Theorem cncls2i 23248

Description: Property of the preimage of a closure. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncls2i.1	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cncls2i	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((cls‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)))

Proof of Theorem cncls2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop2 23219	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
2		cncls2i.1	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	2	clscld 23025	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((cls‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
4	1, 3	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((cls‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
5		cnclima 23246	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Clsd‘𝐽))
6	4, 5	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Clsd‘𝐽))
7	2	sscls 23034	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐾)‘𝑆))
8	1, 7	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐾)‘𝑆))
9		imass2 6062	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐾)‘𝑆) → (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)))
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	clsss2 23050	. 2 ⊢ (((◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆))) → ((cls‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)))
13	6, 10, 12	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((cls‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Topctop 22871  Clsdccld 22994  clsccl 22996   Cn ccn 23202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8769  df-top 22872  df-topon 22889  df-cld 22997  df-cls 22999  df-cn 23205

This theorem is referenced by:  cnclsi  23250  cncls2  23251  imasncls  23670  hmeocls  23746  clssubg  24087