Theorem fprodge1 15942

Description: If all of the terms of a finite product are greater than or equal to 1, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodge1.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodge1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodge1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge1.ge	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodge1	⊢ (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1xr 11274	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11269	. 2 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		fprodge1.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		1re 11215	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		icossre 13408	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
6	4, 2, 5	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ
7		ax-resscn 11166	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstri 3986	. . . 4 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℂ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℂ)
10	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ*)
11	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
12	6	sseli 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	6	sseli 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	13, 15	remulcld 11245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11265	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ*)
18		1t1e1 12375	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
19	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
20		0le1 11738	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ 1)
22		icogelb 13378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
23	1, 2, 22	mp3an12 1447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
25		icogelb 13378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
26	1, 2, 25	mp3an12 1447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑦)
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
28	19, 13, 19, 15, 21, 21, 24, 27	lemul12ad 12157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
29	18, 28	eqbrtrrid 5177	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
30	16	ltpnfd 13104	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) < +∞)
31	10, 11, 17, 29, 30	elicod 13377	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
32	31	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
33		fprodge1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
34	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℝ*)
35	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
36		fprodge1.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38		fprodge1.ge	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
39	36	ltpnfd 13104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 < +∞)
40	34, 35, 37, 38, 39	elicod 13377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
41		1le1 11843	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
42		ltpnf 13103	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
43	4, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
44		elico2 13391	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
45	4, 2, 44	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
46	4, 41, 43, 45	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1[,)+∞)
47	46	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1[,)+∞))
48	3, 9, 32, 33, 40, 47	fprodcllemf 15905	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
49		icogelb 13378	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
50	1, 2, 48, 49	mp3an12i 1461	1 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114  +∞cpnf 11246  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249   ≤ cle 11250  [,)cico 13329  ∏cprod 15852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-prod 15853

This theorem is referenced by:  fprodle  15943