Theorem lsmelvalm 18770

Description: Subgroup sum membership analogue of lsmelval 18768 using vector subtraction. TODO: any way to shorten proof? (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelvalm.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
lsmelvalm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmelvalm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
lsmelvalm	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧, −   𝑦,𝐺,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelvalm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelvalm.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmelvalm.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		lsmelvalm.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsmelval 18768	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
6	1, 2, 5	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
7	2	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	8	subginvcl 18282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
10	7, 9	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
11		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12		lsmelvalm.m	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘𝐺)
13		subgrcl 18278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
16	11	subgss 18274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
18	17	sselda 3966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
19	18	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
20	11	subgss 18274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
21	7, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
22	21	sselda 3966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
23	11, 3, 12, 8, 15, 19, 22	grpsubinv 18166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
24	23	eqcomd 2827	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
25		oveq2 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
26	25	rspceeqv 3637	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧))
27	10, 24, 26	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧))
28		eqeq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧)))
29	28	rexbidv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧)))
30	27, 29	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
31	30	rexlimdva 3284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
32	8	subginvcl 18282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
33	7, 32	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
34	18	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
35	21	sselda 3966	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
36	11, 3, 8, 12	grpsubval 18143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
37	34, 35, 36	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
38		oveq2 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
39	38	rspceeqv 3637	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
40	33, 37, 39	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
41		eqeq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
42	41	rexbidv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
43	40, 42	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
44	43	rexlimdva 3284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
45	31, 44	impbid 214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
46	45	rexbidva 3296	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
47	6, 46	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  Grpcgrp 18097  inv_gcminusg 18098  -_gcsg 18099  SubGrpcsubg 18267  LSSumclsm 18753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-lsm 18755

This theorem is referenced by:  lsmelvalmi  18771  pgpfac1lem2  19191  pgpfac1lem3  19193  pgpfac1lem4  19194  mapdpglem3  38805