Theorem lsmelvalx 19854

Description: Subspace sum membership (for a group or vector space). Extended domain version of lsmelval 19863. (Contributed by NM, 28-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmfval.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmfval.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
lsmfval.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmelvalx	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧, +   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑦, 𝑧)   𝑉(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem lsmelvalx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmfval.v	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		lsmfval.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		lsmfval.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4	1, 2, 3	lsmvalx 19853	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑦 ∈ 𝑇, 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 + 𝑧)))
5	4	eleq2d 2847	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ 𝑋 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑇, 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 + 𝑧))))
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑇, 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 + 𝑧)) = (𝑦 ∈ 𝑇, 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 + 𝑧))
7		ovex 7453	. . 3 ⊢ (𝑦 + 𝑧) ∈ V
8	6, 7	elrnmpo 7556	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑇, 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 + 𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + 𝑧))
9	5, 8	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ran crn 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  LSSumclsm 19848

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-lsm 19850

This theorem is used by:  lsmelvalix  19855  lsmless1x  19858  lsmless2x  19859  lsmelval  19863  lsmsubm  19867  lsmass  19883  lsmcomx  20070  elmgplsm  20372  ssdifidlprm  21642  lsmcss  21998  elgrplsmsn  33945  lsmssass  33953  grplsm0l  33954  grplsmid  33955  mxidlprm  33995  dimkerim  34259