Theorem fovrnd 7422

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovrnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovrnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovrnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovrnd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovrnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovrnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovrnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovrn 7420	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   × cxp 5578  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258

This theorem is referenced by:  eroveu  8559  fseqenlem1  9711  rlimcn2  15228  homarel  17667  curf1cl  17862  curf2cl  17865  hofcllem  17892  yonedalem3b  17913  gasubg  18823  gacan  18826  gapm  18827  gastacos  18831  orbsta  18834  galactghm  18927  sylow1lem2  19119  sylow2alem2  19138  sylow3lem1  19147  efgcpbllemb  19276  frgpuplem  19293  frlmbas3  20893  mamucl  21458  mamuass  21459  mamudi  21460  mamudir  21461  mamuvs1  21462  mamuvs2  21463  mamulid  21498  mamurid  21499  mamutpos  21515  matgsumcl  21517  mavmulcl  21604  mavmulass  21606  mdetleib2  21645  mdetf  21652  mdetdiaglem  21655  mdetrlin  21659  mdetrsca  21660  mdetralt  21665  mdetunilem7  21675  maducoeval2  21697  madugsum  21700  madurid  21701  tsmsxplem2  23213  isxmet2d  23388  ismet2  23394  prdsxmetlem  23429  comet  23575  ipcn  24315  ovoliunlem2  24572  itg1addlem4  24768  itg1addlem4OLD  24769  itg1addlem5  24770  mbfi1fseqlem5  24789  limccnp2  24961  midcl  27042  fedgmullem2  31613  pstmxmet  31749  cvmlift2lem9  33173  isbnd3  35869  prdsbnd  35878  iscringd  36083  rmxycomplete  40655  rmxyadd  40659  2arympt  45883