MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge1 15979
Description: If all of the terms of a finite product are greater than or equal to 1, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge1.ph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodge1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodge1.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fprodge1.ge ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
Assertion
Ref Expression
fprodge1 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodge1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1xr 11311 . 2 1 โˆˆ โ„*
2 pnfxr 11306 . 2 +โˆž โˆˆ โ„*
3 fprodge1.ph . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
4 1re 11252 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
5 icossre 13445 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (1[,)+โˆž) โІ โ„)
64, 2, 5mp2an 690 . . . . 5 (1[,)+โˆž) โІ โ„
7 ax-resscn 11203 . . . . 5 โ„ โІ โ„‚
86, 7sstri 3991 . . . 4 (1[,)+โˆž) โІ โ„‚
98a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1[,)+โˆž) โІ โ„‚)
101a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„*)
112a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
126sseli 3978 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
1312adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
146sseli 3978 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
1514adantl 480 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
1613, 15remulcld 11282 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1716rexrd 11302 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„*)
18 1t1e1 12412 . . . . . 6 (1 ยท 1) = 1
194a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
20 0le1 11775 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 1
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค 1)
22 icogelb 13415 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
231, 2, 22mp3an12 1447 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
2423adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
25 icogelb 13415 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฆ)
261, 2, 25mp3an12 1447 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฆ)
2726adantl 480 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฆ)
2819, 13, 19, 15, 21, 21, 24, 27lemul12ad 12194 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
2918, 28eqbrtrrid 5188 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ))
3016ltpnfd 13141 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) < +โˆž)
3110, 11, 17, 29, 30elicod 13414 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (1[,)+โˆž))
3231adantl 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1[,)+โˆž))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (1[,)+โˆž))
33 fprodge1.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
341a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„*)
352a1i 11 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
36 fprodge1.b . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3736rexrd 11302 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
38 fprodge1.ge . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
3936ltpnfd 13141 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต < +โˆž)
4034, 35, 37, 38, 39elicod 13414 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (1[,)+โˆž))
41 1le1 11880 . . . . 5 1 โ‰ค 1
42 ltpnf 13140 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„ โ†’ 1 < +โˆž)
434, 42ax-mp 5 . . . . 5 1 < +โˆž
44 elico2 13428 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (1 โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 1 โˆง 1 < +โˆž)))
454, 2, 44mp2an 690 . . . . 5 (1 โˆˆ (1[,)+โˆž) โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 1 โˆง 1 < +โˆž))
464, 41, 43, 45mpbir3an 1338 . . . 4 1 โˆˆ (1[,)+โˆž)
4746a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (1[,)+โˆž))
483, 9, 32, 33, 40, 47fprodcllemf 15942 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (1[,)+โˆž))
49 icogelb 13415 . 2 ((1 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (1[,)+โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
501, 2, 48, 49mp3an12i 1461 1 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3949   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   ยท cmul 11151  +โˆžcpnf 11283  โ„*cxr 11285   < clt 11286   โ‰ค cle 11287  [,)cico 13366  โˆcprod 15889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-prod 15890
This theorem is referenced by:  fprodle  15980
  Copyright terms: Public domain W3C validator