Theorem ghmco 18854

Description: The composition of group homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ghmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Proof of Theorem ghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmmhm 18844	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 MndHom 𝑈))
2		ghmmhm 18844	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))
3		mhmco 18462	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 MndHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 MndHom 𝑈))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 MndHom 𝑈))
5		ghmgrp1 18836	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
6		ghmgrp2 18837	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) → 𝑈 ∈ Grp)
7		ghmmhmb 18845	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) → (𝑆 GrpHom 𝑈) = (𝑆 MndHom 𝑈))
8	5, 6, 7	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑆 GrpHom 𝑈) = (𝑆 MndHom 𝑈))
9	4, 8	eleqtrrd 2842	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∘ ccom 5593  (class class class)co 7275   MndHom cmhm 18428  Grpcgrp 18577   GrpHom cghm 18831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-ghm 18832

This theorem is referenced by:  gimco  18884  rhmco  19981  lmhmco  20305  lmhmvsca  20307  frgpcyg  20781  nmoco  23901  nghmco  23902  rnghmco  45465