Theorem metakunt2 40578

Description: A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt2.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt2.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt2.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
metakunt2	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. . 3 ⊢ (𝐼 = if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀)))
2		eleq1 2825	. . 3 ⊢ (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) = if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) → (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀)))
3		1zzd 12534	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
4		metakunt2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		metakunt2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
10	7	nnge1d 12201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
11	10	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 1 ≤ 𝐼)
12		metakunt2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
13	12	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ≤ 𝑀)
14	3, 6, 9, 11, 13	elfzd 13432	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
15		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀)))
16		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ ((𝑥 + 1) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀)))
17		simpllr 774	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
18		1zzd 12534	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 1 ∈ ℤ)
19	5	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		elfznn 13470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
22	21	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑥 ∈ ℤ)
23	22	peano2zd 12610	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
24		0p1e1 12275	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
25		0red 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
26	20	nnred 12168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
27		1red 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
28	20	nnnn0d 12473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
29	28	nn0ge0d 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑥)
30	25, 26, 27, 29	leadd1dd 11769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (0 + 1) ≤ (𝑥 + 1))
31	24, 30	eqbrtrrid 5141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ (𝑥 + 1))
32	31	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 1 ≤ (𝑥 + 1))
33		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
34		neqne 2951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝑀 → 𝑥 ≠ 𝑀)
35	34	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ≠ 𝑀)
36	33, 35	fzne2d 40438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
37	36	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑥 < 𝑀)
38	21	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
39	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
40	38, 39	zltp1led 40437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
41	40	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
42	37, 41	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ≤ 𝑀)
43	18, 19, 23, 32, 42	elfzd 13432	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀))
44	43	anassrs 468	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀))
45	15, 16, 17, 44	ifbothda 4524	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀))
46	1, 2, 14, 45	ifbothda 4524	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀))
47		metakunt2.4	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))))
48	46, 47	fmptd 7062	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190  ℕcn 12153  ℤcz 12499  ...cfz 13424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425

This theorem is referenced by:  metakunt10  40586  metakunt11  40587  metakunt12  40588  metakunt14  40590  metakunt33  40609