Theorem subgdisj1 19905

Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgdisj.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
subgdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
subgdisj.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
subgdisj.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
subgdisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
subgdisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
subgdisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
subgdisj.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
subgdisj.j	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
subgdisj1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem subgdisj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgdisj.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgdisj.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
3		subgdisj.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
5	4	subgsubcl 19348	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
7		subgdisj.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
8		subgdisj.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
9	8, 3	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈))
10		subgdisj.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
11		subgdisj.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		subgdisj.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
13	11, 12	cntzi 19543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
14	9, 10, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
15	7, 14	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
16		subgrcl 19341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
17	1, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
18		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	18	subgss 19337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
20	1, 19	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
21	20, 2	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22		subgdisj.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	18	subgss 19337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
25	24, 10	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
26	18, 11	grpcl 19152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
27	17, 21, 25, 26	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
28	20, 3	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))
29	18, 11, 4	grpsubsub4 19243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
30	17, 27, 25, 28, 29	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
31	7, 27	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺))
32	18, 11, 4	grpsubsub4 19243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
33	17, 31, 28, 25, 32	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
34	15, 30, 33	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵))
35	18, 11, 4	grppncan 19241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵) = 𝐴)
36	17, 21, 25, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵) = 𝐴)
37	36	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = (𝐴(-g‘𝐺)𝐶))
38		subgdisj.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
39	11, 12	cntzi 19543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
40	9, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
41	40	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶))
42	24, 38	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Base‘𝐺))
43	18, 11, 4	grppncan 19241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
44	17, 42, 28, 43	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
45	41, 44	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
46	45	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = (𝐷(-g‘𝐺)𝐵))
47	34, 37, 46	3eqtr3d 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = (𝐷(-g‘𝐺)𝐵))
48	4	subgsubcl 19348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐷(-g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
49	22, 38, 10, 48	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷(-g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
50	47, 49	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑈)
51	6, 50	elind 4146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))
52		subgdisj.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
53	51, 52	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ { 0 })
54		elsni 4601	. . 3 ⊢ ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ { 0 } → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 )
55	53, 54	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 )
56		subgdisj.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
57	18, 56, 4	grpsubeq0 19236	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
58	17, 21, 28, 57	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
59	55, 58	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146  SubGrpcsubg 19330  Cntzccntz 19529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531

This theorem is used by:  subgdisj2  19906  subgdisjb  19907  lvecindp  21416