MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelvalm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmelvalm 19065
Description: Subgroup sum membership analogue of lsmelval 19063 using vector subtraction. TODO: any way to shorten proof? (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelvalm.m = (-g𝐺)
lsmelvalm.p = (LSSum‘𝐺)
lsmelvalm.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalm.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
lsmelvalm (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,   𝑦,𝐺,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelvalm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmelvalm.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 lsmelvalm.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2738 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 lsmelvalm.p . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
53, 4lsmelval 19063 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
61, 2, 5syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
72adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
98subginvcl 18577 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
107, 9sylan 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
11 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12 lsmelvalm.m . . . . . . . . 9 = (-g𝐺)
13 subgrcl 18573 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
141, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
1611subgss 18569 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
1817sselda 3916 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑇) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
1918adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
2011subgss 18569 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
217, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑇) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
2221sselda 3916 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
2311, 3, 12, 8, 15, 19, 22grpsubinv 18461 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥)) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
2423eqcomd 2744 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥)))
25 oveq2 7240 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑥) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥)))
2625rspceeqv 3565 . . . . . . 7 ((((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥))) → ∃𝑧𝑈 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧))
2710, 24, 26syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → ∃𝑧𝑈 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧))
28 eqeq1 2742 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → (𝑋 = (𝑦 𝑧) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧)))
2928rexbidv 3224 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → (∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑈 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧)))
3027, 29syl5ibrcom 250 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
3130rexlimdva 3211 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑇) → (∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
328subginvcl 18577 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
337, 32sylan 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
3418adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
3521sselda 3916 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
3611, 3, 8, 12grpsubval 18438 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
3734, 35, 36syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
38 oveq2 7240 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑧) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
3938rspceeqv 3565 . . . . . . 7 ((((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧))) → ∃𝑥𝑈 (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
4033, 37, 39syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → ∃𝑥𝑈 (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
41 eqeq1 2742 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑦 𝑧) → (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4241rexbidv 3224 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑦 𝑧) → (∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑥𝑈 (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4340, 42syl5ibrcom 250 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑋 = (𝑦 𝑧) → ∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4443rexlimdva 3211 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑇) → (∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧) → ∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4531, 44impbid 215 . . 3 ((𝜑𝑦𝑇) → (∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
4645rexbidva 3223 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝑇𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
476, 46bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  wrex 3063  wss 3881  cfv 6398  (class class class)co 7232  Basecbs 16785  +gcplusg 16827  Grpcgrp 18390  invgcminusg 18391  -gcsg 18392  SubGrpcsubg 18562  LSSumclsm 19048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-2 11918  df-sets 16742  df-slot 16760  df-ndx 16770  df-base 16786  df-ress 16810  df-plusg 16840  df-0g 16971  df-mgm 18139  df-sgrp 18188  df-mnd 18199  df-grp 18393  df-minusg 18394  df-sbg 18395  df-subg 18565  df-lsm 19050
This theorem is referenced by:  lsmelvalmi  19066  pgpfac1lem2  19487  pgpfac1lem3  19489  pgpfac1lem4  19490  mapdpglem3  39453
  Copyright terms: Public domain W3C validator