MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvcld 18918
Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvcld.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcld.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpinvcld.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
grpinvcld.1 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
grpinvcld (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcld
StepHypRef Expression
1 grpinvcld.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 grpinvcld.1 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
3 grpinvcld.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 grpinvcld.n . . 3 𝑁 = (invg𝐺)
53, 4grpinvcl 18917 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
61, 2, 5syl2anc 583 1 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6537  Basecbs 17153  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867
This theorem is referenced by:  xpsinv  18988  eqger  19105  rngmneg1  20072  rngmneg2  20073  rngm2neg  20074  rngsubdi  20076  rngsubdir  20077  cntzsubrng  20467  lssvnegcl  20803  ghmquskerlem1  33034  qsdrngilem  33114  r1padd1  33183  grpcominv1  41643
  Copyright terms: Public domain W3C validator