Theorem sylow3lem1 19242

Description: Lemma for sylow3 19248, first part. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow3lem1.d	⊢ − = (-g‘𝐺)
sylow3lem1.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem1	⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧, −   𝑥, ⊕ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem sylow3lem1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		ovex 7300	. . 3 ⊢ (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V
3	1, 2	jctir 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V))
4		sylow3.xf	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
5		sylow3.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6		sylow3.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	fislw 19240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
8	1, 4, 5, 7	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
9	8	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
10	9	adantrl 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
11	10	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		sylow3lem1.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
14		sylow3lem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝐺)
15		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))
16	6, 13, 14, 15	conjsubg 18876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	11, 12, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	6, 13, 14, 15	conjsubgen 18877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑦 ≈ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
19	11, 12, 18	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ≈ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
20	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑋 ∈ Fin)
21	6	subgss 18766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
22	11, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
23	20, 22	ssfid 9029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ∈ Fin)
24	6	subgss 18766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ⊆ 𝑋)
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ⊆ 𝑋)
26	20, 25	ssfid 9029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ Fin)
27		hashen 14071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ Fin) → ((♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↔ 𝑦 ≈ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
28	23, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ((♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) ↔ 𝑦 ≈ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
29	19, 28	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))))
30	10	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
31	29, 30	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
32	6	fislw 19240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
33	1, 4, 5, 32	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
34	33	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
35	17, 31, 34	mpbir2and 710	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
36	35	ralrimivva 3115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
37		sylow3lem1.m	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
38	37	fmpo 7897	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ ⊕ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
39	36, 38	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊕ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
40	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
41		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
42	6, 41	grpidcl 18617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
44		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
45		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
46		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = (0g‘𝐺))
47	46	oveq1d 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = ((0g‘𝐺) + 𝑧))
48	47, 46	oveq12d 7285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺)))
49	45, 48	mpteq12dv 5164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))))
50	49	rneqd 5840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))))
51		vex 3433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑎 ∈ V
52	51	mptex 7091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))) ∈ V
53	52	rnex 7749	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))) ∈ V
54	50, 37, 53	ovmpoa 7418	. . . . . . 7 ⊢ (((0g‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))))
55	43, 44, 54	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))))
56	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → 𝐺 ∈ Grp)
57		slwsubg 19225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺))
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺))
59	6	subgss 18766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎 ⊆ 𝑋)
61	60	sselda 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → 𝑧 ∈ 𝑋)
62	6, 13, 41	grplid 18619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
63	56, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → ((0g‘𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
64	63	oveq1d 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺)) = (𝑧 − (0g‘𝐺)))
65	6, 41, 14	grpsubid1 18670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 − (0g‘𝐺)) = 𝑧)
66	56, 61, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (𝑧 − (0g‘𝐺)) = 𝑧)
67	64, 66	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺)) = 𝑧)
68	67	mpteq2dva 5173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ 𝑧))
69		mptresid 5951	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝑎) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ 𝑧)
70	68, 69	eqtr4di 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))) = ( I ↾ 𝑎))
71	70	rneqd 5840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))) = ran ( I ↾ 𝑎))
72		rnresi 5976	. . . . . . 7 ⊢ ran ( I ↾ 𝑎) = 𝑎
73	71, 72	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((0g‘𝐺) + 𝑧) − (0g‘𝐺))) = 𝑎)
74	55, 73	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = 𝑎)
75		ovex 7300	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐) ∈ V
76		oveq2 7275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐) → (𝑏 + 𝑤) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
77	76	oveq1d 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐) → ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏))
78	75, 77	abrexco 7109	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏)}
79		simprr 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
80		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
81		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 𝑐 ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
82		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 = 𝑐 ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑐)
83	82	oveq1d 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 = 𝑐 ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑐 + 𝑧))
84	83, 82	oveq12d 7285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 𝑐 ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐))
85	81, 84	mpteq12dv 5164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 𝑐 ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
86	85	rneqd 5840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑐 ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
87	51	mptex 7091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) ∈ V
88	87	rnex 7749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) ∈ V
89	86, 37, 88	ovmpoa 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑐 ⊕ 𝑎) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
90	79, 80, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊕ 𝑎) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
91		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐))
92	91	rnmpt 5857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) = {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)}
93	90, 92	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊕ 𝑎) = {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)})
94	93	rexeqdv 3347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (∃𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏) ↔ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)))
95	94	abbidv 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)})
96	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → 𝐺 ∈ Grp)
98		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
99	6, 13	grpcl 18595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
100	96, 98, 79, 99	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
102	61	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → 𝑧 ∈ 𝑋)
103	6, 13	grpcl 18595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋)
104	97, 101, 102, 103	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋)
105	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑋)
106	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑋)
107	6, 13, 14	grpsubsub4 18678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − 𝑐) − 𝑏) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)))
108	97, 104, 105, 106, 107	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − 𝑐) − 𝑏) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)))
109	6, 13	grpass 18596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
110	97, 106, 105, 102, 109	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
111	110	oveq1d 7282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − 𝑐) = ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) − 𝑐))
112	6, 13	grpcl 18595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋)
113	97, 105, 102, 112	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋)
114	6, 13, 14	grpaddsubass 18675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) − 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
115	97, 106, 113, 105, 114	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) − 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
116	111, 115	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)))
117	116	oveq1d 7282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − 𝑐) − 𝑏) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏))
118	108, 117	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏))
119	118	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑎) → (𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)) ↔ 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏)))
120	119	rexbidva 3223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏)))
121	120	abbidv 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))} = {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) − 𝑐)) − 𝑏)})
122	78, 95, 121	3eqtr4a 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))})
123		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)) = (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏))
124	123	rnmpt 5857	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)) = {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)}
125		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)))
126	125	rnmpt 5857	. . . . . . . 8 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))) = {𝑢 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))}
127	122, 124, 126	3eqtr4g 2803	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ran (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))))
128	39	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ⊕ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
129	128, 79, 80	fovrnd 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊕ 𝑎) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
130		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎))
131		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → 𝑥 = 𝑏)
132	131	oveq1d 7282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
133	132, 131	oveq12d 7285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = ((𝑏 + 𝑧) − 𝑏))
134	130, 133	mpteq12dv 5164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑧 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑧) − 𝑏)))
135		oveq2 7275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑤))
136	135	oveq1d 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑏 + 𝑧) − 𝑏) = ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏))
137	136	cbvmptv 5186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑧) − 𝑏)) = (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏))
138	134, 137	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)))
139	138	rneqd 5840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑏 ∧ 𝑦 = (𝑐 ⊕ 𝑎)) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)))
140		ovex 7300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ⊕ 𝑎) ∈ V
141	140	mptex 7091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)) ∈ V
142	141	rnex 7749	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)) ∈ V
143	139, 37, 142	ovmpoa 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑋 ∧ (𝑐 ⊕ 𝑎) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)))
144	98, 129, 143	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 ⊕ 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) − 𝑏)))
145		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
146		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = (𝑏 + 𝑐))
147	146	oveq1d 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧))
148	147, 146	oveq12d 7285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐)))
149	145, 148	mpteq12dv 5164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))))
150	149	rneqd 5840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))))
151	51	mptex 7091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))) ∈ V
152	151	rnex 7749	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))) ∈ V
153	150, 37, 152	ovmpoa 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))))
154	100, 80, 153	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = ran (𝑧 ∈ 𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) − (𝑏 + 𝑐))))
155	127, 144, 154	3eqtr4rd 2789	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎)))
156	155	ralrimivva 3115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎)))
157	74, 156	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎))))
158	157	ralrimiva 3108	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎))))
159	39, 158	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊕ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎)))))
160	6, 13, 41	isga 18907	. 2 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V) ∧ ( ⊕ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g‘𝐺) ⊕ 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑏 + 𝑐) ⊕ 𝑎) = (𝑏 ⊕ (𝑐 ⊕ 𝑎))))))
161	3, 159, 160	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3429   ⊆ wss 3886   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5156   I cid 5483   × cxp 5582  ran crn 5585   ↾ cres 5586  ⟶wf 6422  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267   ∈ cmpo 7269   ≈ cen 8717  Fincfn 8720  ↑cexp 13792  ♯chash 14054  ℙcprime 16386   pCnt cpc 16547  Basecbs 16922  +_gcplusg 16972  0_gc0g 17160  Grpcgrp 18587  -_gcsg 18589  SubGrpcsubg 18759   GrpAct cga 18905   pSyl cslw 19145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5039  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-oadd 8288  df-omul 8289  df-er 8485  df-ec 8487  df-qs 8491  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-dju 9669  df-card 9707  df-acn 9710  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-n0 12244  df-xnn0 12316  df-z 12330  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-mod 13600  df-seq 13732  df-exp 13793  df-fac 13998  df-bc 14027  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-clim 15207  df-sum 15408  df-dvds 15974  df-gcd 16212  df-prm 16387  df-pc 16548  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-0g 17162  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-mulg 18711  df-subg 18762  df-eqg 18764  df-ghm 18842  df-ga 18906  df-od 19146  df-pgp 19148  df-slw 19149

This theorem is referenced by:  sylow3lem3  19244  sylow3lem5  19246