Theorem lsmelvalm 19769

Description: Subgroup sum membership analogue of lsmelval 19767 using vector subtraction. TODO: any way to shorten proof? (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelvalm.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
lsmelvalm.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmelvalm.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmelvalm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
lsmelvalm	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧, −   𝑦,𝐺,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem lsmelvalm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelvalm.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmelvalm.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		lsmelvalm.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsmelval 19767	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
7	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	8	subginvcl 19249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
10	7, 9	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈)
11		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12		lsmelvalm.m	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘𝐺)
13		subgrcl 19245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	1, 13	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
16	11	subgss 19241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
17	1, 16	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
18	17	sselda 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
20	11	subgss 19241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
21	7, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
22	21	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
23	11, 3, 12, 8, 15, 19, 22	grpsubinv 19126	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
24	23	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
25		oveq2 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
26	25	rspceeqv 3606	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − ((invg‘𝐺)‘𝑥))) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧))
27	10, 24, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧))
28		eqeq1 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧)))
29	28	rexbidv 3191	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 − 𝑧)))
30	27, 29	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
31	30	rexlimdva 3168	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
32	8	subginvcl 19249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
33	7, 32	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈)
34	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
35	21	sselda 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
36	11, 3, 8, 12	grpsubval 19100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
37	34, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
38		oveq2 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧)))
39	38	rspceeqv 3606	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
40	33, 37, 39	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
41		eqeq1 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
42	41	rexbidv 3191	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑈 (𝑦 − 𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
43	40, 42	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
44	43	rexlimdva 3168	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
45	31, 44	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
46	45	rexbidva 3189	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑥 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))
47	6, 46	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 − 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17295  +_gcplusg 17336  Grpcgrp 19048  inv_gcminusg 19049  -_gcsg 19050  SubGrpcsubg 19234  LSSumclsm 19752

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-0g 17520  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-subg 19237  df-lsm 19754

This theorem is used by:  lsmelvalmi  19770  pgpfac1lem2  20195  pgpfac1lem3  20197  pgpfac1lem4  20198  mapdpglem3  42511