Theorem cncls2i 23294

Description: Property of the preimage of a closure. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncls2i.1	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cncls2i	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((cls‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)))

Proof of Theorem cncls2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop2 23265	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
2		cncls2i.1	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3	2	clscld 23071	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((cls‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
4	1, 3	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((cls‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾))
5		cnclima 23292	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑆) ∈ (Clsd‘𝐾)) → (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Clsd‘𝐽))
6	4, 5	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Clsd‘𝐽))
7	2	sscls 23080	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐾)‘𝑆))
8	1, 7	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → 𝑆 ⊆ ((cls‘𝐾)‘𝑆))
9		imass2 6123	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ((cls‘𝐾)‘𝑆) → (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)))
11		eqid 2735	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
12	11	clsss2 23096	. 2 ⊢ (((◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆))) → ((cls‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)))
13	6, 10, 12	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((cls‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ ((cls‘𝐾)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Topctop 22915  Clsdccld 23040  clsccl 23042   Cn ccn 23248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-top 22916  df-topon 22933  df-cld 23043  df-cls 23045  df-cn 23251

This theorem is referenced by:  cnclsi  23296  cncls2  23297  imasncls  23716  hmeocls  23792  clssubg  24133