Theorem issubg4 19185

Description: A subgroup is a nonempty subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubg4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg4.p	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
issubg4	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, − ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem issubg4

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg4.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19167	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	3	subg0cl 19174	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
5	4	ne0d 4365	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ≠ ∅)
6		issubg4.p	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7	6	subgsubcl 19177	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
8	7	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
9	8	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
10	2, 5, 9	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆))
11		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
12		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
13		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥 − 𝑦) = ((0g‘𝐺) − 𝑦))
14	13	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆))
15	14	ralbidv 3184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆))
16		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
17		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
18		r19.2z 4518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
19	17, 18	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
20		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑥))
21	20	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
22	21	rspcv 3631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
24		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
25	24	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	1, 3, 6	grpsubid 19064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
27	26	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
28	25, 27	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
29	28	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
30	23, 29	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
31	30	rexlimdva 3161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
33	19, 32	syldan 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
34	15, 16, 33	rspcdva 3636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆)
35	1, 3	grpidcl 19005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
36	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
37	24	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
39		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
40	1, 38, 39, 6	grpsubval 19025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
41	36, 37, 40	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
42		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
43	1, 39	grpinvcl 19027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
44	42, 37, 43	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
45	1, 38, 3	grplid 19007	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
46	42, 44, 45	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
47	41, 46	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
48	47	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
49	48	ralbidva 3182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
51	34, 50	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)
52		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑧))
53	52	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆))
54	53	rspccva 3634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
55	54	ad2ant2l 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
56		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)))
57	56	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
58	57	rspcv 3631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
60		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ Grp)
61		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
63		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
64	62, 63	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
65		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
66	62, 65	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
67	1, 38, 6, 39, 60, 64, 66	grpsubinv 19052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑧))
68	67	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
69	59, 68	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
70	69	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
71	70	ralrimdva 3160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
72	71	ralimdva 3173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
73	72	impancom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
74	51, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
75		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
76	75	eleq1d 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
77	76	ralbidv 3184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
78	77	cbvralvw 3243	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
79	74, 78	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
80		r19.26 3117	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
81	79, 51, 80	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
82	11, 12, 81	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)))
83	82	exp42 435	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))))
84	83	3impd 1348	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
85	1, 38, 39	issubg2 19181	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
86	84, 85	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
87	10, 86	impbid2 226	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  -_gcsg 18975  SubGrpcsubg 19160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163

This theorem is referenced by:  dprdsubg  20068  dmatsgrp  22526  scmatsgrp  22546  scmatsgrp1  22549  clssubg  24138  tgpconncomp  24142