HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hodval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hodval 31500
Description: Value of the difference of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 10-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hodval ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)))

Proof of Theorem hodval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hodmval 31495 . . . 4 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))))
21fveq1d 6886 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))‘𝐴))
3 fveq2 6884 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
4 fveq2 6884 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝐴))
53, 4oveq12d 7422 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)))
6 eqid 2726 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
7 ovex 7437 . . . 4 ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6991 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))‘𝐴) = ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)))
92, 8sylan9eq 2786 . 2 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)))
1093impa 1107 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5224  wf 6532  cfv 6536  (class class class)co 7404  chba 30677   cmv 30683  op chod 30698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-hilex 30757
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-hodif 31490
This theorem is referenced by:  hodcl  31505  hodsi  31533  hocsubdiri  31538  honegsubi  31554  hoddii  31747  lnopeqi  31766  leop2  31882  pjddii  31914  pjssposi  31930  pjssdif2i  31932
  Copyright terms: Public domain W3C validator