MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubg4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubg4 17814
Description: A subgroup is a nonempty subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg4.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg4.p = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
issubg4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem issubg4
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg4.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgss 17796 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
3 eqid 2771 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
43subg0cl 17803 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
5 ne0i 4069 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅)
64, 5syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ≠ ∅)
7 issubg4.p . . . . . 6 = (-g𝐺)
87subgsubcl 17806 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
983expb 1113 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
109ralrimivva 3120 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
112, 6, 103jca 1122 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆))
12 simplrl 762 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆𝐵)
13 simplrr 763 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
14 oveq1 6798 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑥 𝑦) = ((0g𝐺) 𝑦))
1514eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (0g𝐺) → ((𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆))
1615ralbidv 3135 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (0g𝐺) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆))
17 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
18 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
19 r19.2z 4201 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
2018, 19sylan 569 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)
21 oveq2 6799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 𝑦) = (𝑥 𝑥))
2221eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 𝑥) ∈ 𝑆))
2322rspcv 3456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑆 → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 𝑥) ∈ 𝑆))
2423adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 𝑥) ∈ 𝑆))
25 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆𝐵)
2625sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
271, 3, 7grpsubid 17700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 𝑥) = (0g𝐺))
2827adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 𝑥) = (0g𝐺))
2926, 28syldan 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 𝑥) = (0g𝐺))
3029eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
3124, 30sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
3231rexlimdva 3179 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
3332imp 393 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
3420, 33syldan 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
3516, 17, 34rspcdva 3466 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆)
361, 3grpidcl 17651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
3736ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
3825sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
39 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝐺) = (+g𝐺)
40 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invg𝐺) = (invg𝐺)
411, 39, 40, 7grpsubval 17666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0g𝐺) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((0g𝐺) 𝑦) = ((0g𝐺)(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)))
4237, 38, 41syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ((0g𝐺) 𝑦) = ((0g𝐺)(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)))
43 simpll 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
441, 40grpinvcl 17668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
4543, 38, 44syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
461, 39, 3grplid 17653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)) = ((invg𝐺)‘𝑦))
4743, 45, 46syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ((0g𝐺)(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)) = ((invg𝐺)‘𝑦))
4842, 47eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → ((0g𝐺) 𝑦) = ((invg𝐺)‘𝑦))
4948eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦𝑆) → (((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
5049ralbidva 3134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
5150adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦𝑆 ((0g𝐺) 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
5235, 51mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)
53 fveq2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑧 → ((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝐺)‘𝑧))
5453eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑧 → (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆))
5554rspccva 3459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
5655ad2ant2l 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
57 oveq2 6799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ((invg𝐺)‘𝑧) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)))
5857eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ((invg𝐺)‘𝑧) → ((𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
5958rspcv 3456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
6056, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
61 simplll 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝐺 ∈ Grp)
62 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆𝐵)
6362adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑆𝐵)
64 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥𝑆)
6563, 64sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑥𝐵)
66 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝑆)
6763, 66sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → 𝑧𝐵)
681, 39, 7, 40, 61, 65, 67grpsubinv 17689 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) = (𝑥(+g𝐺)𝑧))
6968eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7060, 69sylibd 229 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑧𝑆)) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7170anassrs 453 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7271ralrimdva 3118 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (∀𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7372ralimdva 3111 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥𝑆𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7473impancom 439 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥𝑆𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7552, 74mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
76 oveq1 6798 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(+g𝐺)𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑧))
7776eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7877ralbidv 3135 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
7978cbvralv 3320 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑆𝑧𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
8075, 79sylib 208 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
81 r19.26 3212 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑦𝑆𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
8280, 52, 81sylanbrc 572 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
8312, 13, 823jca 1122 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)))
8483exp42 422 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆𝐵 → (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))))
85843impd 1441 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
861, 39, 40issubg2 17810 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝑆 (∀𝑧𝑆 (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
8785, 86sylibrd 249 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
8811, 87impbid2 216 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 𝑦) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  wss 3723  c0 4063  cfv 6029  (class class class)co 6791  Basecbs 16057  +gcplusg 16142  0gc0g 16301  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624  -gcsg 17625  SubGrpcsubg 17789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792
This theorem is referenced by:  dprdsubg  18624  dmatsgrp  20516  scmatsgrp  20536  scmatsgrp1  20539  clssubg  22125  tgpconncomp  22129
  Copyright terms: Public domain W3C validator