Theorem hodval 31704

Description: Value of the difference of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 10-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hodval	⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐴)))

Proof of Theorem hodval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hodmval 31699	. . . 4 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 −op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6828	. . 3 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐴))
3		fveq2 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
4		fveq2 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐴)))
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
7		ovex 7386	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐴)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6934	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐴)))
9	2, 8	sylan9eq 2784	. 2 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐴)))
10	9	3impa 1109	1 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) −ℎ (𝑇‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ℋchba 30881   −_ℎ cmv 30887   −_op chod 30902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-hilex 30961

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-map 8762  df-hodif 31694

This theorem is referenced by:  hodcl  31709  hodsi  31737  hocsubdiri  31742  honegsubi  31758  hoddii  31951  lnopeqi  31970  leop2  32086  pjddii  32118  pjssposi  32134  pjssdif2i  32136