MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngm2neg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngm2neg 20074
Description: Double negation of a product in a non-unital ring (mul2neg 11657 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.) Generalization of ringm2neg 20205. (Revised by AV, 17-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngneglmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
rngneglmul.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
rngneglmul.n ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
rngneglmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
rngneglmul.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
rngneglmul.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
rngm2neg (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) = (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))

Proof of Theorem rngm2neg
StepHypRef Expression
1 rngneglmul.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 rngneglmul.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
3 rngneglmul.n . . 3 ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
4 rngneglmul.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
5 rngneglmul.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
6 rnggrp 20063 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
74, 6syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
8 rngneglmul.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
91, 3, 7, 8grpinvcld 18918 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
101, 2, 3, 4, 5, 9rngmneg1 20072 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) = (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ))))
111, 2, 3, 4, 5, 8rngmneg2 20073 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) = (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
1211fveq2d 6889 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ))) = (๐‘โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ))))
131, 2rngcl 20069 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
144, 5, 8, 13syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
151, 3grpinvinv 18935 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ))) = (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))
167, 14, 15syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ))) = (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))
1710, 12, 163eqtrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) = (๐‘‹ ยท ๐‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  Rngcrng 20057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058
This theorem is referenced by:  ringm2neg  20205
  Copyright terms: Public domain W3C validator