Theorem fprodge1 15705

Description: If all of the terms of a finite product are greater than or equal to 1, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodge1.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodge1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodge1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge1.ge	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodge1	⊢ (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11034	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11029	. 2 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		fprodge1.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		1re 10975	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		icossre 13160	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
6	4, 2, 5	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ
7		ax-resscn 10928	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstri 3930	. . . 4 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℂ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℂ)
10	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ*)
11	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
12	6	sseli 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	6	sseli 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	13, 15	remulcld 11005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11025	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ*)
18		1t1e1 12135	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
19	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
20		0le1 11498	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ 1)
22		icogelb 13130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
23	1, 2, 22	mp3an12 1450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
25		icogelb 13130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
26	1, 2, 25	mp3an12 1450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑦)
27	26	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
28	19, 13, 19, 15, 21, 21, 24, 27	lemul12ad 11917	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
29	18, 28	eqbrtrrid 5110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
30	16	ltpnfd 12857	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) < +∞)
31	10, 11, 17, 29, 30	elicod 13129	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
32	31	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
33		fprodge1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
34	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℝ*)
35	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
36		fprodge1.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38		fprodge1.ge	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
39	36	ltpnfd 12857	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 < +∞)
40	34, 35, 37, 38, 39	elicod 13129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
41		1le1 11603	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
42		ltpnf 12856	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
43	4, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
44		elico2 13143	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
45	4, 2, 44	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
46	4, 41, 43, 45	mpbir3an 1340	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1[,)+∞)
47	46	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1[,)+∞))
48	3, 9, 32, 33, 40, 47	fprodcllemf 15668	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
49		icogelb 13130	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
50	1, 2, 48, 49	mp3an12i 1464	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  [,)cico 13081  ∏cprod 15615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616

This theorem is referenced by:  fprodle  15706