2d 6808 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (Baseβ€˜π‘…))
3837, 2eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = 𝑋)
3938sqxpeqd 5632 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))) = (𝑋 Γ— 𝑋))
4036, 39reseq12d 5904 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
41 xpsds.m . . . . . . . . 9 𝑀 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
4240, 41eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = 𝑀)
4338fveq2d 6808 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ (Metβ€˜(Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))) = (Metβ€˜π‘‹))
4431, 42, 433eltr4d 2852 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = βˆ…) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
45 xpsmet.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
4645adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
47 fveq2 6804 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 1o β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜) = ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o))
48 fvpr1o 17316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o) = 𝑆)
495, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜1o) = 𝑆)
5047, 49sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜) = 𝑆)
5150fveq2d 6808 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ (distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (distβ€˜π‘†))
5250fveq2d 6808 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = (Baseβ€˜π‘†))
5352, 3eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) = π‘Œ)
5453sqxpeqd 5632 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))) = (π‘Œ Γ— π‘Œ))
5551, 54reseq12d 5904 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = ((distβ€˜π‘†) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
56 xpsds.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((distβ€˜π‘†) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
5755, 56eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) = 𝑁)
5853fveq2d 6808 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ (Metβ€˜(Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))) = (Metβ€˜π‘Œ))
5946, 57, 583eltr4d 2852 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 1o) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
6044, 59jaodan 956 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ = βˆ… ∨ π‘˜ = 1o)) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
6129, 60sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 2o) β†’ ((distβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) β†Ύ ((Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)) Γ— (Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
6217, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 26, 61prdsmet 23568 . . . 4 (πœ‘ β†’ (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))))
63 fnpr2o 17313 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
644, 5, 63syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o)
65 dffn5 6860 . . . . . . 7 ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} Fn 2o ↔ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} = (π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))
6664, 65sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©} = (π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))
6766oveq2d 7323 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))
6867fveq2d 6808 . . . 4 (πœ‘ β†’ (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))))
6967fveq2d 6808 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))))
7010, 69eqtrd 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜)))))
7170fveq2d 6808 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})) = (Metβ€˜(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘˜ ∈ 2o ↦ ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}β€˜π‘˜))))))
7262, 68, 713eltr4d 2852 . . 3 (πœ‘ β†’ (distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∈ (Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})))
73 ssid 3948 . . 3 ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
74 metres2 23561 . . 3 (((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∈ (Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})) β†’ ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))) ∈ (Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})))
7572, 73, 74sylancl 587 . 2 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†Ύ (ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) Γ— ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))) ∈ (Metβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})))
769, 10, 13, 14, 15, 16, 75imasf1omet 23574 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   βŠ† wss 3892  βˆ…c0 4262  {cpr 4567  βŸ¨cop 4571   ↦ cmpt 5164   Γ— cxp 5598  β—‘ccnv 5599  ran crn 5601   β†Ύ cres 5602   Fn wfn 6453  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6457  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307   ∈ cmpo 7309  Ο‰com 7744  1oc1o 8321  2oc2o 8322  Fincfn 8764  Basecbs 16957  Scalarcsca 17010  distcds 17016  Xscprds 17201   Γ—s cxps 17262  Metcmet 20628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-map 8648  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-icc 13132  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-hash 14091  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-hom 17031  df-cco 17032  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-prds 17203  df-xrs 17258  df-imas 17264  df-xps 17266  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-mulg 18746  df-cntz 18968  df-cmn 19433  df-xmet 20635  df-met 20636
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator