Theorem metakunt2 39800

Description: A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt2.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt2.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt2.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt2	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2821	. . 3 ⊢ (𝐼 = if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀)))
2		eleq1 2821	. . 3 ⊢ (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) = if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) → (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀)))
3		1zzd 12191	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
4		metakunt2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		metakunt2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
10	7	nnge1d 11861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
11	10	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 1 ≤ 𝐼)
12		metakunt2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
13	12	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ≤ 𝑀)
14	3, 6, 9, 11, 13	elfzd 13086	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
15		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀)))
16		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ ((𝑥 + 1) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀)))
17		simpllr 776	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
18		1zzd 12191	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 1 ∈ ℤ)
19	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		elfznn 13124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
22	21	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑥 ∈ ℤ)
23	22	peano2zd 12268	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
24		0p1e1 11935	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
25		0red 10819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
26	20	nnred 11828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
27		1red 10817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
28	20	nnnn0d 12133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
29	28	nn0ge0d 12136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑥)
30	25, 26, 27, 29	leadd1dd 11429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (0 + 1) ≤ (𝑥 + 1))
31	24, 30	eqbrtrrid 5079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ (𝑥 + 1))
32	31	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 1 ≤ (𝑥 + 1))
33		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
34		neqne 2943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑀 → 𝑥 ≠ 𝑀)
35	34	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀)
36	33, 35	fzne2d 39680	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
37	36	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑥 < 𝑀)
38	21	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
39	5	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
40	38, 39	zltp1led 39679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
41	40	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
42	37, 41	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ≤ 𝑀)
43	18, 19, 23, 32, 42	elfzd 13086	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀))
44	43	anassrs 471	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀))
45	15, 16, 17, 44	ifbothda 4467	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀))
46	1, 2, 14, 45	ifbothda 4467	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀))
47		metakunt2.4	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))))
48	46, 47	fmptd 6920	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ifcif 4429   class class class wbr 5043   ↦ cmpt 5124  ⟶wf 6365  (class class class)co 7202  0cc0 10712  1c1 10713   + caddc 10715   < clt 10850   ≤ cle 10851  ℕcn 11813  ℤcz 12159  ...cfz 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-fz 13079

This theorem is referenced by:  metakunt10  39808  metakunt11  39809  metakunt12  39810  metakunt14  39812  metakunt33  39831