Theorem icossre 13488

Description: A closed-below interval with real lower bound is a set of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icossre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem icossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elico2 13471	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
2	1	biimp3a 1469	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
3	2	simp1d 1142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	ssrdv 4014	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,)cico 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ico 13413

This theorem is referenced by:  icoshftf1o  13534  ico01fl0  13870  rexico  15402  rlim3  15544  fprodge1  16043  ovolicopnf  25578  dvfsumrlim2  26093  tanord1  26597  chebbnd1  27534  chebbnd2  27539  dchrisumlem3  27553  pntpbnd1  27648  pntibndlem2  27653  sxbrsigalem0  34236  dya2iocress  34239  dya2iocucvr  34249  sitmcl  34316  tan2h  37572  icoopn  45443  limciccioolb  45542  ltmod  45559  limcresioolb  45564  limsupresre  45617  limsupresico  45621  liminfresico  45692  fourierdlem32  46060  fourierdlem46  46073  fourierdlem48  46075  fourierdlem93  46120  fouriersw  46152  fouriercn  46153  hoissre  46465  hoissrrn2  46499  hoidmv1lelem2  46513  ovnlecvr2  46531  hspdifhsp  46537  hoiqssbllem2  46544  hspmbllem2  46548  iinhoiicclem  46594