HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeqi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopeqi 29191
Description: Two linear Hilbert space operators are equal iff their quadratic forms are equal. (Contributed by NM, 27-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopeq.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq.2 𝑈 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeqi (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈

Proof of Theorem lnopeqi
StepHypRef Expression
1 lnopeq.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
21lnopfi 29152 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
32ffvelrni 6576 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
4 hicl 28261 . . . . . 6 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
53, 4mpancom 671 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
6 lnopeq.2 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ LinOp
76lnopfi 29152 . . . . . . 7 𝑈: ℋ⟶ ℋ
87ffvelrni 6576 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
9 hicl 28261 . . . . . 6 (((𝑈𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
108, 9mpancom 671 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
115, 10subeq0ad 10683 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) = 0 ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
12 hodval 28925 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − (𝑈𝑥)))
132, 7, 12mp3an12 1568 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − (𝑈𝑥)))
1413oveq1d 6885 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇𝑥) − (𝑈𝑥)) ·ih 𝑥))
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
16 his2sub 28273 . . . . . . 7 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − (𝑈𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
173, 8, 15, 16syl3anc 1483 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇𝑥) − (𝑈𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
1814, 17eqtr2d 2841 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) = (((𝑇op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥))
1918eqeq1d 2808 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) = 0 ↔ (((𝑇op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0))
2011, 19bitr3d 272 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ↔ (((𝑇op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0))
2120ralbiia 3167 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑇op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
221, 6lnophdi 29185 . . 3 (𝑇op 𝑈) ∈ LinOp
2322lnopeq0i 29190 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑇op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝑇op 𝑈) = 0hop )
242, 7hosubeq0i 29009 . 2 ((𝑇op 𝑈) = 0hop𝑇 = 𝑈)
2521, 23, 243bitri 288 1 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096  wf 6093  cfv 6097  (class class class)co 6870  cc 10215  0cc0 10217  cmin 10547  chil 28100   ·ih csp 28103   cmv 28106  op chod 28121   0hop ch0o 28124  LinOpclo 28128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cc 9538  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295  ax-addf 10296  ax-mulf 10297  ax-hilex 28180  ax-hfvadd 28181  ax-hvcom 28182  ax-hvass 28183  ax-hv0cl 28184  ax-hvaddid 28185  ax-hfvmul 28186  ax-hvmulid 28187  ax-hvmulass 28188  ax-hvdistr1 28189  ax-hvdistr2 28190  ax-hvmul0 28191  ax-hfi 28260  ax-his1 28263  ax-his2 28264  ax-his3 28265  ax-his4 28266  ax-hcompl 28383
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-of 7123  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-supp 7526  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-omul 7797  df-er 7975  df-map 8090  df-pm 8091  df-ixp 8142  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-fsupp 8511  df-fi 8552  df-sup 8583  df-inf 8584  df-oi 8650  df-card 9044  df-acn 9047  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-top 20908  df-topon 20925  df-topsp 20947  df-bases 20960  df-cld 21033  df-ntr 21034  df-cls 21035  df-nei 21112  df-cn 21241  df-cnp 21242  df-lm 21243  df-haus 21329  df-tx 21575  df-hmeo 21768  df-fil 21859  df-fm 21951  df-flim 21952  df-flf 21953  df-xms 22334  df-ms 22335  df-tms 22336  df-cfil 23261  df-cau 23262  df-cmet 23263  df-grpo 27672  df-gid 27673  df-ginv 27674  df-gdiv 27675  df-ablo 27724  df-vc 27738  df-nv 27771  df-va 27774  df-ba 27775  df-sm 27776  df-0v 27777  df-vs 27778  df-nmcv 27779  df-ims 27780  df-dip 27880  df-ssp 27901  df-ph 27992  df-cbn 28043  df-hnorm 28149  df-hba 28150  df-hvsub 28152  df-hlim 28153  df-hcau 28154  df-sh 28388  df-ch 28402  df-oc 28433  df-ch0 28434  df-shs 28491  df-pjh 28578  df-hosum 28913  df-homul 28914  df-hodif 28915  df-h0op 28931  df-lnop 29024
This theorem is referenced by:  lnopeq  29192
  Copyright terms: Public domain W3C validator