Theorem fzne2d 43222

Description: Elementhood in a finite set of sequential integers, except its upper bound. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzne2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
fzne2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzne2d	⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝑁)

Proof of Theorem fzne2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzne2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝑁)
2	1	necomd 3014	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝐾)
3		fzne2d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4		elfz2 13673	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5	3, 4	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	5	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
7	6	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	zred 12830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
9	6	simp2d 1161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zred 12830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
11	5	simprrd 786	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
12	8, 10, 11	leltned 11490	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 𝐾))
13	2, 12	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443   < clt 11370   ≤ cle 11371  ℤcz 12720  ...cfz 13666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-neg 11571  df-z 12721  df-fz 13667

This theorem is used by: (None)