Theorem fovrnd 7380

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovrnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovrnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovrnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovrnd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovrnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovrnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovrnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovrn 7378	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   × cxp 5549  ⟶wf 6376  (class class class)co 7213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-ov 7216

This theorem is referenced by:  eroveu  8494  fseqenlem1  9638  rlimcn2  15152  homarel  17542  curf1cl  17736  curf2cl  17739  hofcllem  17766  yonedalem3b  17787  gasubg  18696  gacan  18699  gapm  18700  gastacos  18704  orbsta  18707  galactghm  18796  sylow1lem2  18988  sylow2alem2  19007  sylow3lem1  19016  efgcpbllemb  19145  frgpuplem  19162  frlmbas3  20738  mamucl  21298  mamuass  21299  mamudi  21300  mamudir  21301  mamuvs1  21302  mamuvs2  21303  mamulid  21338  mamurid  21339  mamutpos  21355  matgsumcl  21357  mavmulcl  21444  mavmulass  21446  mdetleib2  21485  mdetf  21492  mdetdiaglem  21495  mdetrlin  21499  mdetrsca  21500  mdetralt  21505  mdetunilem7  21515  maducoeval2  21537  madugsum  21540  madurid  21541  tsmsxplem2  23051  isxmet2d  23225  ismet2  23231  prdsxmetlem  23266  comet  23411  ipcn  24143  ovoliunlem2  24400  itg1addlem4  24596  itg1addlem4OLD  24597  itg1addlem5  24598  mbfi1fseqlem5  24617  limccnp2  24789  midcl  26868  fedgmullem2  31425  pstmxmet  31561  cvmlift2lem9  32986  isbnd3  35679  prdsbnd  35688  iscringd  35893  rmxycomplete  40442  rmxyadd  40446  2arympt  45668