Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt2 41293
Description: A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt2.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt2.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt2.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt2.4 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))))
Assertion
Ref Expression
metakunt2 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem metakunt2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2820 . . 3 (𝐼 = if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) → (𝐼 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀)))
2 eleq1 2820 . . 3 (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) = if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) → (if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀)))
3 1zzd 12598 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
4 metakunt2.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54nnzd 12590 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 metakunt2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
87nnzd 12590 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
98ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
107nnge1d 12265 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ 𝐼)
1110ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 1 ≤ 𝐼)
12 metakunt2.3 . . . . 5 (𝜑𝐼𝑀)
1312ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼𝑀)
143, 6, 9, 11, 13elfzd 13497 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
15 eleq1 2820 . . . 4 (𝑥 = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) → (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀)))
16 eleq1 2820 . . . 4 ((𝑥 + 1) = if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀) ↔ if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀)))
17 simpllr 773 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐼) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
18 1zzd 12598 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 1 ∈ ℤ)
195ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑀 ∈ ℤ)
20 elfznn 13535 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ)
2120nnzd 12590 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
2221ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2322peano2zd 12674 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
24 0p1e1 12339 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
25 0red 11222 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
2620nnred 12232 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
27 1red 11220 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
2820nnnn0d 12537 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
2928nn0ge0d 12540 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑥)
3025, 26, 27, 29leadd1dd 11833 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → (0 + 1) ≤ (𝑥 + 1))
3124, 30eqbrtrrid 5185 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ (𝑥 + 1))
3231ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 1 ≤ (𝑥 + 1))
33 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
34 neqne 2947 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝑀𝑥𝑀)
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥𝑀)
3633, 35fzne2d 41153 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
3736adantrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → 𝑥 < 𝑀)
3821adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
395adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4038, 39zltp1led 41152 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
4140adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
4237, 41mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ≤ 𝑀)
4318, 19, 23, 32, 42elfzd 13497 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ (¬ 𝑥 = 𝑀 ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼)) → (𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀))
4443anassrs 467 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) ∧ ¬ 𝑥 < 𝐼) → (𝑥 + 1) ∈ (1...𝑀))
4515, 16, 17, 44ifbothda 4567 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑀) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1)) ∈ (1...𝑀))
461, 2, 14, 45ifbothda 4567 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))) ∈ (1...𝑀))
47 metakunt2.4 . 2 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝐼, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 + 1))))
4846, 47fmptd 7116 1 (𝜑𝐴:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  ifcif 4529   class class class wbr 5149  cmpt 5232  wf 6540  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   < clt 11253  cle 11254  cn 12217  cz 12563  ...cfz 13489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490
This theorem is referenced by:  metakunt10  41301  metakunt11  41302  metakunt12  41303  metakunt14  41305  metakunt33  41324
  Copyright terms: Public domain W3C validator