Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoissre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoissre 46183
Description: The projection of a half-open interval onto a single dimension is a subset of . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
hoissre.1 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
hoissre ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoissre
StepHypRef Expression
1 hoissre.1 . . . 4 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
21adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
3 simpr 483 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
42, 3fvovco 44818 . 2 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))))
51ffvelcdmda 7100 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
6 xp1st 8037 . . . 4 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
8 xp2nd 8038 . . . . 5 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
95, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
109rexrd 11316 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*)
11 icossre 13461 . . 3 (((1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ⊆ ℝ)
127, 10, 11syl2anc 582 . 2 ((𝜑𝑘𝑋) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ⊆ ℝ)
134, 12eqsstrd 4018 1 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2099  wss 3947   × cxp 5682  ccom 5688  wf 6552  cfv 6556  (class class class)co 7426  1st c1st 8003  2nd c2nd 8004  cr 11159  *cxr 11299  [,)cico 13382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-ico 13386
This theorem is referenced by:  hoissrrn  46188
  Copyright terms: Public domain W3C validator