Theorem grplsmid 33432

Description: The direct sum of an element 𝑋 of a subgroup 𝐴 is the subgroup itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
grplsmid.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplsmid	⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsmid

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 19149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	3	subgss 19145	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
5	4	sselda 3983	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
6	5	snssd 4809	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
7	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		grplsmid.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
10	3, 8, 9	lsmelvalx 19658	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
11	2, 6, 7, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
12		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
13	12	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
14	13	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
15	14	rexsng 4676	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
18	8	subgcl 19154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
19	18	ad4ant123 1173	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
20	17, 19	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	r19.29an 3158	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
22		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
24	23	subginvcl 19153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27	8	subgcl 19154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
28	22, 25, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
29		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)))
30	29	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥))))
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) → (𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥))))
32	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
33	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
34	7	sselda 3983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
35	3, 8, 23	grpasscan1 19019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) = 𝑥)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) = 𝑥)
37	36	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)))
38	28, 31, 37	rspcedvd 3624	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
39	21, 38	impbida 801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
40	11, 16, 39	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
41	40	eqrdv 2735	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-lsm 19654

This theorem is referenced by:  nsgmgc  33440  nsgqusf1olem2  33442  nsgqusf1olem3  33443