Theorem imafi 9351

Description: Images of finite sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
imafi	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmres 6256	. 2 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝐹 “ 𝑋)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
3		dmres 6032	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) = (𝑋 ∩ dom 𝐹)
4		inss1 4245	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝑋
5	3, 4	eqsstri 4030	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝑋
6		ssfi 9212	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝑋) → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ Fin)
7	2, 5, 6	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ Fin)
8		resss 6022	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹
9		dmss 5916	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
10	8, 9	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
11		fores 6831	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)))
12	10, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)))
13		fofi 9349	. . 3 ⊢ ((dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) → (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) ∈ Fin)
14	7, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) ∈ Fin)
15	1, 14	eqeltrrid 2844	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  dom cdm 5689   ↾ cres 5691   “ cima 5692  Fun wfun 6557  –onto→wfo 6561  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  pwfir  9353  pwfilem  9354  fissuni  9395  fipreima  9396  fsuppcolem  9439  cmpfi  23432  mdegldg  26120  mdegcl  26123  madefi  27965  oldfi  27966  trlsegvdeglem6  30254  fsuppcurry1  32743  fsuppcurry2  32744  elrgspnlem2  33233  elrspunidl  33436  locfinreflem  33801  zarcmplem  33842  sibfof  34322  eulerpartlemgf  34361  fineqvrep  35088  poimirlem30  37637  ftc1anclem7  37686  ftc1anc  37688  aks6d1c2  42112  aks6d1c6lem5  42159  elrfirn  42683  sge0f1o  46338