Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzne2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzne2d 41962
Description: Elementhood in a finite set of sequential integers, except its upper bound. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fzne2d.1 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
fzne2d.2 (𝜑𝐾𝑁)
Assertion
Ref Expression
fzne2d (𝜑𝐾 < 𝑁)

Proof of Theorem fzne2d
StepHypRef Expression
1 fzne2d.2 . . 3 (𝜑𝐾𝑁)
21necomd 2994 . 2 (𝜑𝑁𝐾)
3 fzne2d.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4 elfz2 13551 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
53, 4sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
65simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
76simp3d 1143 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
87zred 12720 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
96simp2d 1142 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
109zred 12720 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
115simprrd 774 . . 3 (𝜑𝐾𝑁)
128, 10, 11leltned 11412 . 2 (𝜑 → (𝐾 < 𝑁𝑁𝐾))
132, 12mpbird 257 1 (𝜑𝐾 < 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431   < clt 11293  cle 11294  cz 12611  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  metakunt2  42188
  Copyright terms: Public domain W3C validator