Theorem fzne2d 41968

Description: Elementhood in a finite set of sequential integers, except its upper bound. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzne2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
fzne2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzne2d	⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝑁)

Proof of Theorem fzne2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzne2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝑁)
2	1	necomd 2980	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝐾)
3		fzne2d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4		elfz2 13475	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5	3, 4	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	5	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
7	6	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	zred 12638	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
9	6	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zred 12638	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
11	5	simprrd 773	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
12	8, 10, 11	leltned 11327	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 𝐾))
13	2, 12	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℤcz 12529  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-neg 11408  df-z 12530  df-fz 13469

This theorem is referenced by: (None)