Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzne2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzne2d 41360
Description: Elementhood in a finite set of sequential integers, except its upper bound. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fzne2d.1 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
fzne2d.2 (𝜑𝐾𝑁)
Assertion
Ref Expression
fzne2d (𝜑𝐾 < 𝑁)

Proof of Theorem fzne2d
StepHypRef Expression
1 fzne2d.2 . . 3 (𝜑𝐾𝑁)
21necomd 2990 . 2 (𝜑𝑁𝐾)
3 fzne2d.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4 elfz2 13494 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
53, 4sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
65simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
76simp3d 1141 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
87zred 12667 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
96simp2d 1140 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
109zred 12667 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
115simprrd 771 . . 3 (𝜑𝐾𝑁)
128, 10, 11leltned 11368 . 2 (𝜑 → (𝐾 < 𝑁𝑁𝐾))
132, 12mpbird 257 1 (𝜑𝐾 < 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084  wcel 2098  wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404   < clt 11249  cle 11250  cz 12559  ...cfz 13487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-neg 11448  df-z 12560  df-fz 13488
This theorem is referenced by:  metakunt2  41528
  Copyright terms: Public domain W3C validator