MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge1 16027
Description: If all of the terms of a finite product are greater than or equal to 1, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge1.ph 𝑘𝜑
fprodge1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodge1.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge1.ge ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodge1 (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1xr 11317 . 2 1 ∈ ℝ*
2 pnfxr 11312 . 2 +∞ ∈ ℝ*
3 fprodge1.ph . . 3 𝑘𝜑
4 1re 11258 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 icossre 13464 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
64, 2, 5mp2an 692 . . . . 5 (1[,)+∞) ⊆ ℝ
7 ax-resscn 11209 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
86, 7sstri 4004 . . . 4 (1[,)+∞) ⊆ ℂ
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℂ)
101a1i 11 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ*)
112a1i 11 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
126sseli 3990 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
146sseli 3990 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1613, 15remulcld 11288 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1716rexrd 11308 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ*)
18 1t1e1 12425 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
194a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
20 0le1 11783 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ 1)
22 icogelb 13434 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
231, 2, 22mp3an12 1450 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
25 icogelb 13434 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
261, 2, 25mp3an12 1450 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑦)
2726adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
2819, 13, 19, 15, 21, 21, 24, 27lemul12ad 12207 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
2918, 28eqbrtrrid 5183 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
3016ltpnfd 13160 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) < +∞)
3110, 11, 17, 29, 30elicod 13433 . . . 4 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
3231adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
33 fprodge1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
341a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ∈ ℝ*)
352a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
36 fprodge1.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736rexrd 11308 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 fprodge1.ge . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
3936ltpnfd 13160 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 < +∞)
4034, 35, 37, 38, 39elicod 13433 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
41 1le1 11888 . . . . 5 1 ≤ 1
42 ltpnf 13159 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
434, 42ax-mp 5 . . . . 5 1 < +∞
44 elico2 13447 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
454, 2, 44mp2an 692 . . . . 5 (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
464, 41, 43, 45mpbir3an 1340 . . . 4 1 ∈ (1[,)+∞)
4746a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (1[,)+∞))
483, 9, 32, 33, 40, 47fprodcllemf 15990 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
49 icogelb 13434 . 2 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
501, 2, 48, 49mp3an12i 1464 1 (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wnf 1779  wcel 2105  wss 3962   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  [,)cico 13385  cprod 15935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-prod 15936
This theorem is referenced by:  fprodle  16028
  Copyright terms: Public domain W3C validator