Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoissre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoissre 43181
 Description: The projection of a half-open interval onto a single dimension is a subset of ℝ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
hoissre.1 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
hoissre ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoissre
StepHypRef Expression
1 hoissre.1 . . . 4 (𝜑𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
21adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
3 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
42, 3fvovco 41819 . 2 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))))
51ffvelrnda 6828 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
6 xp1st 7703 . . . 4 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → (1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
8 xp2nd 7704 . . . . 5 ((𝐼𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
95, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ)
109rexrd 10680 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*)
11 icossre 12806 . . 3 (((1st ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ⊆ ℝ)
127, 10, 11syl2anc 587 . 2 ((𝜑𝑘𝑋) → ((1st ‘(𝐼𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼𝑘))) ⊆ ℝ)
134, 12eqsstrd 3953 1 ((𝜑𝑘𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ⊆ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   × cxp 5517   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1st c1st 7669  2nd c2nd 7670  ℝcr 10525  ℝ*cxr 10663  [,)cico 12728 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ico 12732 This theorem is referenced by:  hoissrrn  43186
 Copyright terms: Public domain W3C validator