MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovrnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fovrnd 7309
Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fovrnd.1 (𝜑𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovrnd.2 (𝜑𝐴𝑅)
fovrnd.3 (𝜑𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
fovrnd (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrnd
StepHypRef Expression
1 fovrnd.1 . 2 (𝜑𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2 fovrnd.2 . 2 (𝜑𝐴𝑅)
3 fovrnd.3 . 2 (𝜑𝐵𝑆)
4 fovrn 7307 . 2 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
51, 2, 3, 4syl3anc 1363 1 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   × cxp 5546  wf 6344  (class class class)co 7145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148
This theorem is referenced by:  eroveu  8381  fseqenlem1  9438  rlimcn2  14935  homarel  17284  curf1cl  17466  curf2cl  17469  hofcllem  17496  yonedalem3b  17517  gasubg  18370  gacan  18373  gapm  18374  gastacos  18378  orbsta  18381  galactghm  18461  sylow1lem2  18653  sylow2alem2  18672  sylow3lem1  18681  efgcpbllemb  18810  frgpuplem  18827  frlmbas3  20848  mamucl  20938  mamuass  20939  mamudi  20940  mamudir  20941  mamuvs1  20942  mamuvs2  20943  mamulid  20978  mamurid  20979  mamutpos  20995  matgsumcl  20997  mavmulcl  21084  mavmulass  21086  mdetleib2  21125  mdetf  21132  mdetdiaglem  21135  mdetrlin  21139  mdetrsca  21140  mdetralt  21145  mdetunilem7  21155  maducoeval2  21177  madugsum  21180  madurid  21181  tsmsxplem2  22689  isxmet2d  22864  ismet2  22870  prdsxmetlem  22905  comet  23050  ipcn  23776  ovoliunlem2  24031  itg1addlem4  24227  itg1addlem5  24228  mbfi1fseqlem5  24247  limccnp2  24417  midcl  26490  fedgmullem2  30925  pstmxmet  31036  cvmlift2lem9  32455  isbnd3  34943  prdsbnd  34952  iscringd  35157  rmxycomplete  39392  rmxyadd  39396
  Copyright terms: Public domain W3C validator