Theorem lnopeqi 32330

Description: Two linear Hilbert space operators are equal iff their quadratic forms are equal. (Contributed by NM, 27-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopeq.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq.2	⊢ 𝑈 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopeqi	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈

Proof of Theorem lnopeqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopeq.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopfi 32291	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3	2	ffvelcdmi 7082	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
4		hicl 31402	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
5	3, 4	mpancom 700	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
6		lnopeq.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ LinOp
7	6	lnopfi 32291	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈: ℋ⟶ ℋ
8	7	ffvelcdmi 7082	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
9		hicl 31402	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
10	8, 9	mpancom 700	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
11	5, 10	subeq0ad 11582	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) = 0 ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
12		hodval 32064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) −ℎ (𝑈‘𝑥)))
13	2, 7, 12	mp3an12 1478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) −ℎ (𝑈‘𝑥)))
14	13	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) −ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥))
15		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
16		his2sub 31414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) −ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
17	3, 8, 15, 16	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇‘𝑥) −ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
18	14, 17	eqtr2d 2806	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) = (((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥))
19	18	eqeq1d 2772	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) = 0 ↔ (((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0))
20	11, 19	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ (((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0))
21	20	ralbiia 3116	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
22	1, 6	lnophdi 32324	. . 3 ⊢ (𝑇 −op 𝑈) ∈ LinOp
23	22	lnopeq0i 32329	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝑇 −op 𝑈) = 0hop )
24	2, 7	hosubeq0i 32148	. 2 ⊢ ((𝑇 −op 𝑈) = 0hop ↔ 𝑇 = 𝑈)
25	21, 23, 24	3bitri 300	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∀wral 3086  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  ℂcc 11101  0cc0 11103   − cmin 11444   ℋchba 31241   ·_ih csp 31244   −_ℎ cmv 31247   −_op chod 31262   0_hop ch0o 31265  LinOpclo 31269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613  ax-cc 10422  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181  ax-addf 11182  ax-mulf 11183  ax-hilex 31321  ax-hfvadd 31322  ax-hvcom 31323  ax-hvass 31324  ax-hv0cl 31325  ax-hvaddid 31326  ax-hfvmul 31327  ax-hvmulid 31328  ax-hvmulass 31329  ax-hvdistr1 31330  ax-hvdistr2 31331  ax-hvmul0 31332  ax-hfi 31401  ax-his1 31404  ax-his2 31405  ax-his3 31406  ax-his4 31407  ax-hcompl 31524

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7678  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-omul 8461  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8899  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9928  df-acn 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13379  df-ico 13381  df-icc 13382  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-fl 13828  df-seq 14041  df-exp 14101  df-hash 14370  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-clim 15542  df-rlim 15543  df-sum 15741  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-hom 17337  df-cco 17338  df-rest 17478  df-topn 17479  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-topgen 17499  df-pt 17500  df-prds 17503  df-xrs 17559  df-qtop 17564  df-imas 17565  df-xps 17567  df-mre 17641  df-mrc 17642  df-acs 17644  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-mulg 19137  df-cntz 19390  df-cmn 19855  df-psmet 21497  df-xmet 21498  df-met 21499  df-bl 21500  df-mopn 21501  df-fbas 21502  df-fg 21503  df-cnfld 21506  df-top 23034  df-topon 23051  df-topsp 23073  df-bases 23086  df-cld 23159  df-ntr 23160  df-cls 23161  df-nei 23238  df-cn 23367  df-cnp 23368  df-lm 23369  df-haus 23455  df-tx 23702  df-hmeo 23895  df-fil 23986  df-fm 24078  df-flim 24079  df-flf 24080  df-xms 24460  df-ms 24461  df-tms 24462  df-cfil 25397  df-cau 25398  df-cmet 25399  df-grpo 30815  df-gid 30816  df-ginv 30817  df-gdiv 30818  df-ablo 30867  df-vc 30881  df-nv 30914  df-va 30917  df-ba 30918  df-sm 30919  df-0v 30920  df-vs 30921  df-nmcv 30922  df-ims 30923  df-dip 31023  df-ssp 31044  df-ph 31135  df-cbn 31185  df-hnorm 31290  df-hba 31291  df-hvsub 31293  df-hlim 31294  df-hcau 31295  df-sh 31529  df-ch 31543  df-oc 31574  df-ch0 31575  df-shs 31630  df-pjh 31717  df-hosum 32052  df-homul 32053  df-hodif 32054  df-h0op 32070  df-lnop 32163

This theorem is referenced by:  lnopeq  32331