Theorem fsuppcolem 9393

Description: Lemma for fsuppco 9394. Formula building theorem for finite supports: rearranging the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppcolem.f	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
fsuppcolem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)

Assertion

Ref	Expression
fsuppcolem	⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppcolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvco 5866	. . . 4 ⊢ ◡(𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 ∘ ◡𝐹)
2	1	imaeq1i 6048	. . 3 ⊢ (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((◡𝐺 ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ {𝑍}))
3		imaco 6252	. . 3 ⊢ ((◡𝐺 ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ {𝑍})) = (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
4	2, 3	eqtri 2783	. 2 ⊢ (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
5		fsuppcolem.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋–1-1→𝑌)
6		df-f1 6543	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 ↔ (𝐺:𝑋⟶𝑌 ∧ Fun ◡𝐺))
7	6	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝑋–1-1→𝑌 → Fun ◡𝐺)
8	5, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐺)
9		fsuppcolem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
10		imafi 9307	. . 3 ⊢ ((Fun ◡𝐺 ∧ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin) → (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
12	4, 11	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ∘ 𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045  {csn 4583  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653   ∘ ccom 5654  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  Fincfn 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8476  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977

This theorem is used by:  fsuppco  9394