Theorem sge0isum 45604

Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0isum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sge0isum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sge0isum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
sge0isum.g	⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
sge0isum.gcnv	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0isum	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = 𝐵)

Proof of Theorem sge0isum

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0isum.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	fvexi 6905	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
4		sge0isum.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
5		icossicc 13420	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
7	4, 6	fssd 6735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(0[,]+∞))
8	3, 7	sge0xrcl 45562	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
9		sge0isum.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		sge0isum.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
11		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
12		rge0ssre 13440	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
13	4	ffvelcdmda 7086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,)+∞))
14	12, 13	sselid 3980	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
15		0xr 11268	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
17		pnfxr 11275	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
19		icogelb 13382	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
20	16, 18, 13, 19	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
21		seqex 13975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
22	10, 21	eqeltri 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
24		sge0isum.gcnv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
25		climcl 15450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
27		breldmg 5909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ⇝ 𝐵) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
28	23, 26, 24, 27	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
29	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
30	29	fveq1d 6893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
31	1	eleq2i 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		simpll 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
35		elfzuz 13504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36	35, 1	eleqtrrdi 2843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
38	34, 37, 14	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
39		readdcl 11199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
41	33, 38, 40	seqcl 13995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
42	30, 41	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℝ)
43	42	recnd 11249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
44	43	ralrimiva 3145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
45	1	climbdd 15625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥)
46	9, 28, 44, 45	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥)
47	42	ad4ant13 748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℝ)
48	43	ad4ant13 748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
49	48	abscld 15390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ)
50		simpllr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	47	leabsd 15368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺‘𝑗) ≤ (abs‘(𝐺‘𝑗)))
52		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥)
53	47, 49, 50, 51, 52	letrd 11378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
54	53	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥 → (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥))
55	54	ralimdva 3166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥 → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥))
56	55	reximdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥))
57	46, 56	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
58	1, 10, 9, 11, 14, 20, 57	isumsup2 15799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
59	1, 9, 58, 42	climrecl 15534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
60	59	rexrd 11271	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
61	4	feqmptd 6960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
62	61	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
63		mpteq1 5241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
64	63	fveq2d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))))
65		mpt0 6692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
66	65	fveq2i 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (Σ^‘∅)
67		sge00 45553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Σ^‘∅) = 0
68	66, 67	eqtri 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0)
70	64, 69	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0)
71	70	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0)
72		0red 11224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
73	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
74	1, 9, 14, 73	seqf 13996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
75	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
76	75	feq1d 6702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ))
77	74, 76	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
78	77	frnd 6725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
79	77	ffund 6721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
80		uzid 12844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
81	9, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
82	1	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍
83	81, 82	eleqtrdi 2842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
84	77	fdmd 6728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑍)
85	84	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = dom 𝐺)
86	83, 85	eleqtrd 2834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ dom 𝐺)
87		fvelrn 7078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑀 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑀) ∈ ran 𝐺)
88	79, 86, 87	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑀) ∈ ran 𝐺)
89	78, 88	sseldd 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑀) ∈ ℝ)
90	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
91	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
92	4, 83	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ (0[,)+∞))
93		icogelb 13382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑀))
94	90, 91, 92, 93	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝑀))
95	10	fveq1i 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺‘𝑀) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀)
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑀) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀))
97		seq1 13986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
98	9, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
99	96, 98	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = (𝐺‘𝑀))
100	94, 99	breqtrd 5174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺‘𝑀))
101	88	ne0d 4335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ≠ ∅)
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
103	77	ffnd 6718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑍)
104		fvelrnb 6952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 Fn 𝑍 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧))
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧))
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧))
107	102, 106	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧)
108	107	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧)
109		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
110		nfra1 3280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥
111	109, 110	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
112		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ ran 𝐺
113	111, 112	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
114		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑧 ≤ 𝑥
115		rspa 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
116	115	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
117		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (𝐺‘𝑗) = 𝑧)
118		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺‘𝑗) = 𝑧 → (𝐺‘𝑗) = 𝑧)
119	118	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 = (𝐺‘𝑗))
120	119	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐺‘𝑗))
121		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
122	120, 121	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → 𝑧 ≤ 𝑥)
123	116, 117, 122	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → 𝑧 ≤ 𝑥)
124	123	3exp 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
125	124	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
126	113, 114, 125	rexlimd 3262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 ≤ 𝑥))
127	108, 126	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ≤ 𝑥)
128	127	ralrimiva 3145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥)
129	128	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥))
130	129	reximdv 3169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥))
131	57, 130	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥)
132		suprub 12182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ (𝐺‘𝑀) ∈ ran 𝐺) → (𝐺‘𝑀) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
133	78, 101, 131, 88, 132	syl31anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑀) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
134	72, 89, 59, 100, 133	letrd 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
135	134	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → 0 ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
136	71, 135	eqbrtrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
137		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
138		simpll 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
139		elpwinss 44200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝑍)
140	139	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑍)
141	140	adantll 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑍)
142	5, 13	sselid 3980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
143	138, 141, 142	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
144		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))
145	143, 144	fmptd 7115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝑦⟶(0[,]+∞))
146	137, 145	sge0xrcl 45562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
147	146	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
148		fzfid 13945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ Fin)
149		elfzuz 13504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
150	149, 82	eleqtrdi 2842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ 𝑍)
151	150, 142	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
152		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))
153	151, 152	fmptd 7115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟶(0[,]+∞))
154	153	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟶(0[,]+∞))
155	148, 154	sge0xrcl 45562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
156	155	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
157	60	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
158	157	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
159		simpll 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → 𝜑)
160	150	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
161	159, 160, 142	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
162		elinel2 4196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
163	1, 139, 162	ssuzfz 44520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
164	163	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
165	148, 161, 164	sge0lessmpt 45576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))))
166	165	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))))
167	78	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
168	167	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
169	101	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ran 𝐺 ≠ ∅)
170	169	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ran 𝐺 ≠ ∅)
171	131	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥)
172	171	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥)
173	159, 160, 13	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,)+∞))
174	148, 173	sge0fsummpt 45567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹‘𝑘))
175	174	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹‘𝑘))
176		eqidd 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
177	139, 1	sseqtrdi 4032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
178	177	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
179		uzssz 12850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
180	1, 179	eqsstri 4016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
181	139, 180	sstrdi 3994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ ℤ)
182	181	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ⊆ ℤ)
183		neqne 2947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
184	183	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
185	162	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
186		suprfinzcl 12683	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
187	182, 184, 185, 186	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
188	178, 187	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
189	188	adantll 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
190	14	recnd 11249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
191	159, 160, 190	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
192	191	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
193	176, 189, 192	fsumser 15683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹‘𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )))
194	10	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = 𝐺
195	194	fveq1i 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < ))
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )))
197	175, 193, 196	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )))
198	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Fun 𝐺)
199	198	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → Fun 𝐺)
200	189, 82	eleqtrdi 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
201	85	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑍 = dom 𝐺)
202	200, 201	eleqtrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺)
203		fvelrn 7078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
204	199, 202, 203	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
205	197, 204	eqeltrd 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ran 𝐺)
206		suprub 12182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ran 𝐺) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
207	168, 170, 172, 205, 206	syl31anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
208	147, 156, 158, 166, 207	xrletrd 13148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
209	136, 208	pm2.61dan 810	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
210	209	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
211		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
212	211, 3, 142, 60	sge0lefimpt 45600	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
213	210, 212	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
214	62, 213	eqbrtrd 5170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
215	36	ssriv 3986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍)
217	3, 142, 216	sge0lessmpt 45576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
218	217	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
219		fzfid 13945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
220	36, 13	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,)+∞))
221	219, 220	sge0fsummpt 45567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑘))
222	221	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑘))
223	34, 37, 11	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
224	34, 37, 190	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
225	223, 33, 224	fsumser 15683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
226	225	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
227	222, 226	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
228	194	fveq1i 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
229	228	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
230		simp3 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (𝐺‘𝑗) = 𝑧)
231	227, 229, 230	3eqtrrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))))
232	62	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
233	231, 232	breq12d 5161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹) ↔ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
234	218, 233	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹))
235	234	3exp 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹))))
236	235	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹))))
237	236	rexlimdv 3152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹)))
238	107, 237	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹))
239	238	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹))
240	3, 7	sge0cl 45558	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ (0[,]+∞))
241	59	ltpnfd 13108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) < +∞)
242	8, 60, 91, 214, 241	xrlelttrd 13146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) < +∞)
243	8, 91, 242	xrgtned 44493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ≠ (Σ^‘𝐹))
244	243	necomd 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ≠ +∞)
245		ge0xrre 44705	. . . . . 6 ⊢ (((Σ^‘𝐹) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Σ^‘𝐹) ≠ +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
246	240, 244, 245	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
247		suprleub 12187	. . . . 5 ⊢ (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^‘𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹)))
248	78, 101, 131, 246, 247	syl31anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^‘𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹)))
249	239, 248	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^‘𝐹))
250	8, 60, 214, 249	xrletrid 13141	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
251		climuni 15503	. . 3 ⊢ ((𝐺 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < )) → 𝐵 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
252	24, 58, 251	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
253	250, 252	eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  supcsup 9441  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116   + caddc 11119  +∞cpnf 11252  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255   ≤ cle 11256  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12829  [,)cico 13333  [,]cicc 13334  ...cfz 13491  seqcseq 13973  abscabs 15188   ⇝ cli 15435  Σcsu 15639  Σ^{^}csumge0 45539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-sumge0 45540

This theorem is referenced by:  sge0isummpt  45607