Theorem pjssdif2i 31422

Description: The projection subspace of the difference between two projectors. Part 2 of Theorem 29.3 of [Halmos] p. 48 (shortened with pjssposi 31420). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjssdif2i	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))

Proof of Theorem pjssdif2i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjfi 30952	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
3		pjco.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
4	3	pjfi 30952	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
5		hodval 30990	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
6	2, 4, 5	mp3an12 1451	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
7	6	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
8	1, 3	pjssmi 31413	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ 𝐻 → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
9	8	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
10	7, 9	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
11	10	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
12	2, 4	hosubfni 31019	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) Fn ℋ
13	3	choccli 30555	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
14	1, 13	chincli 30708	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ∈ Cℋ
15	14	pjfni 30949	. . . 4 ⊢ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) Fn ℋ
16		eqfnfv 7032	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) Fn ℋ ∧ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) Fn ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
17	12, 15, 16	mp2an 690	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
18	11, 17	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
19	14	pjige0i 30938	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
20	19	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
21		fveq1 6890	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
22	21	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
24	20, 23	breqtrrd 5176	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥))
25	24	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥))
26	3, 1	pjssposi 31420	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)
27	25, 26	sylib 217	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → 𝐺 ⊆ 𝐻)
28	18, 27	impbii 208	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109   ≤ cle 11248   ℋchba 30167   ·_ih csp 30170   −_ℎ cmv 30173   C_ℋ cch 30177  ⊥cort 30178  proj_ℎcpjh 30185   −_op chod 30188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvdistr1 30256  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331  ax-his3 30332  ax-his4 30333  ax-hcompl 30450

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-lm 22732  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cfil 24771  df-cau 24772  df-cmet 24773  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849  df-dip 29949  df-ssp 29970  df-ph 30061  df-cbn 30111  df-hnorm 30216  df-hba 30217  df-hvsub 30219  df-hlim 30220  df-hcau 30221  df-sh 30455  df-ch 30469  df-oc 30500  df-ch0 30501  df-shs 30556  df-pjh 30643  df-hodif 30980

This theorem is referenced by:  pjssdif1i  31423