Theorem metakunt2 40986

Description: A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt2.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt2.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt2.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt2	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2822	. . 3 ⊢ (𝐼 = if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀)))
2		eleq1 2822	. . 3 ⊢ (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) = if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) → (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀)))
3		1zzd 12593	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
4		metakunt2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		metakunt2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
10	7	nnge1d 12260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
11	10	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 1 ≤ 𝐼)
12		metakunt2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
13	12	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ≤ 𝑀)
14	3, 6, 9, 11, 13	elfzd 13492	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
15		eleq1 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀)))
16		eleq1 2822	. . . 4 ⊢ ((𝑥 + 1) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀)))
17		simpllr 775	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
18		1zzd 12593	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 1 ∈ ℤ)
19	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		elfznn 13530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
22	21	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑥 ∈ ℤ)
23	22	peano2zd 12669	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
24		0p1e1 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
25		0red 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
26	20	nnred 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
27		1red 11215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
28	20	nnnn0d 12532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
29	28	nn0ge0d 12535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑥)
30	25, 26, 27, 29	leadd1dd 11828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (0 + 1) ≤ (𝑥 + 1))
31	24, 30	eqbrtrrid 5185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ (𝑥 + 1))
32	31	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 1 ≤ (𝑥 + 1))
33		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
34		neqne 2949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑀 → 𝑥 ≠ 𝑀)
35	34	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀)
36	33, 35	fzne2d 40846	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
37	36	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑥 < 𝑀)
38	21	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
39	5	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
40	38, 39	zltp1led 40845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
41	40	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
42	37, 41	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ≤ 𝑀)
43	18, 19, 23, 32, 42	elfzd 13492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀))
44	43	anassrs 469	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀))
45	15, 16, 17, 44	ifbothda 4567	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀))
46	1, 2, 14, 45	ifbothda 4567	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀))
47		metakunt2.4	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))))
48	46, 47	fmptd 7114	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6540  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≤ cle 11249  ℕcn 12212  ℤcz 12558  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  metakunt10  40994  metakunt11  40995  metakunt12  40996  metakunt14  40998  metakunt33  41017