Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjssdif2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjssdif2i 29584
 Description: The projection subspace of the difference between two projectors. Part 2 of Theorem 29.3 of [Halmos] p. 48 (shortened with pjssposi 29582). (Contributed by NM, 2-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjssdif2i (𝐺𝐻 ↔ ((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))

Proof of Theorem pjssdif2i
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . . 8 𝐻C
21pjfi 29114 . . . . . . 7 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
3 pjco.1 . . . . . . . 8 𝐺C
43pjfi 29114 . . . . . . 7 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
5 hodval 29152 . . . . . . 7 (((proj𝐻): ℋ⟶ ℋ ∧ (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)))
62, 4, 5mp3an12 1579 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)))
76adantl 475 . . . . 5 ((𝐺𝐻𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)))
81, 3pjssmi 29575 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
98impcom 398 . . . . 5 ((𝐺𝐻𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
107, 9eqtrd 2861 . . . 4 ((𝐺𝐻𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
1110ralrimiva 3175 . . 3 (𝐺𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
122, 4hosubfni 29181 . . . 4 ((proj𝐻) −op (proj𝐺)) Fn ℋ
133choccli 28717 . . . . . 6 (⊥‘𝐺) ∈ C
141, 13chincli 28870 . . . . 5 (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ∈ C
1514pjfni 29111 . . . 4 (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) Fn ℋ
16 eqfnfv 6565 . . . 4 ((((proj𝐻) −op (proj𝐺)) Fn ℋ ∧ (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) Fn ℋ) → (((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
1712, 15, 16mp2an 683 . . 3 (((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
1811, 17sylibr 226 . 2 (𝐺𝐻 → ((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
1914pjige0i 29100 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
2019adantl 475 . . . . 5 ((((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ (((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
21 fveq1 6436 . . . . . . 7 (((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → (((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥))
2221oveq1d 6925 . . . . . 6 (((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
2322adantr 474 . . . . 5 ((((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) = (((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) ·ih 𝑥))
2420, 23breqtrrd 4903 . . . 4 ((((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥))
2524ralrimiva 3175 . . 3 (((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥))
263, 1pjssposi 29582 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ 0 ≤ ((((proj𝐻) −op (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝐺𝐻)
2725, 26sylib 210 . 2 (((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))) → 𝐺𝐻)
2818, 27impbii 201 1 (𝐺𝐻 ↔ ((proj𝐻) −op (proj𝐺)) = (proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4875   Fn wfn 6122  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  0cc0 10259   ≤ cle 10399   ℋchba 28327   ·ih csp 28330   −ℎ cmv 28333   Cℋ cch 28337  ⊥cort 28338  projℎcpjh 28345   −op chod 28348 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cc 9579  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvmulass 28415  ax-hvdistr1 28416  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418  ax-hfi 28487  ax-his1 28490  ax-his2 28491  ax-his3 28492  ax-his4 28493  ax-hcompl 28610 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-omul 7836  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-acn 9088  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-lm 21411  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cfil 23430  df-cau 23431  df-cmet 23432  df-grpo 27899  df-gid 27900  df-ginv 27901  df-gdiv 27902  df-ablo 27951  df-vc 27965  df-nv 27998  df-va 28001  df-ba 28002  df-sm 28003  df-0v 28004  df-vs 28005  df-nmcv 28006  df-ims 28007  df-dip 28107  df-ssp 28128  df-ph 28219  df-cbn 28270  df-hnorm 28376  df-hba 28377  df-hvsub 28379  df-hlim 28380  df-hcau 28381  df-sh 28615  df-ch 28629  df-oc 28660  df-ch0 28661  df-shs 28718  df-pjh 28805  df-hodif 29142 This theorem is referenced by:  pjssdif1i  29585
 Copyright terms: Public domain W3C validator