Theorem grplsmid 33382

Description: The direct sum of an element 𝑋 of a subgroup 𝐴 is the subgroup itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
grplsmid.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplsmid	⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsmid

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 19070	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	3	subgss 19066	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
5	4	sselda 3949	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
6	5	snssd 4776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
7	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
8		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		grplsmid.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
10	3, 8, 9	lsmelvalx 19577	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
11	2, 6, 7, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
12		oveq1 7397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
13	12	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
14	13	rexbidv 3158	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
15	14	rexsng 4643	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
18	8	subgcl 19075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
19	18	ad4ant123 1173	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
20	17, 19	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	r19.29an 3138	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
22		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
24	23	subginvcl 19074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27	8	subgcl 19075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
28	22, 25, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
29		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)))
30	29	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥))))
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) → (𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥))))
32	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
33	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
34	7	sselda 3949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
35	3, 8, 23	grpasscan1 18940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) = 𝑥)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) = 𝑥)
37	36	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)))
38	28, 31, 37	rspcedvd 3593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
39	21, 38	impbida 800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
40	11, 16, 39	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
41	40	eqrdv 2728	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  SubGrpcsubg 19059  LSSumclsm 19571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-lsm 19573

This theorem is referenced by:  nsgmgc  33390  nsgqusf1olem2  33392  nsgqusf1olem3  33393