Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gtnelioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtnelioc 44776
Description: A real number larger than the upper bound of a left-open right-closed interval is not an element of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gtnelioc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
gtnelioc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
gtnelioc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
gtnelioc.bltc (𝜑𝐵 < 𝐶)
Assertion
Ref Expression
gtnelioc (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem gtnelioc
StepHypRef Expression
1 gtnelioc.bltc . . . 4 (𝜑𝐵 < 𝐶)
2 gtnelioc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32rexrd 11268 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
4 gtnelioc.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
5 xrltnle 11285 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐵))
63, 4, 5syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐵))
71, 6mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐵)
87intn3an3d 1477 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
9 gtnelioc.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
10 elioc2 13393 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
119, 2, 10syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
128, 11mtbird 325 1 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  cr 11111  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  (,]cioc 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioc 13335
This theorem is referenced by:  fourierswlem  45518  fouriersw  45519  etransclem18  45540  etransclem46  45568
  Copyright terms: Public domain W3C validator