Theorem fzne2d 39989

Description: Elementhood in a finite set of sequential integers, except its upper bound. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzne2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
fzne2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzne2d	⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝑁)

Proof of Theorem fzne2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzne2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝑁)
2	1	necomd 2999	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝐾)
3		fzne2d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4		elfz2 13246	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5	3, 4	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	5	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
7	6	simp3d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	zred 12426	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
9	6	simp2d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zred 12426	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
11	5	simprrd 771	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
12	8, 10, 11	leltned 11128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 𝐾))
13	2, 12	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℤcz 12319  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-neg 11208  df-z 12320  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  metakunt2  40126