Theorem pjssposi 31934

Description: Projector ordering can be expressed by the subset relationship between their projection subspaces. (i)<->(iii) of Theorem 29.2 of [Halmos] p. 48. (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjssposi	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐺

Proof of Theorem pjssposi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjhcli 31180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ)
3		normcl 30887	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ∈ ℝ)
5	4	resqcld 14095	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
6		pjco.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
7	6	pjhcli 31180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
8		normcl 30887	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
10	9	resqcld 14095	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
11	5, 10	subge0d 11808	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2) ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2)))
12	1	pjfi 31466	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
13	6	pjfi 31466	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
14		hodval 31504	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
15	12, 13, 14	mp3an12 1447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
16	15	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥))
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
18		his2sub 30854	. . . . . . 7 ⊢ ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
19	2, 7, 17, 18	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
20	1	pjinormi 31449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2))
21	6	pjinormi 31449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2))
22	20, 21	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2)))
23	16, 19, 22	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2)))
24	23	breq2d 5153	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2))))
25		normge0 30888	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
26	7, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
27		normge0 30888	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
28	2, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
29	9, 4, 26, 28	le2sqd 14225	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2) ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2)))
30	11, 24, 29	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))))
31	30	ralbiia 3085	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
32	6, 1	pjnormssi 31930	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
33	31, 32	bitr4i 278	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112   ≤ cle 11253   − cmin 11448  2c2 12271  ↑cexp 14032   ℋchba 30681   ·_ih csp 30684  norm_ℎcno 30685   −_ℎ cmv 30687   C_ℋ cch 30691  proj_ℎcpjh 30699   −_op chod 30702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-pjh 31157  df-hodif 31494

This theorem is referenced by:  pjordi  31935  pjssdif2i  31936  pjssdif1i  31937