Theorem grpinvcld 18930

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcld.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinvcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinvcld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcld	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpinvcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpinvcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grpinvcld.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	3, 4	grpinvcl 18929	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
6	1, 2, 5	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  Grpcgrp 18875  inv_gcminusg 18876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879

This theorem is referenced by:  grpraddf1o  18956  xpsinv  19002  eqger  19119  conjnmz  19193  ghmqusnsglem1  19221  ghmquskerlem1  19224  rngmneg1  20114  rngmneg2  20115  rngm2neg  20116  rngsubdi  20118  rngsubdir  20119  cntzsubrng  20512  lssvnegcl  20919  mhpinvcl  22107  gsummulsubdishift2  33163  fxpsubg  33267  ringm1expp1  33328  rloccring  33364  qsdrngilem  33587  ply1dg1rt  33673  r1padd1  33701  vietalem  33756  vieta  33757  ply1divalg3  35858  grpcominv1  42878