Theorem hoissre 47278

Description: The projection of a half-open interval onto a single dimension is a subset of ℝ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
hoissre.1	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
hoissre	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoissre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoissre.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
3		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
4	2, 3	fvovco 45931	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))))
5	1	ffvelcdmda 7079	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
6		xp1st 8014	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
8		xp2nd 8015	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	5, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11254	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ*)
11		icossre 13450	. . 3 ⊢ (((1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))) ⊆ ℝ)
12	7, 10, 11	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))) ⊆ ℝ)
13	4, 12	eqsstrd 3971	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   × cxp 5659   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981  ℝcr 11094  ℝ^*cxr 11237  [,)cico 13369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-ico 13373

This theorem is referenced by:  hoissrrn  47283