Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grplsmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grplsmid 32788
Description: The direct sum of an element 𝑋 of a subgroup 𝐴 is the subgroup itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
grplsmid.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
grplsmid ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → ({𝑋} 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsmid
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgrcl 19047 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
21adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2730 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
43subgss 19043 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
54sselda 3981 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
65snssd 4811 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
74adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
8 eqid 2730 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
9 grplsmid.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
103, 8, 9lsmelvalx 19549 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ({𝑋} 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
112, 6, 7, 10syl3anc 1369 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
12 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑜 = 𝑋 → (𝑜(+g𝐺)𝑎) = (𝑋(+g𝐺)𝑎))
1312eqeq2d 2741 . . . . . 6 (𝑜 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)))
1413rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑜 = 𝑋 → (∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)))
1514rexsng 4677 . . . 4 (𝑋𝐴 → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)))
1615adantl 480 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)))
17 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)) → 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎))
188subgcl 19052 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴𝑎𝐴) → (𝑋(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
1918ad4ant123 1170 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)) → (𝑋(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
2017, 19eqeltrd 2831 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)) → 𝑥𝐴)
2120r19.29an 3156 . . . 4 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ ∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)) → 𝑥𝐴)
22 simpll 763 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23 eqid 2730 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
2423subginvcl 19051 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
2524adantr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
26 simpr 483 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
278subgcl 19052 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴𝑥𝐴) → (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
2822, 25, 26, 27syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
29 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑎 = (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥) → (𝑋(+g𝐺)𝑎) = (𝑋(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥)))
3029eqeq2d 2741 . . . . . 6 (𝑎 = (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥) → (𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥))))
3130adantl 480 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑎 = (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥)) → (𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥))))
322adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
335adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
347sselda 3981 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
353, 8, 23grpasscan1 18922 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥)) = 𝑥)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑋(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥)) = 𝑥)
3736eqcomd 2736 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥)))
3828, 31, 37rspcedvd 3613 . . . 4 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎))
3921, 38impbida 797 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥𝐴))
4011, 16, 393bitrd 304 . 2 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} 𝐴) ↔ 𝑥𝐴))
4140eqrdv 2728 1 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → ({𝑋} 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wrex 3068  wss 3947  {csn 4627  cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  SubGrpcsubg 19036  LSSumclsm 19543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-lsm 19545
This theorem is referenced by:  nsgmgc  32797  nsgqusf1olem2  32799  nsgqusf1olem3  32800
  Copyright terms: Public domain W3C validator