Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt2 40624
Description: A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt2.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt2.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt2.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt2.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))))
Assertion
Ref Expression
metakunt2 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2822 . . 3 (𝐼 = if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀)))
2 eleq1 2822 . . 3 (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) = if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) → (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀)))
3 1zzd 12539 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
4 metakunt2.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54nnzd 12531 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 metakunt2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
87nnzd 12531 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
98ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
107nnge1d 12206 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
1110ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 1 ≤ 𝐼)
12 metakunt2.3 . . . . 5 (𝜑𝐼𝑀)
1312ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼𝑀)
143, 6, 9, 11, 13elfzd 13438 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
15 eleq1 2822 . . . 4 (𝑥 = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀)))
16 eleq1 2822 . . . 4 ((𝑥 + 1) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀)))
17 simpllr 775 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
18 1zzd 12539 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 1 ∈ ℤ)
195ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑀 ∈ ℤ)
20 elfznn 13476 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ)
2120nnzd 12531 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
2221ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2322peano2zd 12615 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
24 0p1e1 12280 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
25 0red 11163 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
2620nnred 12173 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
27 1red 11161 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
2820nnnn0d 12478 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
2928nn0ge0d 12481 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑥)
3025, 26, 27, 29leadd1dd 11774 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (0 + 1) ≤ (𝑥 + 1))
3124, 30eqbrtrrid 5142 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ (𝑥 + 1))
3231ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 1 ≤ (𝑥 + 1))
33 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
34 neqne 2948 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝑀𝑥𝑀)
3534adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥𝑀)
3633, 35fzne2d 40484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
3736adantrr 716 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑥 < 𝑀)
3821adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
395adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4038, 39zltp1led 40483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
4140adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
4237, 41mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ≤ 𝑀)
4318, 19, 23, 32, 42elfzd 13438 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀))
4443anassrs 469 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀))
4515, 16, 17, 44ifbothda 4525 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀))
461, 2, 14, 45ifbothda 4525 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀))
47 metakunt2.4 . 2 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))))
4846, 47fmptd 7063 1 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  ifcif 4487   class class class wbr 5106  cmpt 5189  wf 6493  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cn 12158  cz 12504  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431
This theorem is referenced by:  metakunt10  40632  metakunt11  40633  metakunt12  40634  metakunt14  40636  metakunt33  40655
  Copyright terms: Public domain W3C validator