Theorem fovrnd 7444

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovrnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovrnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovrnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovrnd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovrnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovrnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovrnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovrn 7442	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   × cxp 5587  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278

This theorem is referenced by:  eroveu  8601  fseqenlem1  9780  rlimcn2  15300  homarel  17751  curf1cl  17946  curf2cl  17949  hofcllem  17976  yonedalem3b  17997  gasubg  18908  gacan  18911  gapm  18912  gastacos  18916  orbsta  18919  galactghm  19012  sylow1lem2  19204  sylow2alem2  19223  sylow3lem1  19232  efgcpbllemb  19361  frgpuplem  19378  frlmbas3  20983  mamucl  21548  mamuass  21549  mamudi  21550  mamudir  21551  mamuvs1  21552  mamuvs2  21553  mamulid  21590  mamurid  21591  mamutpos  21607  matgsumcl  21609  mavmulcl  21696  mavmulass  21698  mdetleib2  21737  mdetf  21744  mdetdiaglem  21747  mdetrlin  21751  mdetrsca  21752  mdetralt  21757  mdetunilem7  21767  maducoeval2  21789  madugsum  21792  madurid  21793  tsmsxplem2  23305  isxmet2d  23480  ismet2  23486  prdsxmetlem  23521  comet  23669  ipcn  24410  ovoliunlem2  24667  itg1addlem4  24863  itg1addlem4OLD  24864  itg1addlem5  24865  mbfi1fseqlem5  24884  limccnp2  25056  midcl  27138  fedgmullem2  31711  pstmxmet  31847  cvmlift2lem9  33273  isbnd3  35942  prdsbnd  35951  iscringd  36156  rmxycomplete  40739  rmxyadd  40743  2arympt  45995