Theorem issubg4 19025

Description: A subgroup is a nonempty subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubg4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg4.p	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
issubg4	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, − ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem issubg4

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg4.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19007	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	3	subg0cl 19014	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
5	4	ne0d 4336	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ≠ ∅)
6		issubg4.p	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7	6	subgsubcl 19017	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
8	7	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
9	8	ralrimivva 3201	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
10	2, 5, 9	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆))
11		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
12		simplrr 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
13		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥 − 𝑦) = ((0g‘𝐺) − 𝑦))
14	13	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆))
15	14	ralbidv 3178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆))
16		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
17		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
18		r19.2z 4495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
19	17, 18	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
20		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑥))
21	20	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
22	21	rspcv 3609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
23	22	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
24		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
25	24	sselda 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	1, 3, 6	grpsubid 18907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
27	26	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
28	25, 27	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
29	28	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
30	23, 29	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
31	30	rexlimdva 3156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
32	31	imp 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
33	19, 32	syldan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
34	15, 16, 33	rspcdva 3614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆)
35	1, 3	grpidcl 18850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
36	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
37	24	sselda 3983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
39		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
40	1, 38, 39, 6	grpsubval 18870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
41	36, 37, 40	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
42		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
43	1, 39	grpinvcl 18872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
44	42, 37, 43	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
45	1, 38, 3	grplid 18852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
46	42, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
47	41, 46	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
48	47	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
49	48	ralbidva 3176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
50	49	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
51	34, 50	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)
52		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑧))
53	52	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆))
54	53	rspccva 3612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
55	54	ad2ant2l 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
56		oveq2 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)))
57	56	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
58	57	rspcv 3609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
60		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ Grp)
61		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
62	61	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
63		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
64	62, 63	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
65		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
66	62, 65	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
67	1, 38, 6, 39, 60, 64, 66	grpsubinv 18896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑧))
68	67	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
69	59, 68	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
70	69	anassrs 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
71	70	ralrimdva 3155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
72	71	ralimdva 3168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
73	72	impancom 453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
74	51, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
75		oveq1 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
76	75	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
77	76	ralbidv 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
78	77	cbvralvw 3235	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
79	74, 78	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
80		r19.26 3112	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
81	79, 51, 80	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
82	11, 12, 81	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)))
83	82	exp42 437	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))))
84	83	3impd 1349	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
85	1, 38, 39	issubg2 19021	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
86	84, 85	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
87	10, 86	impbid2 225	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  Grpcgrp 18819  inv_gcminusg 18820  -_gcsg 18821  SubGrpcsubg 19000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003

This theorem is referenced by:  dprdsubg  19894  dmatsgrp  22001  scmatsgrp  22021  scmatsgrp1  22024  clssubg  23613  tgpconncomp  23617