Theorem imafi 9218

Description: Images of finite sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
imafi	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmres 6192	. 2 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝐹 “ 𝑋)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
3		dmres 5971	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) = (𝑋 ∩ dom 𝐹)
4		inss1 4178	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝑋
5	3, 4	eqsstri 3969	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝑋
6		ssfi 9100	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝑋) → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ Fin)
7	2, 5, 6	sylancl 587	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ Fin)
8		resss 5960	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹
9		dmss 5851	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
10	8, 9	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
11		fores 6756	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)))
12	10, 11	syldan 592	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)))
13		fofi 9216	. . 3 ⊢ ((dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) → (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) ∈ Fin)
14	7, 12, 13	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) ∈ Fin)
15	1, 14	eqeltrrid 2842	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  dom cdm 5624   ↾ cres 5626   “ cima 5627  Fun wfun 6486  –onto→wfo 6490  Fincfn 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7811  df-1o 8398  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890

This theorem is referenced by:  pwfir  9220  pwfilem  9221  fissuni  9260  fipreima  9261  fsuppcolem  9307  cmpfi  23383  mdegldg  26041  mdegcl  26044  madefi  27919  oldfi  27920  trlsegvdeglem6  30310  fsuppcurry1  32812  fsuppcurry2  32813  elrgspnlem2  33319  elrgspnsubrunlem2  33324  elrspunidl  33503  extvfvcl  33695  esplympl  33726  locfinreflem  34000  zarcmplem  34041  sibfof  34500  eulerpartlemgf  34539  fineqvrep  35274  poimirlem30  37985  ftc1anclem7  38034  ftc1anc  38036  aks6d1c2  42583  aks6d1c6lem5  42630  elrfirn  43141  sge0f1o  46828