Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsmet 22564
 Description: The direct product of two metric spaces. Definition 14-1.5 of [Gleason] p. 225. (Contributed by NM, 20-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsds.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsds.p 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsmet.3 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
xpsmet.4 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
xpsmet (𝜑𝑃 ∈ (Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem xpsmet
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . 3 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2 xpsds.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑅)
3 xpsds.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝑆)
4 xpsds.1 . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
5 xpsds.2 . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
6 eqid 2825 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7 eqid 2825 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8 eqid 2825 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 16592 . 2 (𝜑𝑇 = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpslem 16593 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
116xpsff1o2 16591 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
12 f1ocnv 6394 . . 3 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
1311, 12mp1i 13 . 2 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
14 ovexd 6944 . 2 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ V)
15 eqid 2825 . 2 ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) = ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
16 xpsds.p . 2 𝑃 = (dist‘𝑇)
17 eqid 2825 . . . . 5 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
18 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
19 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))
20 eqid 2825 . . . . 5 ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
21 eqid 2825 . . . . 5 (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
22 fvexd 6452 . . . . 5 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
23 2onn 7992 . . . . . 6 2o ∈ ω
24 nnfi 8428 . . . . . 6 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
2523, 24mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → 2o ∈ Fin)
26 fvexd 6452 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) ∈ V)
27 elpri 4421 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {∅, 1o} → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
28 df2o3 7845 . . . . . . 7 2o = {∅, 1o}
2927, 28eleq2s 2924 . . . . . 6 (𝑘 ∈ 2o → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
30 xpsmet.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
3130adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
32 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ∅ → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))
33 xpsc0 16580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅𝑉 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
3532, 34sylan9eqr 2883 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = ∅) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = 𝑅)
3635fveq2d 6441 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = ∅) → (dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘𝑅))
3735fveq2d 6441 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 = ∅) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘𝑅))
3837, 2syl6eqr 2879 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = ∅) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = 𝑋)
3938sqxpeqd 5378 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (𝑋 × 𝑋))
4036, 39reseq12d 5634 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
41 xpsds.m . . . . . . . . 9 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4240, 41syl6eqr 2879 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = 𝑀)
4338fveq2d 6441 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = ∅) → (Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (Met‘𝑋))
4431, 42, 433eltr4d 2921 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
45 xpsmet.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑌))
4645adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1o) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑌))
47 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1o → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o))
48 xpsc1 16581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝑊 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o) = 𝑆)
495, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1o) = 𝑆)
5047, 49sylan9eqr 2883 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1o) → (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
5150fveq2d 6441 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1o) → (dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘𝑆))
5250fveq2d 6441 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 = 1o) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘𝑆))
5352, 3syl6eqr 2879 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1o) → (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = 𝑌)
5453sqxpeqd 5378 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1o) → ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (𝑌 × 𝑌))
5551, 54reseq12d 5634 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1o) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
56 xpsds.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
5755, 56syl6eqr 2879 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1o) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = 𝑁)
5853fveq2d 6441 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1o) → (Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (Met‘𝑌))
5946, 57, 583eltr4d 2921 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 1o) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
6044, 59jaodan 985 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o)) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
6129, 60sylan2 586 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → ((dist‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘(({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
6217, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 26, 61prdsmet 22552 . . . 4 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))))
63 xpscfn 16579 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2o)
644, 5, 63syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2o)
65 dffn5 6492 . . . . . . 7 (({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2o({𝑅} +𝑐 {𝑆}) = (𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
6664, 65sylib 210 . . . . . 6 (𝜑({𝑅} +𝑐 {𝑆}) = (𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
6766oveq2d 6926 . . . . 5 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
6867fveq2d 6441 . . . 4 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
6967fveq2d 6441 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
7010, 69eqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
7170fveq2d 6441 . . . 4 (𝜑 → (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) = (Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ (({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))))
7262, 68, 713eltr4d 2921 . . 3 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
73 ssid 3848 . . 3 ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ⊆ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
74 metres2 22545 . . 3 (((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) ∧ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ⊆ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) ∈ (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
7572, 73, 74sylancl 580 . 2 (𝜑 → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦})))) ∈ (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))
769, 10, 13, 14, 15, 16, 75imasf1omet 22558 1 (𝜑𝑃 ∈ (Met‘(𝑋 × 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  {csn 4399  {cpr 4401   ↦ cmpt 4954   × cxp 5344  ◡ccnv 5345  ran crn 5347   ↾ cres 5348   Fn wfn 6122  –1-1-onto→wf1o 6126  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↦ cmpt2 6912  ωcom 7331  1oc1o 7824  2oc2o 7825  Fincfn 8228   +𝑐 ccda 9311  Basecbs 16229  Scalarcsca 16315  distcds 16321  Xscprds 16466   ×s cxps 16526  Metcmet 20099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-xmet 20106  df-met 20107 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator