Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gtnelioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtnelioc 44194
Description: A real number larger than the upper bound of a left-open right-closed interval is not an element of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gtnelioc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
gtnelioc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
gtnelioc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
gtnelioc.bltc (𝜑𝐵 < 𝐶)
Assertion
Ref Expression
gtnelioc (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem gtnelioc
StepHypRef Expression
1 gtnelioc.bltc . . . 4 (𝜑𝐵 < 𝐶)
2 gtnelioc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32rexrd 11263 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
4 gtnelioc.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
5 xrltnle 11280 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐵))
63, 4, 5syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐵))
71, 6mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐵)
87intn3an3d 1481 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
9 gtnelioc.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
10 elioc2 13386 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
119, 2, 10syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
128, 11mtbird 324 1 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1087  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  cr 11108  *cxr 11246   < clt 11247  cle 11248  (,]cioc 13324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ioc 13328
This theorem is referenced by:  fourierswlem  44936  fouriersw  44937  etransclem18  44958  etransclem46  44986
  Copyright terms: Public domain W3C validator