Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0reuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0reuz 46403
Description: Value of the generalized sum of nonnegative reals, when the domain is a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0reuz.k 𝑘𝜑
sge0reuz.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0reuz.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0reuz.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0reuz (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0reuz
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0reuz.k . . 3 𝑘𝜑
2 sge0reuz.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑀))
4 fvex 6920 . . . 4 (ℤ𝑀) ∈ V
53, 4eqeltrdi 2847 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
6 sge0reuz.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
71, 5, 6sge0revalmpt 46334 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ))
8 nfv 1912 . . . . 5 𝑥𝜑
9 eqid 2735 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵)
10 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)
111, 10nfan 1897 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
12 elinel2 4212 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1312adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
14 rge0ssre 13493 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
15 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
16 elpwinss 44989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥𝑍)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥𝑍)
18 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
1917, 18sseldd 3996 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑍)
2019adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑍)
2115, 20, 6syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
2214, 21sselid 3993 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
2311, 13, 22fsumreclf 45532 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
2423rexrd 11309 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ*)
258, 9, 24rnmptssd 45139 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ⊆ ℝ*)
26 supxrcl 13354 . . . 4 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
28 nfv 1912 . . . . 5 𝑛𝜑
29 eqid 2735 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
30 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑘 𝑛𝑍
311, 30nfan 1897 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑛𝑍)
32 fzfid 14011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
33 elfzuz 13557 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3433, 2eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘𝑍)
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘𝑍)
3614, 6sselid 3993 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
3735, 36syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3837adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3931, 32, 38fsumreclf 45532 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ℝ)
4039rexrd 11309 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ℝ*)
4128, 29, 40rnmptssd 45139 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ*)
42 supxrcl 13354 . . . 4 (ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4341, 42syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
44 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
459elrnmpt 5972 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
4746biimpi 216 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
4847adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
49 sge0reuz.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
50493ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑀 ∈ ℤ)
51163ad2ant2 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥𝑍)
52133adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ Fin)
5350, 2, 51, 52uzfissfz 45276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑛𝑍 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛))
54 nfv 1912 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
55 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
5655nfrn 5966 . . . . . . . . . . 11 𝑛ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
57 nfv 1912 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑦𝑤
5856, 57nfrexw 3311 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤
59 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
60 sumex 15721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ V
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ V)
6229elrnmpt1 5974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ V) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
6359, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
64633ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑛𝑍𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
65 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
66 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘𝑦
67 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘𝑥
6867nfsum1 15723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘Σ𝑘𝑥 𝐵
6966, 68nfeq 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵
701, 69nfan 1897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
71 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)
7270, 71nfan 1897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛))
73 fzfid 14011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
7437ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
75 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝜑)
7634adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘𝑍)
77 0xr 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ*
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
79 pnfxr 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
81 icogelb 13435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
8278, 80, 6, 81syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
8375, 76, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 0 ≤ 𝐵)
84 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛))
8572, 73, 74, 83, 84fsumlessf 45533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
8665, 85eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
87863adant2 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑛𝑍𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
88 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → (𝑦𝑤𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
8988rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . 13 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ∧ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)
9064, 87, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑛𝑍𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)
91903exp 1118 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → (𝑛𝑍 → (𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)))
92913adant2 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → (𝑛𝑍 → (𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)))
9354, 58, 92rexlimd 3264 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → (∃𝑛𝑍 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤))
9453, 93mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)
95943exp 1118 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)))
9695rexlimdv 3151 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤))
9796imp 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)
9848, 97syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)
9925, 41, 98suplesup2 45326 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
10029elrnmpt 5972 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
10144, 100ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
102101biimpi 216 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
103102adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
10434ssriv 3999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀...𝑛) ⊆ 𝑍
105 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀...𝑛) ∈ V
106105elpw 4609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀...𝑛) ∈ 𝒫 𝑍 ↔ (𝑀...𝑛) ⊆ 𝑍)
107104, 106mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑛) ∈ 𝒫 𝑍
108 fzfi 14010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑛) ∈ Fin
109107, 108elini 4209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑛) ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → (𝑀...𝑛) ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
111 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
112 sumeq1 15722 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑀...𝑛) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
113112rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀...𝑛) ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
114110, 111, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
11544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦 ∈ V)
1169, 114, 115elrnmptd 5977 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵))
1171162a1i 12 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵))))
118117rexlimdv 3151 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵)))
119118adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → (∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵)))
120103, 119mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵))
121120ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵))
122 dfss3 3984 . . . . 5 (ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵))
123121, 122sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵))
124 supxrss 13371 . . . 4 ((ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ⊆ ℝ*) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ))
125123, 25, 124syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ))
12627, 43, 99, 125xrletrid 13194 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
1277, 126eqtrd 2775 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  supcsup 9478  cr 11152  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cz 12611  cuz 12876  [,)cico 13386  ...cfz 13544  Σcsu 15719  Σ^csumge0 46318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319
This theorem is referenced by:  sge0reuzb  46404
  Copyright terms: Public domain W3C validator