MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgdisj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgdisj1 19650
Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgdisj.p + = (+gโ€˜๐บ)
subgdisj.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
subgdisj.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
subgdisj.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
subgdisj.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
subgdisj.i (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
subgdisj.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
subgdisj.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‡)
subgdisj.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‡)
subgdisj.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘ˆ)
subgdisj.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘ˆ)
subgdisj.j (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
Assertion
Ref Expression
subgdisj1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ถ)

Proof of Theorem subgdisj1
StepHypRef Expression
1 subgdisj.t . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2 subgdisj.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‡)
3 subgdisj.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‡)
4 eqid 2725 . . . . . . 7 (-gโ€˜๐บ) = (-gโ€˜๐บ)
54subgsubcl 19096 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) โˆˆ ๐‘‡)
61, 2, 3, 5syl3anc 1368 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) โˆˆ ๐‘‡)
7 subgdisj.j . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
8 subgdisj.s . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
98, 3sseldd 3973 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
10 subgdisj.b . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘ˆ)
11 subgdisj.p . . . . . . . . . . 11 + = (+gโ€˜๐บ)
12 subgdisj.z . . . . . . . . . . 11 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
1311, 12cntzi 19284 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ) โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐ถ + ๐ต) = (๐ต + ๐ถ))
149, 10, 13syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ต) = (๐ต + ๐ถ))
157, 14oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)(๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)(๐ต + ๐ถ)))
16 subgrcl 19090 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
171, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
18 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
1918subgss 19086 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘‡ โІ (Baseโ€˜๐บ))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โІ (Baseโ€˜๐บ))
2120, 2sseldd 3973 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
22 subgdisj.u . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2318subgss 19086 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ˆ โІ (Baseโ€˜๐บ))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โІ (Baseโ€˜๐บ))
2524, 10sseldd 3973 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
2618, 11grpcl 18902 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
2717, 21, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
2820, 3sseldd 3973 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
2918, 11, 4grpsubsub4 18993 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ถ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = ((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)(๐ถ + ๐ต)))
3017, 27, 25, 28, 29syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = ((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)(๐ถ + ๐ต)))
317, 27eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ท) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
3218, 11, 4grpsubsub4 18993 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐ถ + ๐ท) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ถ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ต) = ((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)(๐ต + ๐ถ)))
3317, 31, 28, 25, 32syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ต) = ((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)(๐ต + ๐ถ)))
3415, 30, 333eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = (((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ต))
3518, 11, 4grppncan 18991 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ต) = ๐ด)
3617, 21, 25, 35syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ต) = ๐ด)
3736oveq1d 7431 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ))
38 subgdisj.d . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘ˆ)
3911, 12cntzi 19284 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ) โˆง ๐ท โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐ถ + ๐ท) = (๐ท + ๐ถ))
409, 38, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ท) = (๐ท + ๐ถ))
4140oveq1d 7431 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = ((๐ท + ๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ถ))
4224, 38sseldd 3973 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
4318, 11, 4grppncan 18991 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ท โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ถ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐ท + ๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = ๐ท)
4417, 42, 28, 43syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท + ๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = ๐ท)
4541, 44eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = ๐ท)
4645oveq1d 7431 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ต) = (๐ท(-gโ€˜๐บ)๐ต))
4734, 37, 463eqtr3d 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = (๐ท(-gโ€˜๐บ)๐ต))
484subgsubcl 19096 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ท โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐ท(-gโ€˜๐บ)๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
4922, 38, 10, 48syl3anc 1368 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ท(-gโ€˜๐บ)๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
5047, 49eqeltrd 2825 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) โˆˆ ๐‘ˆ)
516, 50elind 4188 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ))
52 subgdisj.i . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
5351, 52eleqtrd 2827 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) โˆˆ { 0 })
54 elsni 4641 . . 3 ((๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) โˆˆ { 0 } โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = 0 )
5553, 54syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = 0 )
56 subgdisj.o . . . 4 0 = (0gโ€˜๐บ)
5718, 56, 4grpsubeq0 18986 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ถ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = 0 โ†” ๐ด = ๐ถ))
5817, 21, 28, 57syl3anc 1368 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = 0 โ†” ๐ด = ๐ถ))
5955, 58mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆฉ cin 3938   โІ wss 3939  {csn 4624  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  Grpcgrp 18894  -gcsg 18896  SubGrpcsubg 19079  Cntzccntz 19270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272
This theorem is referenced by:  subgdisj2  19651  subgdisjb  19652  lvecindp  21030
  Copyright terms: Public domain W3C validator