Theorem rngm2neg 20418

Description: Double negation of a product in a non-unital ring (mul2neg 11779 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.) Generalization of ringm2neg 20564. (Revised by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
rngneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngm2neg	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))

Proof of Theorem rngm2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngneglmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rngneglmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		rngneglmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
4		rngneglmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
5		rngneglmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		rnggrp 20407	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngneglmul.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3, 7, 8	grpinvcld 19225	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	rngmneg1 20416	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · (𝑁‘𝑌))))
11	1, 2, 3, 4, 5, 8	rngmneg2 20417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
12	11	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · (𝑁‘𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))))
13	1, 2	rngcl 20413	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
14	4, 5, 8, 13	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
15	1, 3	grpinvinv 19242	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
16	7, 14, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘(𝑋 · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
17	10, 12, 16	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = (𝑋 · 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  ._rcmulr 17455  Grpcgrp 19170  inv_gcminusg 19171  Rngcrng 20401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402

This theorem is used by:  ringm2neg  20564