Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt2 41072
Description: A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt2.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt2.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt2.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt2.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))))
Assertion
Ref Expression
metakunt2 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2821 . . 3 (𝐼 = if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀)))
2 eleq1 2821 . . 3 (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) = if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) → (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀)))
3 1zzd 12595 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
4 metakunt2.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54nnzd 12587 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 metakunt2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
87nnzd 12587 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
98ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
107nnge1d 12262 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
1110ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 1 ≤ 𝐼)
12 metakunt2.3 . . . . 5 (𝜑𝐼𝑀)
1312ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼𝑀)
143, 6, 9, 11, 13elfzd 13494 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
15 eleq1 2821 . . . 4 (𝑥 = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀)))
16 eleq1 2821 . . . 4 ((𝑥 + 1) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀)))
17 simpllr 774 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
18 1zzd 12595 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 1 ∈ ℤ)
195ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑀 ∈ ℤ)
20 elfznn 13532 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ)
2120nnzd 12587 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
2221ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2322peano2zd 12671 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
24 0p1e1 12336 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
25 0red 11219 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
2620nnred 12229 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
27 1red 11217 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
2820nnnn0d 12534 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
2928nn0ge0d 12537 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑥)
3025, 26, 27, 29leadd1dd 11830 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (0 + 1) ≤ (𝑥 + 1))
3124, 30eqbrtrrid 5184 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ (𝑥 + 1))
3231ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 1 ≤ (𝑥 + 1))
33 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
34 neqne 2948 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝑀𝑥𝑀)
3534adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥𝑀)
3633, 35fzne2d 40932 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
3736adantrr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑥 < 𝑀)
3821adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
395adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4038, 39zltp1led 40931 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
4140adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
4237, 41mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ≤ 𝑀)
4318, 19, 23, 32, 42elfzd 13494 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀))
4443anassrs 468 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀))
4515, 16, 17, 44ifbothda 4566 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀))
461, 2, 14, 45ifbothda 4566 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀))
47 metakunt2.4 . 2 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))))
4846, 47fmptd 7115 1 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  ifcif 4528   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6539  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250  cle 11251  cn 12214  cz 12560  ...cfz 13486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487
This theorem is referenced by:  metakunt10  41080  metakunt11  41081  metakunt12  41082  metakunt14  41084  metakunt33  41103
  Copyright terms: Public domain W3C validator