Theorem grpinvcld 18916

Description: A group element's inverse is a group element. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvcld.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinvcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinvcld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinvcld	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpinvcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinvcld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpinvcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpinvcld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grpinvcld.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	3, 4	grpinvcl 18915	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  Grpcgrp 18861  inv_gcminusg 18862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865

This theorem is referenced by:  grpraddf1o  18942  xpsinv  18988  eqger  19105  conjnmz  19179  ghmqusnsglem1  19207  ghmquskerlem1  19210  rngmneg1  20100  rngmneg2  20101  rngm2neg  20102  rngsubdi  20104  rngsubdir  20105  cntzsubrng  20498  lssvnegcl  20905  mhpinvcl  22093  gsummulsubdishift2  33101  fxpsubg  33204  ringm1expp1  33265  rloccring  33301  qsdrngilem  33524  ply1dg1rt  33610  r1padd1  33638  vietalem  33684  vieta  33685  ply1divalg3  35785  grpcominv1  42705