HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeqi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopeqi 30897
Description: Two linear Hilbert space operators are equal iff their quadratic forms are equal. (Contributed by NM, 27-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopeq.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq.2 𝑈 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeqi (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈

Proof of Theorem lnopeqi
StepHypRef Expression
1 lnopeq.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
21lnopfi 30858 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
32ffvelcdmi 7033 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
4 hicl 29969 . . . . . 6 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
53, 4mpancom 686 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
6 lnopeq.2 . . . . . . . 8 𝑈 ∈ LinOp
76lnopfi 30858 . . . . . . 7 𝑈: ℋ⟶ ℋ
87ffvelcdmi 7033 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
9 hicl 29969 . . . . . 6 (((𝑈𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
108, 9mpancom 686 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℂ)
115, 10subeq0ad 11521 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) = 0 ↔ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
12 hodval 30631 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − (𝑈𝑥)))
132, 7, 12mp3an12 1451 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − (𝑈𝑥)))
1413oveq1d 7371 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((𝑇𝑥) − (𝑈𝑥)) ·ih 𝑥))
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
16 his2sub 29981 . . . . . . 7 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − (𝑈𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
173, 8, 15, 16syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇𝑥) − (𝑈𝑥)) ·ih 𝑥) = (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
1814, 17eqtr2d 2777 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) = (((𝑇op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥))
1918eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) − ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) = 0 ↔ (((𝑇op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0))
2011, 19bitr3d 280 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ↔ (((𝑇op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0))
2120ralbiia 3094 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑇op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
221, 6lnophdi 30891 . . 3 (𝑇op 𝑈) ∈ LinOp
2322lnopeq0i 30896 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑇op 𝑈)‘𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝑇op 𝑈) = 0hop )
242, 7hosubeq0i 30715 . 2 ((𝑇op 𝑈) = 0hop𝑇 = 𝑈)
2521, 23, 243bitri 296 1 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7356  cc 11048  0cc0 11050  cmin 11384  chba 29808   ·ih csp 29811   cmv 29814  op chod 29829   0hop ch0o 29832  LinOpclo 29836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cc 10370  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128  ax-addf 11129  ax-mulf 11130  ax-hilex 29888  ax-hfvadd 29889  ax-hvcom 29890  ax-hvass 29891  ax-hv0cl 29892  ax-hvaddid 29893  ax-hfvmul 29894  ax-hvmulid 29895  ax-hvmulass 29896  ax-hvdistr1 29897  ax-hvdistr2 29898  ax-hvmul0 29899  ax-hfi 29968  ax-his1 29971  ax-his2 29972  ax-his3 29973  ax-his4 29974  ax-hcompl 30091
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-fi 9346  df-sup 9377  df-inf 9378  df-oi 9445  df-card 9874  df-acn 9877  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-fl 13696  df-seq 13906  df-exp 13967  df-hash 14230  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-clim 15369  df-rlim 15370  df-sum 15570  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-starv 17147  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-unif 17155  df-hom 17156  df-cco 17157  df-rest 17303  df-topn 17304  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-topgen 17324  df-pt 17325  df-prds 17328  df-xrs 17383  df-qtop 17388  df-imas 17389  df-xps 17391  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-submnd 18601  df-mulg 18871  df-cntz 19095  df-cmn 19562  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-met 20788  df-bl 20789  df-mopn 20790  df-fbas 20791  df-fg 20792  df-cnfld 20795  df-top 22241  df-topon 22258  df-topsp 22280  df-bases 22294  df-cld 22368  df-ntr 22369  df-cls 22370  df-nei 22447  df-cn 22576  df-cnp 22577  df-lm 22578  df-haus 22664  df-tx 22911  df-hmeo 23104  df-fil 23195  df-fm 23287  df-flim 23288  df-flf 23289  df-xms 23671  df-ms 23672  df-tms 23673  df-cfil 24617  df-cau 24618  df-cmet 24619  df-grpo 29382  df-gid 29383  df-ginv 29384  df-gdiv 29385  df-ablo 29434  df-vc 29448  df-nv 29481  df-va 29484  df-ba 29485  df-sm 29486  df-0v 29487  df-vs 29488  df-nmcv 29489  df-ims 29490  df-dip 29590  df-ssp 29611  df-ph 29702  df-cbn 29752  df-hnorm 29857  df-hba 29858  df-hvsub 29860  df-hlim 29861  df-hcau 29862  df-sh 30096  df-ch 30110  df-oc 30141  df-ch0 30142  df-shs 30197  df-pjh 30284  df-hosum 30619  df-homul 30620  df-hodif 30621  df-h0op 30637  df-lnop 30730
This theorem is referenced by:  lnopeq  30898
  Copyright terms: Public domain W3C validator