Theorem pjssdif2i 32265

Description: The projection subspace of the difference between two projectors. Part 2 of Theorem 29.3 of [Halmos] p. 48 (shortened with pjssposi 32263). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjssdif2i	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))

Proof of Theorem pjssdif2i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjfi 31795	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
3		pjco.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
4	3	pjfi 31795	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
5		hodval 31833	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
6	2, 4, 5	mp3an12 1460	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
7	6	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
8	1, 3	pjssmi 32256	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ 𝐻 → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
9	8	impcom 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
10	7, 9	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
11	10	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
12	2, 4	hosubfni 31862	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) Fn ℋ
13	3	choccli 31398	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
14	1, 13	chincli 31551	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ∈ Cℋ
15	14	pjfni 31792	. . . 4 ⊢ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) Fn ℋ
16		eqfnfv 6974	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) Fn ℋ ∧ (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) Fn ℋ) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
17	12, 15, 16	mp2an 699	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
18	11, 17	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
19	14	pjige0i 31781	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
20	19	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
21		fveq1 6829	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
22	21	oveq1d 7374	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
23	22	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
24	20, 23	breqtrrd 5102	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥))
25	24	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥))
26	3, 1	pjssposi 32263	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺 ⊆ 𝐻)
27	25, 26	sylib 220	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → 𝐺 ⊆ 𝐻)
28	18, 27	impbii 211	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) −op (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5074   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  0cc0 11034   ≤ cle 11176   ℋchba 31010   ·_ih csp 31013   −_ℎ cmv 31016   C_ℋ cch 31020  ⊥cort 31021  proj_ℎcpjh 31028   −_op chod 31031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-inf2 9557  ax-cc 10353  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-addf 11113  ax-mulf 11114  ax-hilex 31090  ax-hfvadd 31091  ax-hvcom 31092  ax-hvass 31093  ax-hv0cl 31094  ax-hvaddid 31095  ax-hfvmul 31096  ax-hvmulid 31097  ax-hvmulass 31098  ax-hvdistr1 31099  ax-hvdistr2 31100  ax-hvmul0 31101  ax-hfi 31170  ax-his1 31173  ax-his2 31174  ax-his3 31175  ax-his4 31176  ax-hcompl 31293

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-cnfld 21351  df-top 22880  df-topon 22897  df-topsp 22919  df-bases 22932  df-cld 23005  df-ntr 23006  df-cls 23007  df-nei 23084  df-cn 23213  df-cnp 23214  df-lm 23215  df-haus 23301  df-tx 23548  df-hmeo 23741  df-fil 23832  df-fm 23924  df-flim 23925  df-flf 23926  df-xms 24306  df-ms 24307  df-tms 24308  df-cfil 25243  df-cau 25244  df-cmet 25245  df-grpo 30584  df-gid 30585  df-ginv 30586  df-gdiv 30587  df-ablo 30636  df-vc 30650  df-nv 30683  df-va 30686  df-ba 30687  df-sm 30688  df-0v 30689  df-vs 30690  df-nmcv 30691  df-ims 30692  df-dip 30792  df-ssp 30813  df-ph 30904  df-cbn 30954  df-hnorm 31059  df-hba 31060  df-hvsub 31062  df-hlim 31063  df-hcau 31064  df-sh 31298  df-ch 31312  df-oc 31343  df-ch0 31344  df-shs 31399  df-pjh 31486  df-hodif 31823

This theorem is referenced by:  pjssdif1i  32266