Theorem fzne2d 41981

Description: Elementhood in a finite set of sequential integers, except its upper bound. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzne2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
fzne2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
fzne2d	⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝑁)

Proof of Theorem fzne2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzne2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝑁)
2	1	necomd 2996	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝐾)
3		fzne2d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
4		elfz2 13554	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5	3, 4	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	5	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
7	6	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
8	7	zred 12722	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
9	6	simp2d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zred 12722	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
11	5	simprrd 774	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑁)
12	8, 10, 11	leltned 11414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 𝐾))
13	2, 12	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  metakunt2  42207