MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovrnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fovrnd 6953
Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fovrnd.1 (𝜑𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovrnd.2 (𝜑𝐴𝑅)
fovrnd.3 (𝜑𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
fovrnd (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrnd
StepHypRef Expression
1 fovrnd.1 . 2 (𝜑𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2 fovrnd.2 . 2 (𝜑𝐴𝑅)
3 fovrnd.3 . 2 (𝜑𝐵𝑆)
4 fovrn 6951 . 2 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
51, 2, 3, 4syl3anc 1476 1 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145   × cxp 5247  wf 6027  (class class class)co 6793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6796
This theorem is referenced by:  eroveu  7995  fseqenlem1  9047  rlimcn2  14529  homarel  16893  curf1cl  17076  curf2cl  17079  hofcllem  17106  yonedalem3b  17127  gasubg  17942  gacan  17945  gapm  17946  gastacos  17950  orbsta  17953  galactghm  18030  sylow1lem2  18221  sylow2alem2  18240  sylow3lem1  18249  efgcpbllemb  18375  frgpuplem  18392  frlmbas3  20332  mamucl  20424  mamuass  20425  mamudi  20426  mamudir  20427  mamuvs1  20428  mamuvs2  20429  mamulid  20464  mamurid  20465  mamutpos  20482  matgsumcl  20484  mavmulcl  20571  mavmulass  20573  mdetleib2  20612  mdetf  20619  mdetdiaglem  20622  mdetrlin  20626  mdetrsca  20627  mdetralt  20632  mdetunilem7  20642  maducoeval2  20664  madugsum  20667  madurid  20668  tsmsxplem2  22177  isxmet2d  22352  ismet2  22358  prdsxmetlem  22393  comet  22538  ipcn  23264  ovoliunlem2  23491  itg1addlem4  23686  itg1addlem5  23687  mbfi1fseqlem5  23706  limccnp2  23876  midcl  25890  pstmxmet  30280  cvmlift2lem9  31631  isbnd3  33915  prdsbnd  33924  iscringd  34129  rmxycomplete  38008  rmxyadd  38012
  Copyright terms: Public domain W3C validator