Theorem lnopeqi 29783

Description: Two linear Hilbert space operators are equal iff their quadratic forms are equal. (Contributed by NM, 27-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopeq.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq.2	⊢ 𝑈 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopeqi	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈

Proof of Theorem lnopeqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopeq.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
2	1	lnopfi 29744	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3	2	ffvelrni 6843	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
4		hicl 28855	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
5	3, 4	mpancom 686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
6		lnopeq.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ∈ LinOp
7	6	lnopfi 29744	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈: ℋ⟶ ℋ
8	7	ffvelrni 6843	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
9		hicl 28855	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
10	8, 9	mpancom 686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
11	5, 10	subeq0ad 11000	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) = 0 ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
12		hodval 29517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) −ℎ (𝑈‘𝑥)))
13	2, 7, 12	mp3an12 1446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇‘𝑥) −ℎ (𝑈‘𝑥)))
14	13	oveq1d 7164	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) −ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥))
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
16		his2sub 28867	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇‘𝑥) −ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
17	3, 8, 15, 16	syl3anc 1366	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇‘𝑥) −ℎ (𝑈‘𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
18	14, 17	eqtr2d 2856	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) = (((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥))
19	18	eqeq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) = 0 ↔ (((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0))
20	11, 19	bitr3d 283	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ (((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0))
21	20	ralbiia 3163	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
22	1, 6	lnophdi 29777	. . 3 ⊢ (𝑇 −op 𝑈) ∈ LinOp
23	22	lnopeq0i 29782	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑇 −op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝑇 −op 𝑈) = 0hop )
24	2, 7	hosubeq0i 29601	. 2 ⊢ ((𝑇 −op 𝑈) = 0hop ↔ 𝑇 = 𝑈)
25	21, 23, 24	3bitri 299	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3137  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  ℂcc 10528  0cc0 10530   − cmin 10863   ℋchba 28694   ·_ih csp 28697   −_ℎ cmv 28700   −_op chod 28715   0_hop ch0o 28718  LinOpclo 28722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-inf2 9097  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610  ax-hilex 28774  ax-hfvadd 28775  ax-hvcom 28776  ax-hvass 28777  ax-hv0cl 28778  ax-hvaddid 28779  ax-hfvmul 28780  ax-hvmulid 28781  ax-hvmulass 28782  ax-hvdistr1 28783  ax-hvdistr2 28784  ax-hvmul0 28785  ax-hfi 28854  ax-his1 28857  ax-his2 28858  ax-his3 28859  ax-his4 28860  ax-hcompl 28977

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7402  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-supp 7824  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-2o 8096  df-oadd 8099  df-omul 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8455  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-fsupp 8827  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-acn 9364  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-seq 13367  df-exp 13427  df-hash 13688  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-fbas 20537  df-fg 20538  df-cnfld 20541  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-lm 21832  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cfil 23853  df-cau 23854  df-cmet 23855  df-grpo 28268  df-gid 28269  df-ginv 28270  df-gdiv 28271  df-ablo 28320  df-vc 28334  df-nv 28367  df-va 28370  df-ba 28371  df-sm 28372  df-0v 28373  df-vs 28374  df-nmcv 28375  df-ims 28376  df-dip 28476  df-ssp 28497  df-ph 28588  df-cbn 28638  df-hnorm 28743  df-hba 28744  df-hvsub 28746  df-hlim 28747  df-hcau 28748  df-sh 28982  df-ch 28996  df-oc 29027  df-ch0 29028  df-shs 29083  df-pjh 29170  df-hosum 29505  df-homul 29506  df-hodif 29507  df-h0op 29523  df-lnop 29616

This theorem is referenced by:  lnopeq  29784