Theorem nmtri 24752

Description: The triangle inequality for the norm of a sum. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmtri.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmtri	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem nmtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24725	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
4		nmf.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 19054	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
7	2, 3, 6	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
8		nmf.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
9		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
10	4, 8, 9	nmmtri 24748	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘((invg‘𝐺)‘𝐵))))
11	7, 10	syld3an3 1434	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐵))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘((invg‘𝐺)‘𝐵))))
12		nmtri.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
13		simp2 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
14	4, 12, 9, 5, 2, 13, 3	grpsubinv 19078	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
15	14	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)))
16	4, 8, 5	nminv 24747	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((invg‘𝐺)‘𝐵)) = (𝑁‘𝐵))
17	16	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((invg‘𝐺)‘𝐵)) = (𝑁‘𝐵))
18	17	oveq2d 7427	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘((invg‘𝐺)‘𝐵))) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))
19	11, 15, 18	3brtr3d 5146	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   + caddc 11103   ≤ cle 11244  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  Grpcgrp 19000  inv_gcminusg 19001  -_gcsg 19002  normcnm 24702  NrmGrpcngp 24703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-0g 17494  df-topgen 17496  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-xms 24446  df-ms 24447  df-nm 24708  df-ngp 24709

This theorem is referenced by:  nmtri2  24753  tngngp3  24782  nmotri  24865