MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icossre 12807
Description: A closed-below interval with real lower bound is a set of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icossre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem icossre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elico2 12790 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
21biimp3a 1462 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵))
32simp1d 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
433expia 1115 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
54ssrdv 3977 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081  wcel 2107  wss 3940   class class class wbr 5063  (class class class)co 7148  cr 10525  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  [,)cico 12730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ico 12734
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  12850  ico01fl0  13179  rexico  14703  rlim3  14845  fprodge1  15339  ovolicopnf  24040  dvfsumrlim2  24544  tanord1  25034  chebbnd1  25962  chebbnd2  25967  dchrisumlem3  25981  pntpbnd1  26076  pntibndlem2  26081  sxbrsigalem0  31415  dya2iocress  31418  dya2iocucvr  31428  sitmcl  31495  tan2h  34751  icoopn  41666  limciccioolb  41767  ltmod  41784  limcresioolb  41789  limsupresre  41842  limsupresico  41846  liminfresico  41917  fourierdlem32  42290  fourierdlem46  42303  fourierdlem48  42305  fourierdlem93  42350  fouriersw  42382  fouriercn  42383  hoissre  42692  hoissrrn2  42726  hoidmv1lelem2  42740  ovnlecvr2  42758  hspdifhsp  42764  hoiqssbllem2  42771  hspmbllem2  42775  iinhoiicclem  42821
  Copyright terms: Public domain W3C validator