Theorem imafi 9240

Description: Images of finite sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
imafi	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmres 6195	. 2 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝐹 “ 𝑋)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
3		dmres 5972	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) = (𝑋 ∩ dom 𝐹)
4		inss1 4196	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝑋
5	3, 4	eqsstri 3990	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝑋
6		ssfi 9114	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝑋) → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ Fin)
7	2, 5, 6	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ Fin)
8		resss 5961	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹
9		dmss 5856	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
10	8, 9	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
11		fores 6764	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)))
12	10, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)))
13		fofi 9238	. . 3 ⊢ ((dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) → (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) ∈ Fin)
14	7, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) ∈ Fin)
15	1, 14	eqeltrrid 2833	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  dom cdm 5631   ↾ cres 5633   “ cima 5634  Fun wfun 6493  –onto→wfo 6497  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-om 7823  df-1o 8411  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  pwfir  9242  pwfilem  9243  fissuni  9284  fipreima  9285  fsuppcolem  9328  cmpfi  23271  mdegldg  25947  mdegcl  25950  madefi  27800  oldfi  27801  trlsegvdeglem6  30127  fsuppcurry1  32621  fsuppcurry2  32622  elrgspnlem2  33167  elrgspnsubrunlem2  33172  elrspunidl  33372  locfinreflem  33803  zarcmplem  33844  sibfof  34304  eulerpartlemgf  34343  fineqvrep  35058  poimirlem30  37617  ftc1anclem7  37666  ftc1anc  37668  aks6d1c2  42091  aks6d1c6lem5  42138  elrfirn  42656  sge0f1o  46353