Theorem pjssposi 31998

Description: Projector ordering can be expressed by the subset relationship between their projection subspaces. (i)<->(iii) of Theorem 29.2 of [Halmos] p. 48. (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjssposi	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐺

Proof of Theorem pjssposi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjhcli 31244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ)
3		normcl 30951	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ∈ ℝ)
5	4	resqcld 14119	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
6		pjco.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
7	6	pjhcli 31244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
8		normcl 30951	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
10	9	resqcld 14119	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
11	5, 10	subge0d 11832	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2) ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2)))
12	1	pjfi 31530	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
13	6	pjfi 31530	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
14		hodval 31568	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
15	12, 13, 14	mp3an12 1447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
16	15	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥))
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
18		his2sub 30918	. . . . . . 7 ⊢ ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
19	2, 7, 17, 18	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
20	1	pjinormi 31513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2))
21	6	pjinormi 31513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2))
22	20, 21	oveq12d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2)))
23	16, 19, 22	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2)))
24	23	breq2d 5153	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2))))
25		normge0 30952	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
26	7, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
27		normge0 30952	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
28	2, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
29	9, 4, 26, 28	le2sqd 14249	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2) ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2)))
30	11, 24, 29	3bitr4d 310	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))))
31	30	ralbiia 3081	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
32	6, 1	pjnormssi 31994	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
33	31, 32	bitr4i 277	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5141  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  ℝcr 11135  0cc0 11136   ≤ cle 11277   − cmin 11472  2c2 12295  ↑cexp 14056   ℋchba 30745   ·_ih csp 30748  norm_ℎcno 30749   −_ℎ cmv 30751   C_ℋ cch 30755  proj_ℎcpjh 30763   −_op chod 30766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216  ax-hilex 30825  ax-hfvadd 30826  ax-hvcom 30827  ax-hvass 30828  ax-hv0cl 30829  ax-hvaddid 30830  ax-hfvmul 30831  ax-hvmulid 30832  ax-hvmulass 30833  ax-hvdistr1 30834  ax-hvdistr2 30835  ax-hvmul0 30836  ax-hfi 30905  ax-his1 30908  ax-his2 30909  ax-his3 30910  ax-his4 30911  ax-hcompl 31028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-lm 23149  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cfil 25199  df-cau 25200  df-cmet 25201  df-grpo 30319  df-gid 30320  df-ginv 30321  df-gdiv 30322  df-ablo 30371  df-vc 30385  df-nv 30418  df-va 30421  df-ba 30422  df-sm 30423  df-0v 30424  df-vs 30425  df-nmcv 30426  df-ims 30427  df-dip 30527  df-ssp 30548  df-ph 30639  df-cbn 30689  df-hnorm 30794  df-hba 30795  df-hvsub 30797  df-hlim 30798  df-hcau 30799  df-sh 31033  df-ch 31047  df-oc 31078  df-ch0 31079  df-shs 31134  df-pjh 31221  df-hodif 31558

This theorem is referenced by:  pjordi  31999  pjssdif2i  32000  pjssdif1i  32001