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Theorem sylow3lem1 19582
Description: Lemma for sylow3 19588, first part. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
sylow3lem1 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem sylow3lem1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 ovex 7453 . . 3 (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V
31, 2jctir 520 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V))
4 sylow3.xf . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow3.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 sylow3.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝐺)
76fislw 19580 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
81, 4, 5, 7syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
98biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
109adantrl 715 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
1110simpld 494 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑥𝑋)
13 sylow3lem1.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
14 sylow3lem1.d . . . . . . . 8 = (-g𝐺)
15 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))
166, 13, 14, 15conjsubg 19204 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1711, 12, 16syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
186, 13, 14, 15conjsubgen 19205 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
1911, 12, 18syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
204adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑋 ∈ Fin)
216subgss 19082 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑦𝑋)
2211, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦𝑋)
2320, 22ssfid 9292 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ∈ Fin)
246subgss 19082 . . . . . . . . . . 11 (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ⊆ 𝑋)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ⊆ 𝑋)
2620, 25ssfid 9292 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ Fin)
27 hashen 14339 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ Fin) → ((♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↔ 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
2823, 26, 27syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ((♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↔ 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
2919, 28mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
3010simprd 495 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
3129, 30eqtr3d 2770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
326fislw 19580 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
331, 4, 5, 32syl3anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑 → (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
3517, 31, 34mpbir2and 712 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
3635ralrimivva 3197 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
37 sylow3lem1.m . . . . 5 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
3837fmpo 8072 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
3936, 38sylib 217 . . 3 (𝜑 :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
401adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
41 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
426, 41grpidcl 18922 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
4340, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
44 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
45 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
46 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = (0g𝐺))
4746oveq1d 7435 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = ((0g𝐺) + 𝑧))
4847, 46oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺)))
4945, 48mpteq12dv 5239 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))))
5049rneqd 5940 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))))
51 vex 3475 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ V
5251mptex 7235 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) ∈ V
5352rnex 7918 . . . . . . . 8 ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) ∈ V
5450, 37, 53ovmpoa 7576 . . . . . . 7 (((0g𝐺) ∈ 𝑋𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g𝐺) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))))
5543, 44, 54syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g𝐺) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))))
561ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝐺 ∈ Grp)
57 slwsubg 19565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺))
596subgss 19082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑎𝑋)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎𝑋)
6160sselda 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑧𝑋)
626, 13, 41grplid 18924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
6356, 61, 62syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → ((0g𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
6463oveq1d 7435 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺)) = (𝑧 (0g𝐺)))
656, 41, 14grpsubid1 18981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 (0g𝐺)) = 𝑧)
6656, 61, 65syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑧 (0g𝐺)) = 𝑧)
6764, 66eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺)) = 𝑧)
6867mpteq2dva 5248 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) = (𝑧𝑎𝑧))
69 mptresid 6054 . . . . . . . . 9 ( I ↾ 𝑎) = (𝑧𝑎𝑧)
7068, 69eqtr4di 2786 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) = ( I ↾ 𝑎))
7170rneqd 5940 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) = ran ( I ↾ 𝑎))
72 rnresi 6078 . . . . . . 7 ran ( I ↾ 𝑎) = 𝑎
7371, 72eqtrdi 2784 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) = 𝑎)
7455, 73eqtrd 2768 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎)
75 ovex 7453 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 + 𝑧) 𝑐) ∈ V
76 oveq2 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐) → (𝑏 + 𝑤) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
7776oveq1d 7435 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐) → ((𝑏 + 𝑤) 𝑏) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏))
7875, 77abrexco 7254 . . . . . . . . 9 {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏)}
79 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝑐𝑋)
80 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
81 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
82 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑐)
8382oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑐 + 𝑧))
8483, 82oveq12d 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐))
8581, 84mpteq12dv 5239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
8685rneqd 5940 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
8751mptex 7235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) ∈ V
8887rnex 7918 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) ∈ V
8986, 37, 88ovmpoa 7576 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑋𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑐 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
9079, 80, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑐 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
91 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) = (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐))
9291rnmpt 5957 . . . . . . . . . . . 12 ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)}
9390, 92eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑐 𝑎) = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)})
9493rexeqdv 3323 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏) ↔ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
9594abbidv 2797 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)})
9640adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝐺 ∈ Grp)
98 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝑏𝑋)
996, 13grpcl 18898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏𝑋𝑐𝑋) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
10096, 98, 79, 99syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
10261adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑧𝑋)
1036, 13grpcl 18898 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋𝑧𝑋) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋)
10497, 101, 102, 103syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋)
10579adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑐𝑋)
10698adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑏𝑋)
1076, 13, 14grpsubsub4 18989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋𝑐𝑋𝑏𝑋)) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) 𝑏) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)))
10897, 104, 105, 106, 107syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) 𝑏) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)))
1096, 13grpass 18899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
11097, 106, 105, 102, 109syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
111110oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) = ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) 𝑐))
1126, 13grpcl 18898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐𝑋𝑧𝑋) → (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋)
11397, 105, 102, 112syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋)
1146, 13, 14grpaddsubass 18986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏𝑋 ∧ (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋𝑐𝑋)) → ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
11597, 106, 113, 105, 114syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
116111, 115eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
117116oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) 𝑏) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏))
118108, 117eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏))
119118eqeq2d 2739 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)) ↔ 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏)))
120119rexbidva 3173 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (∃𝑧𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)) ↔ ∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏)))
121120abbidv 2797 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))} = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏)})
12278, 95, 1213eqtr4a 2794 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))})
123 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) = (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏))
124123rnmpt 5957 . . . . . . . 8 ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) = {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)}
125 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))) = (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)))
126125rnmpt 5957 . . . . . . . 8 ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))) = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))}
127122, 124, 1263eqtr4g 2793 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
12839ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
129128, 79, 80fovcdmd 7593 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑐 𝑎) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
130 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → 𝑦 = (𝑐 𝑎))
131 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → 𝑥 = 𝑏)
132131oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
133132, 131oveq12d 7438 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑏 + 𝑧) 𝑏))
134130, 133mpteq12dv 5239 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑧) 𝑏)))
135 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑤))
136135oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑏 + 𝑧) 𝑏) = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏))
137136cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑧) 𝑏)) = (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏))
138134, 137eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
139138rneqd 5940 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
140 ovex 7453 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 𝑎) ∈ V
141140mptex 7235 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) ∈ V
142141rnex 7918 . . . . . . . . 9 ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) ∈ V
143139, 37, 142ovmpoa 7576 . . . . . . . 8 ((𝑏𝑋 ∧ (𝑐 𝑎) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑏 (𝑐 𝑎)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
14498, 129, 143syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑏 (𝑐 𝑎)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
145 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
146 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = (𝑏 + 𝑐))
147146oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧))
148147, 146oveq12d 7438 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)))
149145, 148mpteq12dv 5239 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
150149rneqd 5940 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
15151mptex 7235 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))) ∈ V
152151rnex 7918 . . . . . . . . 9 ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))) ∈ V
153150, 37, 152ovmpoa 7576 . . . . . . . 8 (((𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
154100, 80, 153syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
155127, 144, 1543eqtr4rd 2779 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎)))
156155ralrimivva 3197 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎)))
15774, 156jca 511 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎))))
158157ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎))))
15939, 158jca 511 . 2 (𝜑 → ( :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎)))))
1606, 13, 41isga 19242 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V) ∧ ( :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎))))))
1613, 159, 160sylanbrc 582 1 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {cab 2705  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3471  wss 3947   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5575   × cxp 5676  ran crn 5679  cres 5680  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  cmpo 7422  cen 8961  Fincfn 8964  cexp 14059  chash 14322  cprime 16642   pCnt cpc 16805  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  0gc0g 17421  Grpcgrp 18890  -gcsg 18892  SubGrpcsubg 19075   GrpAct cga 19240   pSyl cslw 19482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-prm 16643  df-pc 16806  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-eqg 19080  df-ghm 19168  df-ga 19241  df-od 19483  df-pgp 19485  df-slw 19486
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  19584  sylow3lem5  19586
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