Theorem grplsmid 33494

Description: The direct sum of an element 𝑋 of a subgroup 𝐴 is the subgroup itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
grplsmid.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplsmid	⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsmid

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 19105	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	3	subgss 19101	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
5	4	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
6	5	snssd 4725	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
7	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		grplsmid.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
10	3, 8, 9	lsmelvalx 19613	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
11	2, 6, 7, 10	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
12		oveq1 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
13	12	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
14	13	rexbidv 3164	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
15	14	rexsng 4615	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
16	15	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
17		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
18	8	subgcl 19110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
19	18	ad4ant123 1179	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
20	17, 19	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	r19.29an 3144	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
22		simpll 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
24	23	subginvcl 19109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
25	24	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
26		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27	8	subgcl 19110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
28	22, 25, 26, 27	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
29		oveq2 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)))
30	29	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥))))
31	30	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) → (𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥))))
32	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
33	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
34	7	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
35	3, 8, 23	grpasscan1 18975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) = 𝑥)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) = 𝑥)
37	36	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)))
38	28, 31, 37	rspcedvd 3569	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
39	21, 38	impbida 806	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
40	11, 16, 39	3bitrd 306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
41	40	eqrdv 2738	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890  {csn 4562  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  Grpcgrp 18907  inv_gcminusg 18908  SubGrpcsubg 19094  LSSumclsm 19607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-subg 19097  df-lsm 19609

This theorem is referenced by:  nsgmgc  33502  nsgqusf1olem2  33504  nsgqusf1olem3  33505