Theorem subgdisj1 19611

Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgdisj.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
subgdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
subgdisj.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
subgdisj.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
subgdisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
subgdisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
subgdisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
subgdisj.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
subgdisj.j	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
subgdisj1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem subgdisj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgdisj.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgdisj.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
3		subgdisj.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
4		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
5	4	subgsubcl 19064	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
7		subgdisj.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
8		subgdisj.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
9	8, 3	sseldd 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈))
10		subgdisj.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
11		subgdisj.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		subgdisj.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
13	11, 12	cntzi 19245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
14	9, 10, 13	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
15	7, 14	oveq12d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
16		subgrcl 19058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
18		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	18	subgss 19054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
21	20, 2	sseldd 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22		subgdisj.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	18	subgss 19054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
25	24, 10	sseldd 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
26	18, 11	grpcl 18871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
27	17, 21, 25, 26	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
28	20, 3	sseldd 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))
29	18, 11, 4	grpsubsub4 18961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
30	17, 27, 25, 28, 29	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
31	7, 27	eqeltrrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺))
32	18, 11, 4	grpsubsub4 18961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
33	17, 31, 28, 25, 32	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
34	15, 30, 33	3eqtr4d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵))
35	18, 11, 4	grppncan 18959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵) = 𝐴)
36	17, 21, 25, 35	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵) = 𝐴)
37	36	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = (𝐴(-g‘𝐺)𝐶))
38		subgdisj.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
39	11, 12	cntzi 19245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
40	9, 38, 39	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
41	40	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶))
42	24, 38	sseldd 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Base‘𝐺))
43	18, 11, 4	grppncan 18959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
44	17, 42, 28, 43	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
45	41, 44	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
46	45	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = (𝐷(-g‘𝐺)𝐵))
47	34, 37, 46	3eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = (𝐷(-g‘𝐺)𝐵))
48	4	subgsubcl 19064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐷(-g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
49	22, 38, 10, 48	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷(-g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
50	47, 49	eqeltrd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑈)
51	6, 50	elind 4189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))
52		subgdisj.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
53	51, 52	eleqtrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ { 0 })
54		elsni 4640	. . 3 ⊢ ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ { 0 } → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 )
55	53, 54	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 )
56		subgdisj.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
57	18, 56, 4	grpsubeq0 18954	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
58	17, 21, 28, 57	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
59	55, 58	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  0_gc0g 17394  Grpcgrp 18863  -_gcsg 18865  SubGrpcsubg 19047  Cntzccntz 19231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233

This theorem is referenced by:  subgdisj2  19612  subgdisjb  19613  lvecindp  20989