Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjssposi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjssposi 29941
 Description: Projector ordering can be expressed by the subset relationship between their projection subspaces. (i)<->(iii) of Theorem 29.2 of [Halmos] p. 48. (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjssposi (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺𝐻)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐺

Proof of Theorem pjssposi
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . . 8 𝐻C
21pjhcli 29187 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ)
3 normcl 28894 . . . . . . 7 (((proj𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ∈ ℝ)
54resqcld 13603 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
6 pjco.1 . . . . . . . 8 𝐺C
76pjhcli 29187 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
8 normcl 28894 . . . . . . 7 (((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
109resqcld 13603 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
115, 10subge0d 11222 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ (((norm‘((proj𝐻)‘𝑥))↑2) − ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥))↑2)) ↔ ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥))↑2) ≤ ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥))↑2)))
121pjfi 29473 . . . . . . . 8 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
136pjfi 29473 . . . . . . . 8 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
14 hodval 29511 . . . . . . . 8 (((proj𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)))
1512, 13, 14mp3an12 1444 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)))
1615oveq1d 7163 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥))
17 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
18 his2sub 28861 . . . . . . 7 ((((proj𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((((proj𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
192, 7, 17, 18syl3anc 1365 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((((proj𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
201pjinormi 29456 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥))↑2))
216pjinormi 29456 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥))↑2))
2220, 21oveq12d 7166 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((proj𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝑥))↑2) − ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥))↑2)))
2316, 19, 223eqtrd 2858 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝑥))↑2) − ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥))↑2)))
2423breq2d 5069 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((norm‘((proj𝐻)‘𝑥))↑2) − ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥))↑2))))
25 normge0 28895 . . . . . 6 (((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)))
267, 25syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)))
27 normge0 28895 . . . . . 6 (((proj𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
282, 27syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
299, 4, 26, 28le2sqd 13612 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ↔ ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥))↑2) ≤ ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥))↑2)))
3011, 24, 293bitr4d 313 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
3130ralbiia 3162 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
326, 1pjnormssi 29937 . 2 (𝐺𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
3331, 32bitr4i 280 1 (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136   ⊆ wss 3934   class class class wbr 5057  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  0cc0 10529   ≤ cle 10668   − cmin 10862  2c2 11684  ↑cexp 13421   ℋchba 28688   ·ih csp 28691  normℎcno 28692   −ℎ cmv 28694   Cℋ cch 28698  projℎcpjh 28706   −op chod 28709 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28768  ax-hfvadd 28769  ax-hvcom 28770  ax-hvass 28771  ax-hv0cl 28772  ax-hvaddid 28773  ax-hfvmul 28774  ax-hvmulid 28775  ax-hvmulass 28776  ax-hvdistr1 28777  ax-hvdistr2 28778  ax-hvmul0 28779  ax-hfi 28848  ax-his1 28851  ax-his2 28852  ax-his3 28853  ax-his4 28854  ax-hcompl 28971 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-lm 21829  df-haus 21915  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cfil 23850  df-cau 23851  df-cmet 23852  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-gdiv 28265  df-ablo 28314  df-vc 28328  df-nv 28361  df-va 28364  df-ba 28365  df-sm 28366  df-0v 28367  df-vs 28368  df-nmcv 28369  df-ims 28370  df-dip 28470  df-ssp 28491  df-ph 28582  df-cbn 28632  df-hnorm 28737  df-hba 28738  df-hvsub 28740  df-hlim 28741  df-hcau 28742  df-sh 28976  df-ch 28990  df-oc 29021  df-ch0 29022  df-shs 29077  df-pjh 29164  df-hodif 29501 This theorem is referenced by:  pjordi  29942  pjssdif2i  29943  pjssdif1i  29944
 Copyright terms: Public domain W3C validator