Theorem lsmelvalm 19588

Description: Subgroup sum membership analogue of lsmelval 19586 using vector subtraction. TODO: any way to shorten proof? (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelvalm.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
lsmelvalm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmelvalm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
lsmelvalm	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧, −   𝑦,𝐺,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelvalm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelvalm.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmelvalm.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		lsmelvalm.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsmelval 19586	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
7	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	8	subginvcl 19074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
10	7, 9	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
11		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12		lsmelvalm.m	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘𝐺)
13		subgrcl 19070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
16	11	subgss 19066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
18	17	sselda 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
20	11	subgss 19066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
21	7, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
22	21	sselda 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
23	11, 3, 12, 8, 15, 19, 22	grpsubinv 18951	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
24	23	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
25		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
26	25	rspceeqv 3614	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧))
27	10, 24, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧))
28		eqeq1 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧)))
29	28	rexbidv 3158	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧)))
30	27, 29	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
31	30	rexlimdva 3135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
32	8	subginvcl 19074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
33	7, 32	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
34	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
35	21	sselda 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
36	11, 3, 8, 12	grpsubval 18924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
37	34, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
38		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
39	38	rspceeqv 3614	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
40	33, 37, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
41		eqeq1 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
42	41	rexbidv 3158	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
43	40, 42	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
44	43	rexlimdva 3135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
45	31, 44	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
46	45	rexbidva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
47	6, 46	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  -_gcsg 18874  SubGrpcsubg 19059  LSSumclsm 19571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-lsm 19573

This theorem is referenced by:  lsmelvalmi  19589  pgpfac1lem2  20014  pgpfac1lem3  20016  pgpfac1lem4  20017  mapdpglem3  41676