MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgdisj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgdisj1 19553
Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgdisj.p + = (+gโ€˜๐บ)
subgdisj.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
subgdisj.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
subgdisj.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
subgdisj.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
subgdisj.i (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
subgdisj.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
subgdisj.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‡)
subgdisj.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‡)
subgdisj.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘ˆ)
subgdisj.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘ˆ)
subgdisj.j (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
Assertion
Ref Expression
subgdisj1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ถ)

Proof of Theorem subgdisj1
StepHypRef Expression
1 subgdisj.t . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2 subgdisj.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‡)
3 subgdisj.c . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‡)
4 eqid 2732 . . . . . . 7 (-gโ€˜๐บ) = (-gโ€˜๐บ)
54subgsubcl 19011 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) โˆˆ ๐‘‡)
61, 2, 3, 5syl3anc 1371 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) โˆˆ ๐‘‡)
7 subgdisj.j . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
8 subgdisj.s . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
98, 3sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
10 subgdisj.b . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘ˆ)
11 subgdisj.p . . . . . . . . . . 11 + = (+gโ€˜๐บ)
12 subgdisj.z . . . . . . . . . . 11 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
1311, 12cntzi 19187 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ) โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐ถ + ๐ต) = (๐ต + ๐ถ))
149, 10, 13syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ต) = (๐ต + ๐ถ))
157, 14oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)(๐ถ + ๐ต)) = ((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)(๐ต + ๐ถ)))
16 subgrcl 19005 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
171, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
18 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
1918subgss 19001 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘‡ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
2120, 2sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
22 subgdisj.u . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2318subgss 19001 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
2524, 10sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
2618, 11grpcl 18823 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
2717, 21, 25, 26syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
2820, 3sseldd 3982 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
2918, 11, 4grpsubsub4 18912 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐ด + ๐ต) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ถ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = ((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)(๐ถ + ๐ต)))
3017, 27, 25, 28, 29syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = ((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)(๐ถ + ๐ต)))
317, 27eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ท) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
3218, 11, 4grpsubsub4 18912 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐ถ + ๐ท) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ถ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ต) = ((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)(๐ต + ๐ถ)))
3317, 31, 28, 25, 32syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ต) = ((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)(๐ต + ๐ถ)))
3415, 30, 333eqtr4d 2782 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = (((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ต))
3518, 11, 4grppncan 18910 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ต) = ๐ด)
3617, 21, 25, 35syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ต) = ๐ด)
3736oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ต)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ))
38 subgdisj.d . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ ๐‘ˆ)
3911, 12cntzi 19187 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ) โˆง ๐ท โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐ถ + ๐ท) = (๐ท + ๐ถ))
409, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ท) = (๐ท + ๐ถ))
4140oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = ((๐ท + ๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ถ))
4224, 38sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
4318, 11, 4grppncan 18910 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ท โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ถ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐ท + ๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = ๐ท)
4417, 42, 28, 43syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท + ๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = ๐ท)
4541, 44eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = ๐ท)
4645oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ + ๐ท)(-gโ€˜๐บ)๐ถ)(-gโ€˜๐บ)๐ต) = (๐ท(-gโ€˜๐บ)๐ต))
4734, 37, 463eqtr3d 2780 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = (๐ท(-gโ€˜๐บ)๐ต))
484subgsubcl 19011 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ท โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐ท(-gโ€˜๐บ)๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
4922, 38, 10, 48syl3anc 1371 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ท(-gโ€˜๐บ)๐ต) โˆˆ ๐‘ˆ)
5047, 49eqeltrd 2833 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) โˆˆ ๐‘ˆ)
516, 50elind 4193 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ))
52 subgdisj.i . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
5351, 52eleqtrd 2835 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) โˆˆ { 0 })
54 elsni 4644 . . 3 ((๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) โˆˆ { 0 } โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = 0 )
5553, 54syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = 0 )
56 subgdisj.o . . . 4 0 = (0gโ€˜๐บ)
5718, 56, 4grpsubeq0 18905 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐ถ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = 0 โ†” ๐ด = ๐ถ))
5817, 21, 28, 57syl3anc 1371 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด(-gโ€˜๐บ)๐ถ) = 0 โ†” ๐ด = ๐ถ))
5955, 58mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โˆฉ cin 3946   โŠ† wss 3947  {csn 4627  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  SubGrpcsubg 18994  Cntzccntz 19173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175
This theorem is referenced by:  subgdisj2  19554  subgdisjb  19555  lvecindp  20743
  Copyright terms: Public domain W3C validator