Theorem pjssposi 31412

Description: Projector ordering can be expressed by the subset relationship between their projection subspaces. (i)<->(iii) of Theorem 29.2 of [Halmos] p. 48. (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjssposi	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐺

Proof of Theorem pjssposi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjhcli 30658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ)
3		normcl 30365	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ∈ ℝ)
5	4	resqcld 14086	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
6		pjco.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
7	6	pjhcli 30658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
8		normcl 30365	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
10	9	resqcld 14086	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2) ∈ ℝ)
11	5, 10	subge0d 11800	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2) ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2)))
12	1	pjfi 30944	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
13	6	pjfi 30944	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
14		hodval 30982	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
15	12, 13, 14	mp3an12 1451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
16	15	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥))
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
18		his2sub 30332	. . . . . . 7 ⊢ ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
19	2, 7, 17, 18	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) = ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)))
20	1	pjinormi 30927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2))
21	6	pjinormi 30927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2))
22	20, 21	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ·ih 𝑥) − (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ·ih 𝑥)) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2)))
23	16, 19, 22	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2)))
24	23	breq2d 5159	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 0 ≤ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2) − ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2))))
25		normge0 30366	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
26	7, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
27		normge0 30366	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
28	2, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
29	9, 4, 26, 28	le2sqd 14216	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))↑2) ≤ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))↑2)))
30	11, 24, 29	3bitr4d 310	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))))
31	30	ralbiia 3091	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
32	6, 1	pjnormssi 31408	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
33	31, 32	bitr4i 277	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106   ≤ cle 11245   − cmin 11440  2c2 12263  ↑cexp 14023   ℋchba 30159   ·_ih csp 30162  norm_ℎcno 30163   −_ℎ cmv 30165   C_ℋ cch 30169  proj_ℎcpjh 30177   −_op chod 30180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325  ax-hcompl 30442

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-lm 22724  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-dip 29941  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103  df-hnorm 30208  df-hba 30209  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-hcau 30213  df-sh 30447  df-ch 30461  df-oc 30492  df-ch0 30493  df-shs 30548  df-pjh 30635  df-hodif 30972

This theorem is referenced by:  pjordi  31413  pjssdif2i  31414  pjssdif1i  31415