Theorem fsuppcolem 9371

Description: Lemma for fsuppco 9372. Formula building theorem for finite supports: rearranging the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppcolem.f	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
fsuppcolem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)

Assertion

Ref	Expression
fsuppcolem	⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppcolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvco 5863	. . . 4 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
2	1	imaeq1i 6047	. . 3 ⊢ (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐺 ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ {𝑍}))
3		imaco 6241	. . 3 ⊢ ((◡𝐺 ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ {𝑍})) = (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
4	2, 3	eqtri 2783	. 2 ⊢ (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
5		fsuppcolem.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
6		df-f1 6532	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 ↔ (𝐺:𝑋⟶𝑌 ∧ Fun ◡𝐺))
7	6	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun ◡𝐺)
8	5, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
9		fsuppcolem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
10		imafi 9285	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐺 ∧ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin) → (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
12	4, 11	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895  {csn 4583  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650   ∘ ccom 5651  Fun wfun 6521  ⟶wf 6523  –1-1→wf1 6524  Fincfn 8951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-om 7861  df-1o 8454  df-en 8952  df-dom 8953  df-fin 8955

This theorem is used by:  fsuppco  9372