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Theorem sylow3lem1 19409
Description: Lemma for sylow3 19415, first part. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
sylow3lem1 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem sylow3lem1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 ovex 7390 . . 3 (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V
31, 2jctir 521 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V))
4 sylow3.xf . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow3.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 sylow3.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝐺)
76fislw 19407 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
81, 4, 5, 7syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
98biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
109adantrl 714 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
1110simpld 495 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 simprl 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑥𝑋)
13 sylow3lem1.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
14 sylow3lem1.d . . . . . . . 8 = (-g𝐺)
15 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))
166, 13, 14, 15conjsubg 19040 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1711, 12, 16syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
186, 13, 14, 15conjsubgen 19041 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
1911, 12, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
204adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑋 ∈ Fin)
216subgss 18929 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑦𝑋)
2211, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦𝑋)
2320, 22ssfid 9211 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ∈ Fin)
246subgss 18929 . . . . . . . . . . 11 (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ⊆ 𝑋)
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ⊆ 𝑋)
2620, 25ssfid 9211 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ Fin)
27 hashen 14247 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ Fin) → ((♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↔ 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
2823, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ((♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↔ 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
2919, 28mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
3010simprd 496 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
3129, 30eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
326fislw 19407 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
331, 4, 5, 32syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
3517, 31, 34mpbir2and 711 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
3635ralrimivva 3197 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
37 sylow3lem1.m . . . . 5 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
3837fmpo 8000 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
3936, 38sylib 217 . . 3 (𝜑 :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
401adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
41 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
426, 41grpidcl 18778 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
4340, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
44 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
45 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
46 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = (0g𝐺))
4746oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = ((0g𝐺) + 𝑧))
4847, 46oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺)))
4945, 48mpteq12dv 5196 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))))
5049rneqd 5893 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))))
51 vex 3449 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ V
5251mptex 7173 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) ∈ V
5352rnex 7849 . . . . . . . 8 ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) ∈ V
5450, 37, 53ovmpoa 7510 . . . . . . 7 (((0g𝐺) ∈ 𝑋𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g𝐺) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))))
5543, 44, 54syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g𝐺) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))))
561ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝐺 ∈ Grp)
57 slwsubg 19392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺))
596subgss 18929 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑎𝑋)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎𝑋)
6160sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑧𝑋)
626, 13, 41grplid 18780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
6356, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → ((0g𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
6463oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺)) = (𝑧 (0g𝐺)))
656, 41, 14grpsubid1 18832 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 (0g𝐺)) = 𝑧)
6656, 61, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑧 (0g𝐺)) = 𝑧)
6764, 66eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺)) = 𝑧)
6867mpteq2dva 5205 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) = (𝑧𝑎𝑧))
69 mptresid 6004 . . . . . . . . 9 ( I ↾ 𝑎) = (𝑧𝑎𝑧)
7068, 69eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) = ( I ↾ 𝑎))
7170rneqd 5893 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) = ran ( I ↾ 𝑎))
72 rnresi 6027 . . . . . . 7 ran ( I ↾ 𝑎) = 𝑎
7371, 72eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) = 𝑎)
7455, 73eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎)
75 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 + 𝑧) 𝑐) ∈ V
76 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐) → (𝑏 + 𝑤) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
7776oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐) → ((𝑏 + 𝑤) 𝑏) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏))
7875, 77abrexco 7191 . . . . . . . . 9 {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏)}
79 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝑐𝑋)
80 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
81 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
82 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑐)
8382oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑐 + 𝑧))
8483, 82oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐))
8581, 84mpteq12dv 5196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
8685rneqd 5893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
8751mptex 7173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) ∈ V
8887rnex 7849 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) ∈ V
8986, 37, 88ovmpoa 7510 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑋𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑐 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
9079, 80, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑐 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
91 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) = (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐))
9291rnmpt 5910 . . . . . . . . . . . 12 ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)}
9390, 92eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑐 𝑎) = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)})
9493rexeqdv 3314 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏) ↔ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
9594abbidv 2805 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)})
9640adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝐺 ∈ Grp)
98 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝑏𝑋)
996, 13grpcl 18756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏𝑋𝑐𝑋) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
10096, 98, 79, 99syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
101100adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
10261adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑧𝑋)
1036, 13grpcl 18756 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋𝑧𝑋) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋)
10497, 101, 102, 103syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋)
10579adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑐𝑋)
10698adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑏𝑋)
1076, 13, 14grpsubsub4 18840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋𝑐𝑋𝑏𝑋)) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) 𝑏) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)))
10897, 104, 105, 106, 107syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) 𝑏) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)))
1096, 13grpass 18757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
11097, 106, 105, 102, 109syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
111110oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) = ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) 𝑐))
1126, 13grpcl 18756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐𝑋𝑧𝑋) → (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋)
11397, 105, 102, 112syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋)
1146, 13, 14grpaddsubass 18837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏𝑋 ∧ (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋𝑐𝑋)) → ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
11597, 106, 113, 105, 114syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
116111, 115eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
117116oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) 𝑏) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏))
118108, 117eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏))
119118eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)) ↔ 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏)))
120119rexbidva 3173 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (∃𝑧𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)) ↔ ∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏)))
121120abbidv 2805 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))} = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏)})
12278, 95, 1213eqtr4a 2802 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))})
123 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) = (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏))
124123rnmpt 5910 . . . . . . . 8 ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) = {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)}
125 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))) = (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)))
126125rnmpt 5910 . . . . . . . 8 ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))) = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))}
127122, 124, 1263eqtr4g 2801 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
12839ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
129128, 79, 80fovcdmd 7526 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑐 𝑎) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
130 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → 𝑦 = (𝑐 𝑎))
131 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → 𝑥 = 𝑏)
132131oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
133132, 131oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑏 + 𝑧) 𝑏))
134130, 133mpteq12dv 5196 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑧) 𝑏)))
135 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑤))
136135oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑏 + 𝑧) 𝑏) = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏))
137136cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑧) 𝑏)) = (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏))
138134, 137eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
139138rneqd 5893 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
140 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 𝑎) ∈ V
141140mptex 7173 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) ∈ V
142141rnex 7849 . . . . . . . . 9 ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) ∈ V
143139, 37, 142ovmpoa 7510 . . . . . . . 8 ((𝑏𝑋 ∧ (𝑐 𝑎) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑏 (𝑐 𝑎)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
14498, 129, 143syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑏 (𝑐 𝑎)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
145 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
146 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = (𝑏 + 𝑐))
147146oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧))
148147, 146oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)))
149145, 148mpteq12dv 5196 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
150149rneqd 5893 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
15151mptex 7173 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))) ∈ V
152151rnex 7849 . . . . . . . . 9 ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))) ∈ V
153150, 37, 152ovmpoa 7510 . . . . . . . 8 (((𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
154100, 80, 153syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
155127, 144, 1543eqtr4rd 2787 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎)))
156155ralrimivva 3197 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎)))
15774, 156jca 512 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎))))
158157ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎))))
15939, 158jca 512 . 2 (𝜑 → ( :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎)))))
1606, 13, 41isga 19071 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V) ∧ ( :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎))))))
1613, 159, 160sylanbrc 583 1 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188   I cid 5530   × cxp 5631  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cen 8880  Fincfn 8883  cexp 13967  chash 14230  cprime 16547   pCnt cpc 16708  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  SubGrpcsubg 18922   GrpAct cga 19069   pSyl cslw 19309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-ga 19070  df-od 19310  df-pgp 19312  df-slw 19313
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  19411  sylow3lem5  19413
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