Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0reuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0reuz 45758
Description: Value of the generalized sum of nonnegative reals, when the domain is a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0reuz.k 𝑘𝜑
sge0reuz.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0reuz.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0reuz.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0reuz (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0reuz
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0reuz.k . . 3 𝑘𝜑
2 sge0reuz.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑀))
4 fvex 6904 . . . 4 (ℤ𝑀) ∈ V
53, 4eqeltrdi 2836 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
6 sge0reuz.b . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
71, 5, 6sge0revalmpt 45689 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ))
8 nfv 1910 . . . . 5 𝑥𝜑
9 eqid 2727 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵)
10 nfv 1910 . . . . . . . 8 𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)
111, 10nfan 1895 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
12 elinel2 4192 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1312adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
14 rge0ssre 13457 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
15 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
16 elpwinss 44336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑥𝑍)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥𝑍)
18 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
1917, 18sseldd 3979 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑍)
2019adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑍)
2115, 20, 6syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
2214, 21sselid 3976 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
2311, 13, 22fsumreclf 44887 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ)
2423rexrd 11286 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ∈ ℝ*)
258, 9, 24rnmptssd 44492 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ⊆ ℝ*)
26 supxrcl 13318 . . . 4 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
28 nfv 1910 . . . . 5 𝑛𝜑
29 eqid 2727 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
30 nfv 1910 . . . . . . . 8 𝑘 𝑛𝑍
311, 30nfan 1895 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑛𝑍)
32 fzfid 13962 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
33 elfzuz 13521 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3433, 2eleqtrrdi 2839 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘𝑍)
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘𝑍)
3614, 6sselid 3976 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
3735, 36syldan 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3837adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3931, 32, 38fsumreclf 44887 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ℝ)
4039rexrd 11286 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ℝ*)
4128, 29, 40rnmptssd 44492 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ*)
42 supxrcl 13318 . . . 4 (ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4341, 42syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
44 vex 3473 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
459elrnmpt 5952 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
4746biimpi 215 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
4847adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
49 sge0reuz.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
50493ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑀 ∈ ℤ)
51163ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥𝑍)
52133adant3 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → 𝑥 ∈ Fin)
5350, 2, 51, 52uzfissfz 44631 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑛𝑍 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛))
54 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
55 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
5655nfrn 5948 . . . . . . . . . . 11 𝑛ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
57 nfv 1910 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑦𝑤
5856, 57nfrexw 3305 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤
59 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
60 sumex 15658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ V
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ V)
6229elrnmpt1 5954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ V) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
6359, 61, 62syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
64633ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑛𝑍𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
65 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
66 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘𝑦
67 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘𝑥
6867nfsum1 15660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘Σ𝑘𝑥 𝐵
6966, 68nfeq 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵
701, 69nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
71 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)
7270, 71nfan 1895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛))
73 fzfid 13962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
7437ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
75 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝜑)
7634adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘𝑍)
77 0xr 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ*
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
79 pnfxr 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
81 icogelb 13399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
8278, 80, 6, 81syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
8375, 76, 82syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 0 ≤ 𝐵)
84 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛))
8572, 73, 74, 83, 84fsumlessf 44888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → Σ𝑘𝑥 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
8665, 85eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
87863adant2 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑛𝑍𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
88 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → (𝑦𝑤𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
8988rspcev 3607 . . . . . . . . . . . . 13 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ∧ 𝑦 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)
9064, 87, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ 𝑛𝑍𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)
91903exp 1117 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → (𝑛𝑍 → (𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)))
92913adant2 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → (𝑛𝑍 → (𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)))
9354, 58, 92rexlimd 3258 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → (∃𝑛𝑍 𝑥 ⊆ (𝑀...𝑛) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤))
9453, 93mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)
95943exp 1117 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)))
9695rexlimdv 3148 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤))
9796imp 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)
9848, 97syldan 590 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦𝑤)
9925, 41, 98suplesup2 44681 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
10029elrnmpt 5952 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵))
10144, 100ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
102101biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
103102adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → ∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
10434ssriv 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀...𝑛) ⊆ 𝑍
105 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀...𝑛) ∈ V
106105elpw 4602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀...𝑛) ∈ 𝒫 𝑍 ↔ (𝑀...𝑛) ⊆ 𝑍)
107104, 106mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑛) ∈ 𝒫 𝑍
108 fzfi 13961 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑛) ∈ Fin
109107, 108elini 4189 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑛) ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → (𝑀...𝑛) ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
111 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
112 sumeq1 15659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑀...𝑛) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)
113112rspceeqv 3629 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀...𝑛) ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
114110, 111, 113syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑦 = Σ𝑘𝑥 𝐵)
11544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦 ∈ V)
1169, 114, 115elrnmptd 5957 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵))
1171162a1i 12 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛𝑍 → (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵))))
118117rexlimdv 3148 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵)))
119118adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → (∃𝑛𝑍 𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵)))
120103, 119mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵))
121120ralrimiva 3141 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵))
122 dfss3 3966 . . . . 5 (ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵)𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵))
123121, 122sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵))
124 supxrss 13335 . . . 4 ((ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵) ⊆ ℝ*) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ))
125123, 25, 124syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ))
12627, 43, 99, 125xrletrid 13158 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
1277, 126eqtrd 2767 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐵)) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐵), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wral 3056  wrex 3065  Vcvv 3469  cin 3943  wss 3944  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  cmpt 5225  ran crn 5673  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  supcsup 9455  cr 11129  0cc0 11130  +∞cpnf 11267  *cxr 11269   < clt 11270  cle 11271  cz 12580  cuz 12844  [,)cico 13350  ...cfz 13508  Σcsu 15656  Σ^csumge0 45673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-sumge0 45674
This theorem is referenced by:  sge0reuzb  45759
  Copyright terms: Public domain W3C validator