Theorem grpinvcld 19006

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcld.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinvcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinvcld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcld	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpinvcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpinvcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grpinvcld.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	3, 4	grpinvcl 19005	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955

This theorem is referenced by:  grpraddf1o  19032  xpsinv  19078  eqger  19196  conjnmz  19270  ghmqusnsglem1  19298  ghmquskerlem1  19301  rngmneg1  20164  rngmneg2  20165  rngm2neg  20166  rngsubdi  20168  rngsubdir  20169  cntzsubrng  20567  lssvnegcl  20954  mhpinvcl  22156  rloccring  33274  qsdrngilem  33522  ply1dg1rt  33604  r1padd1  33628  ply1divalg3  35647  grpcominv1  42518