Theorem grplsmid 33464

Description: The direct sum of an element 𝑋 of a subgroup 𝐴 is the subgroup itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
grplsmid.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplsmid	⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem grplsmid

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑜 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcl 19107	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
3		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	3	subgss 19103	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
5	4	sselda 3921	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
6	5	snssd 4730	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
7	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		grplsmid.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
10	3, 8, 9	lsmelvalx 19615	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
11	2, 6, 7, 10	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ ∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎)))
12		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
13	12	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
14	13	rexbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑜 = 𝑋 → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
15	14	rexsng 4620	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑜 ∈ {𝑋}∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑜(+g‘𝐺)𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
18	8	subgcl 19112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
19	18	ad4ant123 1174	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝐴)
20	17, 19	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21	20	r19.29an 3141	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
22		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
24	23	subginvcl 19111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27	8	subgcl 19112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
28	22, 25, 26, 27	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐴)
29		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)))
30	29	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥))))
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 = (((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) → (𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥))))
32	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Grp)
33	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
34	7	sselda 3921	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
35	3, 8, 23	grpasscan1 18977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) = 𝑥)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)) = 𝑥)
37	36	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)(((invg‘𝐺)‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑥)))
38	28, 31, 37	rspcedvd 3566	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎))
39	21, 38	impbida 801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑋(+g‘𝐺)𝑎) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
40	11, 16, 39	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ({𝑋} ⊕ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
41	40	eqrdv 2734	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ({𝑋} ⊕ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  SubGrpcsubg 19096  LSSumclsm 19609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-lsm 19611

This theorem is referenced by:  nsgmgc  33472  nsgqusf1olem2  33474  nsgqusf1olem3  33475