Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grplsmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grplsmid 32185
Description: The direct sum of an element 𝑋 of a subgroup 𝐴 is the subgroup itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
grplsmid.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
grplsmid ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → ({𝑋} 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsmid
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgrcl 18933 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
21adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
43subgss 18929 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
54sselda 3944 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
65snssd 4769 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
74adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
8 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
9 grplsmid.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
103, 8, 9lsmelvalx 19422 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ({𝑋} 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
112, 6, 7, 10syl3anc 1371 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎)))
12 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑜 = 𝑋 → (𝑜(+g𝐺)𝑎) = (𝑋(+g𝐺)𝑎))
1312eqeq2d 2747 . . . . . 6 (𝑜 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)))
1413rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑜 = 𝑋 → (∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)))
1514rexsng 4635 . . . 4 (𝑋𝐴 → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)))
1615adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑜(+g𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)))
17 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)) → 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎))
188subgcl 18938 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴𝑎𝐴) → (𝑋(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
1918ad4ant123 1172 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)) → (𝑋(+g𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
2017, 19eqeltrd 2838 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑎𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)) → 𝑥𝐴)
2120r19.29an 3155 . . . 4 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ ∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎)) → 𝑥𝐴)
22 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23 eqid 2736 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
2423subginvcl 18937 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
2524adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
26 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
278subgcl 18938 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴𝑥𝐴) → (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
2822, 25, 26, 27syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
29 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥) → (𝑋(+g𝐺)𝑎) = (𝑋(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥)))
3029eqeq2d 2747 . . . . . 6 (𝑎 = (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥) → (𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥))))
3130adantl 482 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑎 = (((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥)) → (𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥))))
322adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
335adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
347sselda 3944 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
353, 8, 23grpasscan1 18810 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥)) = 𝑥)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑋(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥)) = 𝑥)
3736eqcomd 2742 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)(((invg𝐺)‘𝑋)(+g𝐺)𝑥)))
3828, 31, 37rspcedvd 3583 . . . 4 (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎))
3921, 38impbida 799 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → (∃𝑎𝐴 𝑥 = (𝑋(+g𝐺)𝑎) ↔ 𝑥𝐴))
4011, 16, 393bitrd 304 . 2 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} 𝐴) ↔ 𝑥𝐴))
4140eqrdv 2734 1 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → ({𝑋} 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  wss 3910  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  SubGrpcsubg 18922  LSSumclsm 19416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-lsm 19418
This theorem is referenced by:  nsgmgc  32190  nsgqusf1olem2  32192  nsgqusf1olem3  32193
  Copyright terms: Public domain W3C validator