MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge1 16031
Description: If all of the terms of a finite product are greater than or equal to 1, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge1.ph 𝑘𝜑
fprodge1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodge1.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge1.ge ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodge1 (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1xr 11320 . 2 1 ∈ ℝ*
2 pnfxr 11315 . 2 +∞ ∈ ℝ*
3 fprodge1.ph . . 3 𝑘𝜑
4 1re 11261 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 icossre 13468 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
64, 2, 5mp2an 692 . . . . 5 (1[,)+∞) ⊆ ℝ
7 ax-resscn 11212 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
86, 7sstri 3993 . . . 4 (1[,)+∞) ⊆ ℂ
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℂ)
101a1i 11 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ*)
112a1i 11 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
126sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
146sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1613, 15remulcld 11291 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1716rexrd 11311 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ*)
18 1t1e1 12428 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
194a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
20 0le1 11786 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ 1)
22 icogelb 13438 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
231, 2, 22mp3an12 1453 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
25 icogelb 13438 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
261, 2, 25mp3an12 1453 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑦)
2726adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
2819, 13, 19, 15, 21, 21, 24, 27lemul12ad 12210 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
2918, 28eqbrtrrid 5179 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
3016ltpnfd 13163 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) < +∞)
3110, 11, 17, 29, 30elicod 13437 . . . 4 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
3231adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
33 fprodge1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
341a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ∈ ℝ*)
352a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
36 fprodge1.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736rexrd 11311 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 fprodge1.ge . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
3936ltpnfd 13163 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 < +∞)
4034, 35, 37, 38, 39elicod 13437 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
41 1le1 11891 . . . . 5 1 ≤ 1
42 ltpnf 13162 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
434, 42ax-mp 5 . . . . 5 1 < +∞
44 elico2 13451 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
454, 2, 44mp2an 692 . . . . 5 (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
464, 41, 43, 45mpbir3an 1342 . . . 4 1 ∈ (1[,)+∞)
4746a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (1[,)+∞))
483, 9, 32, 33, 40, 47fprodcllemf 15994 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
49 icogelb 13438 . 2 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
501, 2, 48, 49mp3an12i 1467 1 (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wnf 1783  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  [,)cico 13389  cprod 15939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940
This theorem is referenced by:  fprodle  16032
  Copyright terms: Public domain W3C validator