MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgdisj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgdisj1 19297
Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgdisj.p + = (+g𝐺)
subgdisj.o 0 = (0g𝐺)
subgdisj.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
subgdisj.s (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
subgdisj.a (𝜑𝐴𝑇)
subgdisj.c (𝜑𝐶𝑇)
subgdisj.b (𝜑𝐵𝑈)
subgdisj.d (𝜑𝐷𝑈)
subgdisj.j (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
subgdisj1 (𝜑𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem subgdisj1
StepHypRef Expression
1 subgdisj.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 subgdisj.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑇)
3 subgdisj.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑇)
4 eqid 2738 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
54subgsubcl 18766 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑇𝐶𝑇) → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
61, 2, 3, 5syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
7 subgdisj.j . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
8 subgdisj.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
98, 3sseldd 3922 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝑍𝑈))
10 subgdisj.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑈)
11 subgdisj.p . . . . . . . . . . 11 + = (+g𝐺)
12 subgdisj.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
1311, 12cntzi 18935 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑍𝑈) ∧ 𝐵𝑈) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
149, 10, 13syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
157, 14oveq12d 7293 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)(𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
16 subgrcl 18760 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
171, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
18 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1918subgss 18756 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
2120, 2sseldd 3922 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22 subgdisj.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2318subgss 18756 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
2524, 10sseldd 3922 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
2618, 11grpcl 18585 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
2717, 21, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
2820, 3sseldd 3922 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝐺))
2918, 11, 4grpsubsub4 18668 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵)(-g𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
3017, 27, 25, 28, 29syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵)(-g𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
317, 27eqeltrrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺))
3218, 11, 4grpsubsub4 18668 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶)(-g𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
3317, 31, 28, 25, 32syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶)(-g𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
3415, 30, 333eqtr4d 2788 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵)(-g𝐺)𝐶) = (((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶)(-g𝐺)𝐵))
3518, 11, 4grppncan 18666 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵) = 𝐴)
3617, 21, 25, 35syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵) = 𝐴)
3736oveq1d 7290 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵)(-g𝐺)𝐶) = (𝐴(-g𝐺)𝐶))
38 subgdisj.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝑈)
3911, 12cntzi 18935 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑍𝑈) ∧ 𝐷𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
409, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
4140oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶) = ((𝐷 + 𝐶)(-g𝐺)𝐶))
4224, 38sseldd 3922 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (Base‘𝐺))
4318, 11, 4grppncan 18666 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐷 + 𝐶)(-g𝐺)𝐶) = 𝐷)
4417, 42, 28, 43syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 + 𝐶)(-g𝐺)𝐶) = 𝐷)
4541, 44eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶) = 𝐷)
4645oveq1d 7290 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶)(-g𝐺)𝐵) = (𝐷(-g𝐺)𝐵))
4734, 37, 463eqtr3d 2786 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) = (𝐷(-g𝐺)𝐵))
484subgsubcl 18766 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷𝑈𝐵𝑈) → (𝐷(-g𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
4922, 38, 10, 48syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷(-g𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
5047, 49eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ 𝑈)
516, 50elind 4128 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ (𝑇𝑈))
52 subgdisj.i . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
5351, 52eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ { 0 })
54 elsni 4578 . . 3 ((𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ { 0 } → (𝐴(-g𝐺)𝐶) = 0 )
5553, 54syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) = 0 )
56 subgdisj.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
5718, 56, 4grpsubeq0 18661 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴(-g𝐺)𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
5817, 21, 28, 57syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((𝐴(-g𝐺)𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
5955, 58mpbid 231 1 (𝜑𝐴 = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2106  cin 3886  wss 3887  {csn 4561  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  0gc0g 17150  Grpcgrp 18577  -gcsg 18579  SubGrpcsubg 18749  Cntzccntz 18921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923
This theorem is referenced by:  subgdisj2  19298  subgdisjb  19299  lvecindp  20400
  Copyright terms: Public domain W3C validator