Theorem pjssposi 29582

Description: Projector ordering can be expressed by the subset relationship between their projection subspaces. (i)<->(iii) of Theorem 29.2 of [Halmos] p. 48. (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjssposi	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐺

Proof of Theorem pjssposi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjhcli 28828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ)
3		normcl 28533	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ∈ ℝ)
5	4	resqcld 13338	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
6		pjco.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
7	6	pjhcli 28828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
8		normcl 28533	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
10	9	resqcld 13338	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
11	5, 10	subge0d 10949	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2) ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2)))
12	1	pjfi 29114	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
13	6	pjfi 29114	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
14		hodval 29152	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
15	12, 13, 14	mp3an12 1579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
16	15	oveq1d 6925	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥))
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
18		his2sub 28500	. . . . . . 7 ⊢ ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
19	2, 7, 17, 18	syl3anc 1494	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
20	1	pjinormi 29097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2))
21	6	pjinormi 29097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2))
22	20, 21	oveq12d 6928	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2)))
23	16, 19, 22	3eqtrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2)))
24	23	breq2d 4887	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2))))
25		normge0 28534	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
26	7, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
27		normge0 28534	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
28	2, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
29	9, 4, 26, 28	le2sqd 13347	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2) ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2)))
30	11, 24, 29	3bitr4d 303	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))))
31	30	ralbiia 3188	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
32	6, 1	pjnormssi 29578	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
33	31, 32	bitr4i 270	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)

Syntax hints:   ↔ wb 198   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4875  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  0cc0 10259   ≤ cle 10399   − cmin 10592  2c2 11413  ↑cexp 13161   ℋchba 28327   ·_ih csp 28330  norm_ℎcno 28331   −_ℎ cmv 28333   C_ℋ cch 28337  proj_ℎcpjh 28345   −_op chod 28348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cc 9579  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvmulass 28415  ax-hvdistr1 28416  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his2 28491  ax-his3 28492  ax-his4 28493  ax-hcompl 28610

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-omul 7836  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-acn 9088  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-lm 21411  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cfil 23430  df-cau 23431  df-cmet 23432  df-grpo 27899  df-gid 27900  df-ginv 27901  df-gdiv 27902  df-ablo 27951  df-vc 27965  df-nv 27998  df-va 28001  df-ba 28002  df-sm 28003  df-0v 28004  df-vs 28005  df-nmcv 28006  df-ims 28007  df-dip 28107  df-ssp 28128  df-ph 28219  df-cbn 28270  df-hnorm 28376  df-hba 28377  df-hvsub 28379  df-hlim 28380  df-hcau 28381  df-sh 28615  df-ch 28629  df-oc 28660  df-ch0 28661  df-shs 28718  df-pjh 28805  df-hodif 29142

This theorem is referenced by:  pjordi  29583  pjssdif2i  29584  pjssdif1i  29585