Theorem hoissre 47286

Description: The projection of a half-open interval onto a single dimension is a subset of ℝ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
hoissre.1	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
hoissre	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoissre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoissre.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
3		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
4	2, 3	fvovco 45939	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))))
5	1	ffvelcdmda 7079	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
6		xp1st 8016	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
8		xp2nd 8017	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
9	5, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ*)
11		icossre 13461	. . 3 ⊢ (((1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))) ⊆ ℝ)
12	7, 10, 11	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))) ⊆ ℝ)
13	4, 12	eqsstrd 3970	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904   × cxp 5658   ∘ ccom 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1^st c1st 7982  2^nd c2nd 7983  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11248  [,)cico 13380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ico 13384

This theorem is used by:  hoissrrn  47291