Theorem subgdisj1 19709

Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgdisj.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
subgdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
subgdisj.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
subgdisj.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
subgdisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
subgdisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
subgdisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
subgdisj.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
subgdisj.j	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
subgdisj1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem subgdisj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgdisj.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subgdisj.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
3		subgdisj.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
5	4	subgsubcl 19155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
7		subgdisj.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
8		subgdisj.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
9	8, 3	sseldd 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈))
10		subgdisj.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
11		subgdisj.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		subgdisj.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
13	11, 12	cntzi 19347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
14	9, 10, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
15	7, 14	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
16		subgrcl 19149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
18		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	18	subgss 19145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
21	20, 2	sseldd 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22		subgdisj.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	18	subgss 19145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
25	24, 10	sseldd 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
26	18, 11	grpcl 18959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
27	17, 21, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
28	20, 3	sseldd 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))
29	18, 11, 4	grpsubsub4 19051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
30	17, 27, 25, 28, 29	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
31	7, 27	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺))
32	18, 11, 4	grpsubsub4 19051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
33	17, 31, 28, 25, 32	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
34	15, 30, 33	3eqtr4d 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵))
35	18, 11, 4	grppncan 19049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵) = 𝐴)
36	17, 21, 25, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵) = 𝐴)
37	36	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝐺)𝐵)(-g‘𝐺)𝐶) = (𝐴(-g‘𝐺)𝐶))
38		subgdisj.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
39	11, 12	cntzi 19347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
40	9, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
41	40	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶) = ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶))
42	24, 38	sseldd 3984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Base‘𝐺))
43	18, 11, 4	grppncan 19049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
44	17, 42, 28, 43	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝐶)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
45	41, 44	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶) = 𝐷)
46	45	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g‘𝐺)𝐶)(-g‘𝐺)𝐵) = (𝐷(-g‘𝐺)𝐵))
47	34, 37, 46	3eqtr3d 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = (𝐷(-g‘𝐺)𝐵))
48	4	subgsubcl 19155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐷(-g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
49	22, 38, 10, 48	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷(-g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
50	47, 49	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑈)
51	6, 50	elind 4200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))
52		subgdisj.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
53	51, 52	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ { 0 })
54		elsni 4643	. . 3 ⊢ ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) ∈ { 0 } → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 )
55	53, 54	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 )
56		subgdisj.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
57	18, 56, 4	grpsubeq0 19044	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
58	17, 21, 28, 57	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐺)𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
59	55, 58	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  SubGrpcsubg 19138  Cntzccntz 19333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335

This theorem is referenced by:  subgdisj2  19710  subgdisjb  19711  lvecindp  21140