Theorem ghmco 19294

Description: The composition of group homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ghmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Proof of Theorem ghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmmhm 19284	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 MndHom 𝑈))
2		ghmmhm 19284	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))
3		mhmco 18870	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 MndHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 MndHom 𝑈))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 MndHom 𝑈))
5		ghmgrp1 19276	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
6		ghmgrp2 19277	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) → 𝑈 ∈ Grp)
7		ghmmhmb 19285	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) → (𝑆 GrpHom 𝑈) = (𝑆 MndHom 𝑈))
8	5, 6, 7	syl2anr 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑆 GrpHom 𝑈) = (𝑆 MndHom 𝑈))
9	4, 8	eleqtrrd 2868	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∘ ccom 5655  (class class class)co 7400   MndHom cmhm 18827  Grpcgrp 18988   GrpHom cghm 19271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8814  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-grp 18991  df-ghm 19272

This theorem is referenced by:  gimco  19326  rnghmco  20527  rhmco  20571  lmhmco  21130  lmhmvsca  21132  frgpcyg  21680  nmoco  24851  nghmco  24852