Theorem sylow3lem1 19669

Description: Lemma for sylow3 19675, first part. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow3lem1.d	⊢ − = (-g‘𝐺)
sylow3lem1.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem1	⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧, −   𝑥, ⊕ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem sylow3lem1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		ovex 7481	. . 3 ⊢ (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V
3	1, 2	jctir 520	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V))
4		sylow3.xf	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
5		sylow3.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6		sylow3.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	fislw 19667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
8	1, 4, 5, 7	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
9	8	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
10	9	adantrl 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
11	10	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		sylow3lem1.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
14		sylow3lem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝐺)
15		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))
16	6, 13, 14, 15	conjsubg 19290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	11, 12, 16	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	6, 13, 14, 15	conjsubgen 19291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑦 ≈ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
19	11, 12, 18	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ≈ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
20	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑋 ∈ Fin)
21	6	subgss 19167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
22	11, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
23	20, 22	ssfid 9329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ∈ Fin)
24	6	subgss 19167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ⊆ 𝑋)
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ⊆ 𝑋)
26	20, 25	ssfid 9329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ Fin)
27		hashen 14396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ Fin) → ((♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↔ 𝑦 ≈ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
28	23, 26, 27	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ((♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↔ 𝑦 ≈ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
29	19, 28	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
30	10	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
31	29, 30	eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
32	6	fislw 19667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
33	1, 4, 5, 32	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
35	17, 31, 34	mpbir2and 712	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
36	35	ralrimivva 3208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
37		sylow3lem1.m	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
38	37	fmpo 8109	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ ⊕ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
39	36, 38	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊕ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
40	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
41		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
42	6, 41	grpidcl 19005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
44		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
45		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
46		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = (0g‘𝐺))
47	46	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = ((0g‘𝐺) + 𝑧))
48	47, 46	oveq12d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺)))
49	45, 48	mpteq12dv 5257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))))
50	49	rneqd 5963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))))
51		vex 3492	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑎 ∈ V
52	51	mptex 7260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))) ∈ V
53	52	rnex 7950	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))) ∈ V
54	50, 37, 53	ovmpoa 7605	. . . . . . 7 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))))
55	43, 44, 54	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))))
56	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → 𝐺 ∈ Grp)
57		slwsubg 19652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺))
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺))
59	6	subgss 19167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
61	60	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → 𝑧 ∈ 𝑋)
62	6, 13, 41	grplid 19007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
63	56, 61, 62	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → ((0g‘𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
64	63	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺)) = (𝑧 − (0g‘𝐺)))
65	6, 41, 14	grpsubid1 19065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 − (0g‘𝐺)) = 𝑧)
66	56, 61, 65	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (𝑧 − (0g‘𝐺)) = 𝑧)
67	64, 66	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺)) = 𝑧)
68	67	mpteq2dva 5266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ 𝑧))
69		mptresid 6080	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝑎) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ 𝑧)
70	68, 69	eqtr4di 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))) = ( I ↾ 𝑎))
71	70	rneqd 5963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))) = ran ( I ↾ 𝑎))
72		rnresi 6104	. . . . . . 7 ⊢ ran ( I ↾ 𝑎) = 𝑎
73	71, 72	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))) = 𝑎)
74	55, 73	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = 𝑎)
75		ovex 7481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐) ∈ V
76		oveq2 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐) → (𝑏 + 𝑤) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
77	76	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐) → ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏))
78	75, 77	abrexco 7281	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏)}
79		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
80		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
81		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 𝑐 ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
82		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 = 𝑐 ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑐)
83	82	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 = 𝑐 ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑐 + 𝑧))
84	83, 82	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 𝑐 ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐))
85	81, 84	mpteq12dv 5257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 𝑐 ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
86	85	rneqd 5963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑐 ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
87	51	mptex 7260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) ∈ V
88	87	rnex 7950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) ∈ V
89	86, 37, 88	ovmpoa 7605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑐 ⊕ 𝑎) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
90	79, 80, 89	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊕ 𝑎) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
91		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐))
92	91	rnmpt 5980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) = {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)}
93	90, 92	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊕ 𝑎) = {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)})
94	93	rexeqdv 3335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (∃𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏) ↔ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)))
95	94	abbidv 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)})
96	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → 𝐺 ∈ Grp)
98		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
99	6, 13	grpcl 18981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
100	96, 98, 79, 99	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
102	61	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → 𝑧 ∈ 𝑋)
103	6, 13	grpcl 18981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋)
104	97, 101, 102, 103	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋)
105	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑋)
106	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑋)
107	6, 13, 14	grpsubsub4 19073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − 𝑐) − 𝑏) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)))
108	97, 104, 105, 106, 107	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − 𝑐) − 𝑏) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)))
109	6, 13	grpass 18982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
110	97, 106, 105, 102, 109	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
111	110	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − 𝑐) = ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) − 𝑐))
112	6, 13	grpcl 18981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋)
113	97, 105, 102, 112	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋)
114	6, 13, 14	grpaddsubass 19070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) − 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
115	97, 106, 113, 105, 114	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) − 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
116	111, 115	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
117	116	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − 𝑐) − 𝑏) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏))
118	108, 117	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏))
119	118	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)) ↔ 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏)))
120	119	rexbidva 3183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏)))
121	120	abbidv 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))} = {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏)})
122	78, 95, 121	3eqtr4a 2806	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))})
123		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)) = (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏))
124	123	rnmpt 5980	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)) = {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)}
125		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)))
126	125	rnmpt 5980	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))) = {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))}
127	122, 124, 126	3eqtr4g 2805	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ran (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))))
128	39	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ⊕ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
129	128, 79, 80	fovcdmd 7622	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊕ 𝑎) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
130		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎))
131		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → 𝑥 = 𝑏)
132	131	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
133	132, 131	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = ((𝑏 + 𝑧) − 𝑏))
134	130, 133	mpteq12dv 5257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑧 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑧) − 𝑏)))
135		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑤))
136	135	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑏 + 𝑧) − 𝑏) = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏))
137	136	cbvmptv 5279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑧) − 𝑏)) = (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏))
138	134, 137	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)))
139	138	rneqd 5963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)))
140		ovex 7481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ⊕ 𝑎) ∈ V
141	140	mptex 7260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)) ∈ V
142	141	rnex 7950	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)) ∈ V
143	139, 37, 142	ovmpoa 7605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑋 ∧ (𝑐 ⊕ 𝑎) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)))
144	98, 129, 143	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)))
145		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
146		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = (𝑏 + 𝑐))
147	146	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧))
148	147, 146	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)))
149	145, 148	mpteq12dv 5257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))))
150	149	rneqd 5963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))))
151	51	mptex 7260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))) ∈ V
152	151	rnex 7950	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))) ∈ V
153	150, 37, 152	ovmpoa 7605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))))
154	100, 80, 153	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))))
155	127, 144, 154	3eqtr4rd 2791	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎)))
156	155	ralrimivva 3208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎)))
157	74, 156	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎))))
158	157	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎))))
159	39, 158	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊕ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎)))))
160	6, 13, 41	isga 19331	. 2 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V) ∧ ( ⊕ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎))))))
161	3, 159, 160	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   I cid 5592   × cxp 5698  ran crn 5701   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450   ≈ cen 9000  Fincfn 9003  ↑cexp 14112  ♯chash 14379  ℙcprime 16718   pCnt cpc 16883  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  -_gcsg 18975  SubGrpcsubg 19160   GrpAct cga 19329   pSyl cslw 19569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-ga 19330  df-od 19570  df-pgp 19572  df-slw 19573

This theorem is referenced by:  sylow3lem3  19671  sylow3lem5  19673