Theorem subgdisj1 19724

Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgdisj.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
subgdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
subgdisj.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
subgdisj.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
subgdisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
subgdisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
subgdisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
subgdisj.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
subgdisj.j	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
subgdisj1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem subgdisj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgdisj.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgdisj.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
3		subgdisj.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
5	4	subgsubcl 19168	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
7		subgdisj.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
8		subgdisj.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
9	8, 3	sseldd 3996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈))
10		subgdisj.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
11		subgdisj.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		subgdisj.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
13	11, 12	cntzi 19360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
14	9, 10, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
15	7, 14	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
16		subgrcl 19162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
18		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	18	subgss 19158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
21	20, 2	sseldd 3996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22		subgdisj.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	18	subgss 19158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
25	24, 10	sseldd 3996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
26	18, 11	grpcl 18972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
27	17, 21, 25, 26	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
28	20, 3	sseldd 3996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))
29	18, 11, 4	grpsubsub4 19064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
30	17, 27, 25, 28, 29	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
31	7, 27	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺))
32	18, 11, 4	grpsubsub4 19064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
33	17, 31, 28, 25, 32	syl13anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
34	15, 30, 33	3eqtr4d 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵))
35	18, 11, 4	grppncan 19062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵) = 𝐴)
36	17, 21, 25, 35	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵) = 𝐴)
37	36	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = (𝐴(-g‘𝐺)𝐶))
38		subgdisj.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
39	11, 12	cntzi 19360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
40	9, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
41	40	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶))
42	24, 38	sseldd 3996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Base‘𝐺))
43	18, 11, 4	grppncan 19062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
44	17, 42, 28, 43	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
45	41, 44	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
46	45	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = (𝐷(-g‘𝐺)𝐵))
47	34, 37, 46	3eqtr3d 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = (𝐷(-g‘𝐺)𝐵))
48	4	subgsubcl 19168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐷(-g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
49	22, 38, 10, 48	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷(-g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
50	47, 49	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑈)
51	6, 50	elind 4210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))
52		subgdisj.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
53	51, 52	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ { 0 })
54		elsni 4648	. . 3 ⊢ ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ { 0 } → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 )
55	53, 54	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 )
56		subgdisj.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
57	18, 56, 4	grpsubeq0 19057	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
58	17, 21, 28, 57	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
59	55, 58	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  -_gcsg 18966  SubGrpcsubg 19151  Cntzccntz 19346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348

This theorem is referenced by:  subgdisj2  19725  subgdisjb  19726  lvecindp  21158