MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsmet 23735
Description: The direct product of two metric spaces. Definition 14-1.5 of [Gleason] p. 225. (Contributed by NM, 20-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsds.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1 (𝜑𝑅𝑉)
xpsds.2 (𝜑𝑆𝑊)
xpsds.p 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsmet.3 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
xpsmet.4 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
xpsmet (𝜑𝑃 ∈ (Met‘(𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem xpsmet
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsds.t . . 3 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2 xpsds.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑅)
3 xpsds.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝑆)
4 xpsds.1 . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
5 xpsds.2 . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
6 eqid 2736 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7 eqid 2736 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8 eqid 2736 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 17452 . 2 (𝜑𝑇 = ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsrnbas 17453 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
116xpsff1o2 17451 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
12 f1ocnv 6796 . . 3 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
1311, 12mp1i 13 . 2 (𝜑(𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→(𝑋 × 𝑌))
14 ovexd 7392 . 2 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
15 eqid 2736 . 2 ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) = ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
16 xpsds.p . 2 𝑃 = (dist‘𝑇)
17 eqid 2736 . . . . 5 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
18 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
19 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))
20 eqid 2736 . . . . 5 ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
21 eqid 2736 . . . . 5 (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
22 fvexd 6857 . . . . 5 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
23 2onn 8588 . . . . . 6 2o ∈ ω
24 nnfi 9111 . . . . . 6 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
2523, 24mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → 2o ∈ Fin)
26 fvexd 6857 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) ∈ V)
27 elpri 4608 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {∅, 1o} → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
28 df2o3 8420 . . . . . . 7 2o = {∅, 1o}
2927, 28eleq2s 2856 . . . . . 6 (𝑘 ∈ 2o → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o))
30 xpsmet.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
32 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ∅ → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅))
33 fvpr0o 17441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅𝑉 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘∅) = 𝑅)
3532, 34sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = ∅) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = 𝑅)
3635fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = ∅) → (dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (dist‘𝑅))
3735fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 = ∅) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘𝑅))
3837, 2eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = ∅) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = 𝑋)
3938sqxpeqd 5665 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (𝑋 × 𝑋))
4036, 39reseq12d 5938 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
41 xpsds.m . . . . . . . . 9 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4240, 41eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = 𝑀)
4338fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = ∅) → (Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (Met‘𝑋))
4431, 42, 433eltr4d 2853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = ∅) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
45 xpsmet.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑌))
4645adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1o) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑌))
47 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1o → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o))
48 fvpr1o 17442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝑊 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
495, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘1o) = 𝑆)
5047, 49sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1o) → ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘) = 𝑆)
5150fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1o) → (dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (dist‘𝑆))
5250fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 = 1o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = (Base‘𝑆))
5352, 3eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1o) → (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) = 𝑌)
5453sqxpeqd 5665 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1o) → ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (𝑌 × 𝑌))
5551, 54reseq12d 5938 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
56 xpsds.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
5755, 56eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) = 𝑁)
5853fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1o) → (Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))) = (Met‘𝑌))
5946, 57, 583eltr4d 2853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 1o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
6044, 59jaodan 956 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1o)) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
6129, 60sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ 2o) → ((dist‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) ↾ ((Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)) × (Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
6217, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 26, 61prdsmet 23723 . . . 4 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))))
63 fnpr2o 17439 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
644, 5, 63syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o)
65 dffn5 6901 . . . . . . 7 ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} Fn 2o ↔ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} = (𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
6664, 65sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} = (𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))
6766oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))
6867fveq2d 6846 . . . 4 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
6967fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
7010, 69eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘)))))
7170fveq2d 6846 . . . 4 (𝜑 → (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) = (Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2o ↦ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}‘𝑘))))))
7262, 68, 713eltr4d 2853 . . 3 (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
73 ssid 3966 . . 3 ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ⊆ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
74 metres2 23716 . . 3 (((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) ∧ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ⊆ ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})) → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) ∈ (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
7572, 73, 74sylancl 586 . 2 (𝜑 → ((dist‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ↾ (ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) × ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))) ∈ (Met‘ran (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})))
769, 10, 13, 14, 15, 16, 75imasf1omet 23729 1 (𝜑𝑃 ∈ (Met‘(𝑋 × 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  {cpr 4588  cop 4592  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  ran crn 5634  cres 5635   Fn wfn 6491  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  ωcom 7802  1oc1o 8405  2oc2o 8406  Fincfn 8883  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136  distcds 17142  Xscprds 17327   ×s cxps 17388  Metcmet 20782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-xmet 20789  df-met 20790
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator