Theorem nmtri 24563

Description: The triangle inequality for the norm of a sum. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmtri.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmtri	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem nmtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24536	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
4		nmf.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 18968	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
8		nmf.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
10	4, 8, 9	nmmtri 24559	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘((invg‘𝐺)‘𝐵))))
11	7, 10	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘((invg‘𝐺)‘𝐵))))
12		nmtri.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
13		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
14	4, 12, 9, 5, 2, 13, 3	grpsubinv 18993	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
15	14	fveq2d 6879	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)))
16	4, 8, 5	nminv 24558	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((invg‘𝐺)‘𝐵)) = (𝑁‘𝐵))
17	16	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((invg‘𝐺)‘𝐵)) = (𝑁‘𝐵))
18	17	oveq2d 7419	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘((invg‘𝐺)‘𝐵))) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))
19	11, 15, 18	3brtr3d 5150	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   + caddc 11130   ≤ cle 11268  Basecbs 17226  +_gcplusg 17269  Grpcgrp 18914  inv_gcminusg 18915  -_gcsg 18916  normcnm 24513  NrmGrpcngp 24514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-0g 17453  df-topgen 17455  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-xms 24257  df-ms 24258  df-nm 24519  df-ngp 24520

This theorem is referenced by:  nmtri2  24564  tngngp3  24593  nmotri  24676