MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelvalm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmelvalm 19669
Description: Subgroup sum membership analogue of lsmelval 19667 using vector subtraction. TODO: any way to shorten proof? (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelvalm.m = (-g𝐺)
lsmelvalm.p = (LSSum‘𝐺)
lsmelvalm.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalm.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
lsmelvalm (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,   𝑦,𝐺,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelvalm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmelvalm.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 lsmelvalm.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2737 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 lsmelvalm.p . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
53, 4lsmelval 19667 . . 3 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
61, 2, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
72adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
98subginvcl 19153 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
107, 9sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
11 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12 lsmelvalm.m . . . . . . . . 9 = (-g𝐺)
13 subgrcl 19149 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
141, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
1611subgss 19145 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
1817sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑇) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
2011subgss 19145 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
217, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑇) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
2221sselda 3983 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
2311, 3, 12, 8, 15, 19, 22grpsubinv 19030 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥)) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
2423eqcomd 2743 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥)))
25 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑥) → (𝑦 𝑧) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥)))
2625rspceeqv 3645 . . . . . . 7 ((((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥))) → ∃𝑧𝑈 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧))
2710, 24, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → ∃𝑧𝑈 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧))
28 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → (𝑋 = (𝑦 𝑧) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧)))
2928rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → (∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑈 (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦 𝑧)))
3027, 29syl5ibrcom 247 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
3130rexlimdva 3155 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑇) → (∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) → ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
328subginvcl 19153 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
337, 32sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
3418adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
3521sselda 3983 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
3611, 3, 8, 12grpsubval 19003 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
3734, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
38 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑧) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧)))
3938rspceeqv 3645 . . . . . . 7 ((((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑧))) → ∃𝑥𝑈 (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
4033, 37, 39syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → ∃𝑥𝑈 (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
41 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑋 = (𝑦 𝑧) → (𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4241rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑦 𝑧) → (∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑥𝑈 (𝑦 𝑧) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4340, 42syl5ibrcom 247 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑇) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑋 = (𝑦 𝑧) → ∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4443rexlimdva 3155 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑇) → (∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧) → ∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4531, 44impbid 212 . . 3 ((𝜑𝑦𝑇) → (∃𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
4645rexbidva 3177 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝑇𝑥𝑈 𝑋 = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
476, 46bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧𝑈 𝑋 = (𝑦 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  -gcsg 18953  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-lsm 19654
This theorem is referenced by:  lsmelvalmi  19670  pgpfac1lem2  20095  pgpfac1lem3  20097  pgpfac1lem4  20098  mapdpglem3  41677
  Copyright terms: Public domain W3C validator