Theorem fovrn 7420

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fovrn	⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5617	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆))
2		df-ov 7258	. . . 4 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
3		ffvelrn 6941	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ 𝐶)
4	2, 3	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 4	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
6	5	3impb 1113	1 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4564   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258

This theorem is referenced by:  fovrnda  7421  fovrnd  7422  ovmpoelrn  7885  curry1f  7917  curry2f  7919  mapxpen  8879  axdc4lem  10142  axdc4uzlem  13631  imasmnd2  18337  grpsubcl  18570  imasgrp2  18605  imasring  19773  tsmsxplem1  23212  psmetcl  23368  xmetcl  23392  metcl  23393  blssm  23479  mbfi1fseqlem3  24787  mbfi1fseqlem4  24788  mbfi1fseqlem5  24789  grpocl  28763  grpodivcl  28802  vccl  28826  nvmcl  28909  cvmliftphtlem  33179  matunitlindflem1  35700  isbnd3  35869  clmgmOLD  35936  rngocl  35986  isdrngo2  36043