Theorem pjssdif2i 32028

Description: The projection subspace of the difference between two projectors. Part 2 of Theorem 29.3 of [Halmos] p. 48 (shortened with pjssposi 32026). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjssdif2i	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))

Proof of Theorem pjssdif2i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjfi 31558	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
3		pjco.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
4	3	pjfi 31558	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
5		hodval 31596	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
6	2, 4, 5	mp3an12 1447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
7	6	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
8	1, 3	pjssmi 32019	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ 𝐻 → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
9	8	impcom 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
10	7, 9	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
11	10	ralrimiva 3136	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
12	2, 4	hosubfni 31625	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) Fn ℋ
13	3	choccli 31161	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
14	1, 13	chincli 31314	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ∈ Cℋ
15	14	pjfni 31555	. . . 4 ⊢ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) Fn ℋ
16		eqfnfv 7035	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) Fn ℋ ∧ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) Fn ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
17	12, 15, 16	mp2an 690	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
18	11, 17	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
19	14	pjige0i 31544	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
20	19	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
21		fveq1 6891	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
22	21	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
23	22	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
24	20, 23	breqtrrd 5171	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥))
25	24	ralrimiva 3136	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥))
26	3, 1	pjssposi 32026	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)
27	25, 26	sylib 217	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → 𝐺 ⊆ 𝐻)
28	18, 27	impbii 208	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5143   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138   ≤ cle 11279   ℋchba 30773   ·_ih csp 30776   −_ℎ cmv 30779   C_ℋ cch 30783  ⊥cort 30784  proj_ℎcpjh 30791   −_op chod 30794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218  ax-hilex 30853  ax-hfvadd 30854  ax-hvcom 30855  ax-hvass 30856  ax-hv0cl 30857  ax-hvaddid 30858  ax-hfvmul 30859  ax-hvmulid 30860  ax-hvmulass 30861  ax-hvdistr1 30862  ax-hvdistr2 30863  ax-hvmul0 30864  ax-hfi 30933  ax-his1 30936  ax-his2 30937  ax-his3 30938  ax-his4 30939  ax-hcompl 31056

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-lm 23151  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cfil 25201  df-cau 25202  df-cmet 25203  df-grpo 30347  df-gid 30348  df-ginv 30349  df-gdiv 30350  df-ablo 30399  df-vc 30413  df-nv 30446  df-va 30449  df-ba 30450  df-sm 30451  df-0v 30452  df-vs 30453  df-nmcv 30454  df-ims 30455  df-dip 30555  df-ssp 30576  df-ph 30667  df-cbn 30717  df-hnorm 30822  df-hba 30823  df-hvsub 30825  df-hlim 30826  df-hcau 30827  df-sh 31061  df-ch 31075  df-oc 31106  df-ch0 31107  df-shs 31162  df-pjh 31249  df-hodif 31586

This theorem is referenced by:  pjssdif1i  32029