Theorem issubg4 19077

Description: A subgroup is a nonempty subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubg4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubg4.p	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
issubg4	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, − ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem issubg4

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg4.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19059	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	3	subg0cl 19066	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
5	4	ne0d 4293	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ≠ ∅)
6		issubg4.p	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7	6	subgsubcl 19069	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
8	7	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
9	8	ralrimivva 3178	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
10	2, 5, 9	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆))
11		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
12		simplrr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
13		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥 − 𝑦) = ((0g‘𝐺) − 𝑦))
14	13	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆))
15	14	ralbidv 3158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆))
16		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
17		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
18		r19.2z 4451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
19	17, 18	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)
20		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑥))
21	20	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
22	21	rspcv 3571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆))
24		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
25	24	sselda 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	1, 3, 6	grpsubid 18956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
27	26	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
28	25, 27	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺))
29	28	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
30	23, 29	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
31	30	rexlimdva 3136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
33	19, 32	syldan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
34	15, 16, 33	rspcdva 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆)
35	1, 3	grpidcl 18897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
36	35	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
37	24	sselda 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
39		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
40	1, 38, 39, 6	grpsubval 18917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
41	36, 37, 40	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
42		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
43	1, 39	grpinvcl 18919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
44	42, 37, 43	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
45	1, 38, 3	grplid 18899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
46	42, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
47	41, 46	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑦))
48	47	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
49	48	ralbidva 3156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
51	34, 50	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)
52		fveq2 6833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑧))
53	52	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆))
54	53	rspccva 3574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
55	54	ad2ant2l 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)
56		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)))
57	56	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
58	57	rspcv 3571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
60		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ Grp)
61		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
63		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
64	62, 63	sseldd 3933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
65		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
66	62, 65	sseldd 3933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
67	1, 38, 6, 39, 60, 64, 66	grpsubinv 18944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑧))
68	67	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 − ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
69	59, 68	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
70	69	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
71	70	ralrimdva 3135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
72	71	ralimdva 3147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
73	72	impancom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
74	51, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
75		oveq1 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧))
76	75	eleq1d 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
77	76	ralbidv 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆))
78	77	cbvralvw 3213	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
79	74, 78	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)
80		r19.26 3095	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
81	79, 51, 80	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))
82	11, 12, 81	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)))
83	82	exp42 435	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))))
84	83	3impd 1350	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
85	1, 38, 39	issubg2 19073	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))))
86	84, 85	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
87	10, 86	impbid2 226	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3900  ∅c0 4284  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  -_gcsg 18867  SubGrpcsubg 19052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055

This theorem is referenced by:  dprdsubg  19957  dmatsgrp  22445  scmatsgrp  22465  scmatsgrp1  22468  clssubg  24055  tgpconncomp  24059