Theorem lsmelvalx 19547

Description: Subspace sum membership (for a group or vector space). Extended domain version of lsmelval 19556. (Contributed by NM, 28-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmfval.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
lsmfval.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
lsmfval.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmelvalx	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧, +   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelvalx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmfval.v	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		lsmfval.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		lsmfval.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4	1, 2, 3	lsmvalx 19546	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑦 ∈ 𝑇, 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 + 𝑧)))
5	4	eleq2d 2817	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ 𝑋 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑇, 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 + 𝑧))))
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑇, 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 + 𝑧)) = (𝑦 ∈ 𝑇, 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 + 𝑧))
7		ovex 7374	. . 3 ⊢ (𝑦 + 𝑧) ∈ V
8	6, 7	elrnmpo 7477	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑇, 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 + 𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + 𝑧))
9	5, 8	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑈 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + 𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ran crn 5612  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156  LSSumclsm 19541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-lsm 19543

This theorem is referenced by:  lsmelvalix  19548  lsmless1x  19551  lsmless2x  19552  lsmelval  19556  lsmsubm  19560  lsmass  19576  lsmcomx  19763  lsmcss  21624  elgrplsmsn  33347  elringlsm  33350  lsmssass  33359  grplsm0l  33360  grplsmid  33361  ssdifidlprm  33415  mxidlprm  33427  dimkerim  33632