Theorem ghmco 19310

Description: The composition of group homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ghmco	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Proof of Theorem ghmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmmhm 19300	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑇 MndHom 𝑈))
2		ghmmhm 19300	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))
3		mhmco 18886	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 MndHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 MndHom 𝑈))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 MndHom 𝑈))
5		ghmgrp1 19292	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
6		ghmgrp2 19293	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) → 𝑈 ∈ Grp)
7		ghmmhmb 19301	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) → (𝑆 GrpHom 𝑈) = (𝑆 MndHom 𝑈))
8	5, 6, 7	syl2anr 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑆 GrpHom 𝑈) = (𝑆 MndHom 𝑈))
9	4, 8	eleqtrrd 2866	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑇 GrpHom 𝑈) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∘ ccom 5665  (class class class)co 7410   MndHom cmhm 18843  Grpcgrp 19004   GrpHom cghm 19287

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-map 8822  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-grp 19007  df-ghm 19288

This theorem is used by:  gimco  19342  rnghmco  20544  rhmco  20596  lmhmco  21173  lmhmvsca  21175  frgpcyg  21732  nmoco  24903  nghmco  24904