Theorem pjssdif2i 32154

Description: The projection subspace of the difference between two projectors. Part 2 of Theorem 29.3 of [Halmos] p. 48 (shortened with pjssposi 32152). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjssdif2i	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))

Proof of Theorem pjssdif2i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjfi 31684	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
3		pjco.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
4	3	pjfi 31684	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
5		hodval 31722	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
6	2, 4, 5	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
8	1, 3	pjssmi 32145	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ 𝐻 → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
9	8	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
10	7, 9	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
11	10	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
12	2, 4	hosubfni 31751	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) Fn ℋ
13	3	choccli 31287	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
14	1, 13	chincli 31440	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ∈ Cℋ
15	14	pjfni 31681	. . . 4 ⊢ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) Fn ℋ
16		eqfnfv 6985	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) Fn ℋ ∧ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) Fn ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
17	12, 15, 16	mp2an 692	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
18	11, 17	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
19	14	pjige0i 31670	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
21		fveq1 6839	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
22	21	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
24	20, 23	breqtrrd 5130	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥))
25	24	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥))
26	3, 1	pjssposi 32152	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)
27	25, 26	sylib 218	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → 𝐺 ⊆ 𝐻)
28	18, 27	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11046   ≤ cle 11187   ℋchba 30899   ·_ih csp 30902   −_ℎ cmv 30905   C_ℋ cch 30909  ⊥cort 30910  proj_ℎcpjh 30917   −_op chod 30920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cc 10366  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124  ax-addf 11125  ax-mulf 11126  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvmulass 30987  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his1 31062  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065  ax-hcompl 31182

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9870  df-acn 9873  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-xneg 13050  df-xadd 13051  df-xmul 13052  df-ioo 13288  df-ico 13290  df-icc 13291  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-fl 13732  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15630  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17362  df-topn 17363  df-0g 17381  df-gsum 17382  df-topgen 17383  df-pt 17384  df-prds 17387  df-xrs 17442  df-qtop 17447  df-imas 17448  df-xps 17450  df-mre 17524  df-mrc 17525  df-acs 17527  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19232  df-cmn 19697  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-lm 23150  df-haus 23236  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cfil 25189  df-cau 25190  df-cmet 25191  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-gdiv 30476  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-vs 30579  df-nmcv 30580  df-ims 30581  df-dip 30681  df-ssp 30702  df-ph 30793  df-cbn 30843  df-hnorm 30948  df-hba 30949  df-hvsub 30951  df-hlim 30952  df-hcau 30953  df-sh 31187  df-ch 31201  df-oc 31232  df-ch0 31233  df-shs 31288  df-pjh 31375  df-hodif 31712

This theorem is referenced by:  pjssdif1i  32155