MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgdisj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgdisj1 18455
Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgdisj.p + = (+g𝐺)
subgdisj.o 0 = (0g𝐺)
subgdisj.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
subgdisj.s (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
subgdisj.a (𝜑𝐴𝑇)
subgdisj.c (𝜑𝐶𝑇)
subgdisj.b (𝜑𝐵𝑈)
subgdisj.d (𝜑𝐷𝑈)
subgdisj.j (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
subgdisj1 (𝜑𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem subgdisj1
StepHypRef Expression
1 subgdisj.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 subgdisj.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑇)
3 subgdisj.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑇)
4 eqid 2825 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
54subgsubcl 17956 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑇𝐶𝑇) → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
61, 2, 3, 5syl3anc 1494 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
7 subgdisj.j . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
8 subgdisj.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
98, 3sseldd 3828 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝑍𝑈))
10 subgdisj.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑈)
11 subgdisj.p . . . . . . . . . . 11 + = (+g𝐺)
12 subgdisj.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
1311, 12cntzi 18112 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑍𝑈) ∧ 𝐵𝑈) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
149, 10, 13syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
157, 14oveq12d 6923 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)(𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
16 subgrcl 17950 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
171, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
18 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1918subgss 17946 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
2120, 2sseldd 3828 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22 subgdisj.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2318subgss 17946 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
2524, 10sseldd 3828 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
2618, 11grpcl 17784 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
2717, 21, 25, 26syl3anc 1494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
2820, 3sseldd 3828 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝐺))
2918, 11, 4grpsubsub4 17862 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵)(-g𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
3017, 27, 25, 28, 29syl13anc 1495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵)(-g𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
317, 27eqeltrrd 2907 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺))
3218, 11, 4grpsubsub4 17862 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶)(-g𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
3317, 31, 28, 25, 32syl13anc 1495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶)(-g𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
3415, 30, 333eqtr4d 2871 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵)(-g𝐺)𝐶) = (((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶)(-g𝐺)𝐵))
3518, 11, 4grppncan 17860 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵) = 𝐴)
3617, 21, 25, 35syl3anc 1494 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵) = 𝐴)
3736oveq1d 6920 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵)(-g𝐺)𝐶) = (𝐴(-g𝐺)𝐶))
38 subgdisj.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝑈)
3911, 12cntzi 18112 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑍𝑈) ∧ 𝐷𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
409, 38, 39syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
4140oveq1d 6920 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶) = ((𝐷 + 𝐶)(-g𝐺)𝐶))
4224, 38sseldd 3828 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (Base‘𝐺))
4318, 11, 4grppncan 17860 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐷 + 𝐶)(-g𝐺)𝐶) = 𝐷)
4417, 42, 28, 43syl3anc 1494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 + 𝐶)(-g𝐺)𝐶) = 𝐷)
4541, 44eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶) = 𝐷)
4645oveq1d 6920 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶)(-g𝐺)𝐵) = (𝐷(-g𝐺)𝐵))
4734, 37, 463eqtr3d 2869 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) = (𝐷(-g𝐺)𝐵))
484subgsubcl 17956 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷𝑈𝐵𝑈) → (𝐷(-g𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
4922, 38, 10, 48syl3anc 1494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷(-g𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
5047, 49eqeltrd 2906 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ 𝑈)
516, 50elind 4025 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ (𝑇𝑈))
52 subgdisj.i . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
5351, 52eleqtrd 2908 . . 3 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ { 0 })
54 elsni 4414 . . 3 ((𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ { 0 } → (𝐴(-g𝐺)𝐶) = 0 )
5553, 54syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) = 0 )
56 subgdisj.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
5718, 56, 4grpsubeq0 17855 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴(-g𝐺)𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
5817, 21, 28, 57syl3anc 1494 . 2 (𝜑 → ((𝐴(-g𝐺)𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
5955, 58mpbid 224 1 (𝜑𝐴 = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1656  wcel 2164  cin 3797  wss 3798  {csn 4397  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  0gc0g 16453  Grpcgrp 17776  -gcsg 17778  SubGrpcsubg 17939  Cntzccntz 18098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-cntz 18100
This theorem is referenced by:  subgdisj2  18456  subgdisjb  18457  lvecindp  19498
  Copyright terms: Public domain W3C validator