MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelvalm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmelvalm 19684
Description: Subgroup sum membership analogue of lsmelval 19682 using vector subtraction. TODO: any way to shorten proof? (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelvalm.m = (-g𝐺)
lsmelvalm.p = (LSSum‘𝐺)
lsmelvalm.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalm.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
lsmelvalm (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,   𝑦,𝐺,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelvalm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmelvalm.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 lsmelvalm.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2735 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 lsmelvalm.p . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
53, 4lsmelval 19682 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
61, 2, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
72adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
98subginvcl 19166 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
107, 9sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
11 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12 lsmelvalm.m . . . . . . . . 9 = (-g𝐺)
13 subgrcl 19162 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
141, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
1611subgss 19158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
1817sselda 3995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑇) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
2011subgss 19158 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
217, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑇) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
2221sselda 3995 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
2311, 3, 12, 8, 15, 19, 22grpsubinv 19043 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥)) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
2423eqcomd 2741 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥)))
25 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑥) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥)))
2625rspceeqv 3645 . . . . . . 7 ((((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥))) → ∃𝑧𝑈 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧))
2710, 24, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → ∃𝑧𝑈 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧))
28 eqeq1 2739 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → (𝑋 = (𝑦 𝑧) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧)))
2928rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → (∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑈 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧)))
3027, 29syl5ibrcom 247 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
3130rexlimdva 3153 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑇) → (∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
328subginvcl 19166 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
337, 32sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
3418adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
3521sselda 3995 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
3611, 3, 8, 12grpsubval 19016 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
3734, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
38 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑧) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
3938rspceeqv 3645 . . . . . . 7 ((((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧))) → ∃𝑥𝑈 (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
4033, 37, 39syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → ∃𝑥𝑈 (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
41 eqeq1 2739 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑦 𝑧) → (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4241rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑦 𝑧) → (∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑥𝑈 (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4340, 42syl5ibrcom 247 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑋 = (𝑦 𝑧) → ∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4443rexlimdva 3153 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑇) → (∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧) → ∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4531, 44impbid 212 . . 3 ((𝜑𝑦𝑇) → (∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
4645rexbidva 3175 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝑇𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
476, 46bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  -gcsg 18966  SubGrpcsubg 19151  LSSumclsm 19667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-lsm 19669
This theorem is referenced by:  lsmelvalmi  19685  pgpfac1lem2  20110  pgpfac1lem3  20112  pgpfac1lem4  20113  mapdpglem3  41658
  Copyright terms: Public domain W3C validator