Theorem grplsmid 33479

Description: The direct sum of an element 𝑋 of a subgroup 𝐴 is the subgroup itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
grplsmid.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplsmid	⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsmid

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 19098	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	3	subgss 19094	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
5	4	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
6	5	snssd 4753	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
7	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		grplsmid.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
10	3, 8, 9	lsmelvalx 19606	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
11	2, 6, 7, 10	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
12		oveq1 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
13	12	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
14	13	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
15	14	rexsng 4621	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
18	8	subgcl 19103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
19	18	ad4ant123 1174	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
20	17, 19	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	r19.29an 3142	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
22		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
24	23	subginvcl 19102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27	8	subgcl 19103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
28	22, 25, 26, 27	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
29		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)))
30	29	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥))))
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) → (𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥))))
32	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
33	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
34	7	sselda 3922	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
35	3, 8, 23	grpasscan1 18968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) = 𝑥)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) = 𝑥)
37	36	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)))
38	28, 31, 37	rspcedvd 3567	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
39	21, 38	impbida 801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
40	11, 16, 39	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
41	40	eqrdv 2735	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  SubGrpcsubg 19087  LSSumclsm 19600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-lsm 19602

This theorem is referenced by:  nsgmgc  33487  nsgqusf1olem2  33489  nsgqusf1olem3  33490