Theorem fsuppcolem 9439

Description: Lemma for fsuppco 9440. Formula building theorem for finite supports: rearranging the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppcolem.f	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
fsuppcolem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)

Assertion

Ref	Expression
fsuppcolem	⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppcolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvco 5899	. . . 4 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
2	1	imaeq1i 6077	. . 3 ⊢ (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐺 ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ {𝑍}))
3		imaco 6273	. . 3 ⊢ ((◡𝐺 ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ {𝑍})) = (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
4	2, 3	eqtri 2763	. 2 ⊢ (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
5		fsuppcolem.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
6		df-f1 6568	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 ↔ (𝐺:𝑋⟶𝑌 ∧ Fun ◡𝐺))
7	6	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun ◡𝐺)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
9		fsuppcolem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
10		imafi 9351	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐺 ∧ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin) → (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
12	4, 11	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960  {csn 4631  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692   ∘ ccom 5693  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  –1-1→wf1 6560  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  fsuppco  9440