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Theorem sge0isum 45133
Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0isum.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
sge0isum.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
sge0isum.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(0[,)+∞))
sge0isum.g 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
sge0isum.gcnv (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
sge0isum (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = 𝐡)

Proof of Theorem sge0isum
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0isum.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
21fvexi 6905 . . . . 5 𝑍 ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
4 sge0isum.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(0[,)+∞))
5 icossicc 13412 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞))
74, 6fssd 6735 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(0[,]+∞))
83, 7sge0xrcl 45091 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
9 sge0isum.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
10 sge0isum.g . . . . . 6 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
11 eqidd 2733 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
12 rge0ssre 13432 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
134ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,)+∞))
1412, 13sselid 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
15 0xr 11260 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ∈ ℝ*)
17 pnfxr 11267 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
19 icogelb 13374 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
2016, 18, 13, 19syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
21 seqex 13967 . . . . . . . . . . 11 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
2210, 21eqeltri 2829 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V)
24 sge0isum.gcnv . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 𝐡)
25 climcl 15442 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ⇝ 𝐡 β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
27 breldmg 5909 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐺 ⇝ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
2823, 26, 24, 27syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
2910a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
3029fveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
311eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3231biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
34 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ πœ‘)
35 elfzuz 13496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3635, 1eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3834, 37, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
39 readdcl 11192 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + 𝑖) ∈ ℝ)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ + 𝑖) ∈ ℝ)
4133, 38, 40seqcl 13987 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
4230, 41eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
4342recnd 11241 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
4443ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
451climbdd 15617 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯)
469, 28, 44, 45syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯)
4742ad4ant13 749 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
4843ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
4948abscld 15382 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
50 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5147leabsd 15360 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)))
52 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯)
5347, 49, 50, 51, 52letrd 11370 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
5453ex 413 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
5554ralimdva 3167 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
5655reximdva 3168 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
5746, 56mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
581, 10, 9, 11, 14, 20, 57isumsup2 15791 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
591, 9, 58, 42climrecl 15526 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6059rexrd 11263 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
614feqmptd 6960 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
6261fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
63 mpteq1 5241 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
6463fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
65 mpt0 6692 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) = βˆ…
6665fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . 12 (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = (Ξ£^β€˜βˆ…)
67 sge00 45082 . . . . . . . . . . . 12 (Ξ£^β€˜βˆ…) = 0
6866, 67eqtri 2760 . . . . . . . . . . 11 (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = 0
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = 0)
7064, 69eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (𝑦 = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = 0)
7170adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = 0)
72 0red 11216 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
7339adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ + 𝑖) ∈ ℝ)
741, 9, 14, 73seqf 13988 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„)
7510a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
7675feq1d 6702 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘βŸΆβ„ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„))
7774, 76mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
7877frnd 6725 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ)
7977ffund 6721 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Fun 𝐺)
80 uzid 12836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
819, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
821eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = 𝑍
8381, 82eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
8477fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = 𝑍)
8584eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑍 = dom 𝐺)
8683, 85eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐺)
87 fvelrn 7078 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐺 ∧ 𝑀 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐺)
8879, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐺)
8978, 88sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
9015a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
9117a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
924, 83ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,)+∞))
93 icogelb 13374 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
9490, 91, 92, 93syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
9510fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (πΊβ€˜π‘€) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘€) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€))
97 seq1 13978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
989, 97syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
9996, 98eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΊβ€˜π‘€))
10094, 99breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘€))
10188ne0d 4335 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 β‰  βˆ…)
102 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
10377ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑍)
104 fvelrnb 6952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Fn 𝑍 β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧))
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧))
107102, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧)
108107adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧)
109 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘—πœ‘
110 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘—βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯
111109, 110nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
112 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ ran 𝐺
113111, 112nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
114 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑗 𝑧 ≀ π‘₯
115 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
1161153adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
117 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧)
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧)
119118eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 = (πΊβ€˜π‘—))
120119adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ 𝑧 = (πΊβ€˜π‘—))
121 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
122120, 121eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)
123116, 117, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)
1241233exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
125124ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
126113, 114, 125rexlimd 3263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
127108, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)
128127ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯)
129128ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯))
130129reximdv 3170 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯))
13157, 130mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯)
132 suprub 12174 . . . . . . . . . . 11 (((ran 𝐺 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐺 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯) ∧ (πΊβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘€) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
13378, 101, 131, 88, 132syl31anc 1373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘€) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
13472, 89, 59, 100, 133letrd 11370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
135134ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 0 ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
13671, 135eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
137 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
138 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑦) β†’ πœ‘)
139 elpwinss 43726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑍)
140139sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ π‘˜ ∈ 𝑦) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
141140adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑦) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1425, 13sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
143138, 141, 142syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
144 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
145143, 144fmptd 7113 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)):π‘¦βŸΆ(0[,]+∞))
146137, 145sge0xrcl 45091 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ*)
147146adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ*)
148 fzfid 13937 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ Fin)
149 elfzuz 13496 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
150149, 82eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
151150, 142sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
152 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
153151, 152fmptd 7113 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟢(0[,]+∞))
154153adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟢(0[,]+∞))
155148, 154sge0xrcl 45091 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ*)
156155adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ*)
15760adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
158157adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
159 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ πœ‘)
160150adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
161159, 160, 142syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
162 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
1631, 139, 162ssuzfz 44049 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
164163adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
165148, 161, 164sge0lessmpt 45105 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
166165adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
16778adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ)
168167adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ)
169101adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ ran 𝐺 β‰  βˆ…)
170169adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ ran 𝐺 β‰  βˆ…)
171131adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯)
172171adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯)
173159, 160, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,)+∞))
174148, 173sge0fsummpt 45096 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(πΉβ€˜π‘˜))
175174adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(πΉβ€˜π‘˜))
176 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
177139, 1sseqtrdi 4032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
178177adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑦 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
179 uzssz 12842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
1801, 179eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 βŠ† β„€
181139, 180sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† β„€)
182181adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑦 βŠ† β„€)
183 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑦 = βˆ… β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
184183adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
185162adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
186 suprfinzcl 12675 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 βŠ† β„€ ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
187182, 184, 185, 186syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
188178, 187sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
189188adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
19014recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
191159, 160, 190syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
192191adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
193176, 189, 192fsumser 15675 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(πΉβ€˜π‘˜) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜sup(𝑦, ℝ, < )))
19410eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝑀( + , 𝐹) = 𝐺
195194fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . 12 (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜sup(𝑦, ℝ, < )) = (πΊβ€˜sup(𝑦, ℝ, < ))
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜sup(𝑦, ℝ, < )) = (πΊβ€˜sup(𝑦, ℝ, < )))
197175, 193, 1963eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = (πΊβ€˜sup(𝑦, ℝ, < )))
19879adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ Fun 𝐺)
199198adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ Fun 𝐺)
200189, 82eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
20185ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑍 = dom 𝐺)
202200, 201eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺)
203 fvelrn 7078 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺 ∧ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
204199, 202, 203syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (πΊβ€˜sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
205197, 204eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ran 𝐺)
206 suprub 12174 . . . . . . . . 9 (((ran 𝐺 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐺 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯) ∧ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ran 𝐺) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
207168, 170, 172, 205, 206syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
208147, 156, 158, 166, 207xrletrd 13140 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
209136, 208pm2.61dan 811 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
210209ralrimiva 3146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
211 nfv 1917 . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
212211, 3, 142, 60sge0lefimpt 45129 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
213210, 212mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
21462, 213eqbrtrd 5170 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
21536ssriv 3986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍)
2173, 142, 216sge0lessmpt 45105 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
2182173ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
219 fzfid 13937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
22036, 13sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,)+∞))
221219, 220sge0fsummpt 45096 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
2222213ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
22334, 37, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
22434, 37, 190syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
225223, 33, 224fsumser 15675 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
2262253adant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
227222, 226eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
228194fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (πΊβ€˜π‘—)
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (πΊβ€˜π‘—))
230 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧)
231227, 229, 2303eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
232623ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
233231, 232breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ) ↔ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))))
234218, 233mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
2352343exp 1119 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))))
236235adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))))
237236rexlimdv 3153 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ)))
238107, 237mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
239238ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
2403, 7sge0cl 45087 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ (0[,]+∞))
24159ltpnfd 13100 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) < +∞)
2428, 60, 91, 214, 241xrlelttrd 13138 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) < +∞)
2438, 91, 242xrgtned 44022 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ +∞ β‰  (Ξ£^β€˜πΉ))
244243necomd 2996 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) β‰  +∞)
245 ge0xrre 44234 . . . . . 6 (((Ξ£^β€˜πΉ) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Ξ£^β€˜πΉ) β‰  +∞) β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ ℝ)
246240, 244, 245syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ ℝ)
247 suprleub 12179 . . . . 5 (((ran 𝐺 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐺 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯) ∧ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≀ (Ξ£^β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ)))
24878, 101, 131, 246, 247syl31anc 1373 . . . 4 (πœ‘ β†’ (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≀ (Ξ£^β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ)))
249239, 248mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
2508, 60, 214, 249xrletrid 13133 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
251 climuni 15495 . . 3 ((𝐺 ⇝ 𝐡 ∧ 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < )) β†’ 𝐡 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
25224, 58, 251syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
253250, 252eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  [,)cico 13325  [,]cicc 13326  ...cfz 13483  seqcseq 13965  abscabs 15180   ⇝ cli 15427  Ξ£csu 15631  Ξ£^csumge0 45068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-sumge0 45069
This theorem is referenced by:  sge0isummpt  45136
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