MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leltned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leltned 11315
Description: 'Less than or equal to' implies 'less than' is not 'equals'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
leltned.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
leltned (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem leltned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 leltned.3 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
4 leltne 11251 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5110  cr 11057   < clt 11196  cle 11197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202
This theorem is referenced by:  leneltd  11316  nn01to3  12873  elfznelfzo  13684  absgt0  15216  blcvx  24177  dchrelbas4  26607  clwlkclwwlklem2a4  28983  eucrct2eupth  29231  erdszelem9  33833  areacirc  36200  fzne2d  40467  sticksstones12a  40594  sticksstones12  40595  metakunt24  40629  metakunt28  40633  requad2  45889
  Copyright terms: Public domain W3C validator