Theorem fsuppcolem 9374

Description: Lemma for fsuppco 9375. Formula building theorem for finite supports: rearranging the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppcolem.f	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
fsuppcolem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)

Assertion

Ref	Expression
fsuppcolem	⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppcolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvco 5873	. . . 4 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
2	1	imaeq1i 6057	. . 3 ⊢ (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐺 ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ {𝑍}))
3		imaco 6251	. . 3 ⊢ ((◡𝐺 ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ {𝑍})) = (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
4	2, 3	eqtri 2785	. 2 ⊢ (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
5		fsuppcolem.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
6		df-f1 6542	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 ↔ (𝐺:𝑋⟶𝑌 ∧ Fun ◡𝐺))
7	6	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun ◡𝐺)
8	5, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
9		fsuppcolem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
10		imafi 9288	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐺 ∧ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin) → (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
12	4, 11	eqeltrid 2866	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  {csn 4587  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7866  df-1o 8458  df-en 8956  df-dom 8957  df-fin 8959

This theorem is used by:  fsuppco  9375