Theorem subgdisj1 18809

Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgdisj.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
subgdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
subgdisj.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
subgdisj.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
subgdisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
subgdisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
subgdisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
subgdisj.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
subgdisj.j	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
subgdisj1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem subgdisj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgdisj.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgdisj.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
3		subgdisj.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
4		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
5	4	subgsubcl 18282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
7		subgdisj.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
8		subgdisj.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
9	8, 3	sseldd 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈))
10		subgdisj.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
11		subgdisj.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		subgdisj.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
13	11, 12	cntzi 18451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
14	9, 10, 13	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
15	7, 14	oveq12d 7153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
16		subgrcl 18276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
18		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	18	subgss 18272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
21	20, 2	sseldd 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22		subgdisj.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	18	subgss 18272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
25	24, 10	sseldd 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
26	18, 11	grpcl 18103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
27	17, 21, 25, 26	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
28	20, 3	sseldd 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))
29	18, 11, 4	grpsubsub4 18184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
30	17, 27, 25, 28, 29	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
31	7, 27	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺))
32	18, 11, 4	grpsubsub4 18184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
33	17, 31, 28, 25, 32	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
34	15, 30, 33	3eqtr4d 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵))
35	18, 11, 4	grppncan 18182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵) = 𝐴)
36	17, 21, 25, 35	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵) = 𝐴)
37	36	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = (𝐴(-g‘𝐺)𝐶))
38		subgdisj.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
39	11, 12	cntzi 18451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
40	9, 38, 39	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
41	40	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶))
42	24, 38	sseldd 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Base‘𝐺))
43	18, 11, 4	grppncan 18182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
44	17, 42, 28, 43	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
45	41, 44	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
46	45	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = (𝐷(-g‘𝐺)𝐵))
47	34, 37, 46	3eqtr3d 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = (𝐷(-g‘𝐺)𝐵))
48	4	subgsubcl 18282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐷(-g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
49	22, 38, 10, 48	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷(-g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
50	47, 49	eqeltrd 2890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑈)
51	6, 50	elind 4121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))
52		subgdisj.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
53	51, 52	eleqtrd 2892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ { 0 })
54		elsni 4542	. . 3 ⊢ ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ { 0 } → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 )
55	53, 54	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 )
56		subgdisj.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
57	18, 56, 4	grpsubeq0 18177	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
58	17, 21, 28, 57	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
59	55, 58	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  0_gc0g 16705  Grpcgrp 18095  -_gcsg 18097  SubGrpcsubg 18265  Cntzccntz 18437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439

This theorem is referenced by:  subgdisj2  18810  subgdisjb  18811  lvecindp  19903