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Theorem sge0isum 45441
Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0isum.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
sge0isum.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
sge0isum.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(0[,)+∞))
sge0isum.g 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
sge0isum.gcnv (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
sge0isum (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = 𝐡)

Proof of Theorem sge0isum
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0isum.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
21fvexi 6904 . . . . 5 𝑍 ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
4 sge0isum.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(0[,)+∞))
5 icossicc 13417 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞))
74, 6fssd 6734 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(0[,]+∞))
83, 7sge0xrcl 45399 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
9 sge0isum.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
10 sge0isum.g . . . . . 6 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
11 eqidd 2731 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
12 rge0ssre 13437 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
134ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,)+∞))
1412, 13sselid 3979 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
15 0xr 11265 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ∈ ℝ*)
17 pnfxr 11272 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
19 icogelb 13379 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
2016, 18, 13, 19syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
21 seqex 13972 . . . . . . . . . . 11 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
2210, 21eqeltri 2827 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V)
24 sge0isum.gcnv . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 𝐡)
25 climcl 15447 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ⇝ 𝐡 β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
27 breldmg 5908 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐺 ⇝ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
2823, 26, 24, 27syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
2910a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
3029fveq1d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
311eleq2i 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3231biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3332adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
34 simpll 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ πœ‘)
35 elfzuz 13501 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3635, 1eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3736adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3834, 37, 14syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
39 readdcl 11195 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + 𝑖) ∈ ℝ)
4039adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ + 𝑖) ∈ ℝ)
4133, 38, 40seqcl 13992 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
4230, 41eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
4342recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
4443ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
451climbdd 15622 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯)
469, 28, 44, 45syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯)
4742ad4ant13 747 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
4843ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
4948abscld 15387 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ ℝ)
50 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5147leabsd 15365 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)))
52 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯)
5347, 49, 50, 51, 52letrd 11375 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
5453ex 411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
5554ralimdva 3165 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
5655reximdva 3166 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (absβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
5746, 56mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
581, 10, 9, 11, 14, 20, 57isumsup2 15796 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
591, 9, 58, 42climrecl 15531 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6059rexrd 11268 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
614feqmptd 6959 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
6261fveq2d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
63 mpteq1 5240 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
6463fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
65 mpt0 6691 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) = βˆ…
6665fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . 12 (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = (Ξ£^β€˜βˆ…)
67 sge00 45390 . . . . . . . . . . . 12 (Ξ£^β€˜βˆ…) = 0
6866, 67eqtri 2758 . . . . . . . . . . 11 (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = 0
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ βˆ… ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = 0)
7064, 69eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (𝑦 = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = 0)
7170adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = 0)
72 0red 11221 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
7339adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ + 𝑖) ∈ ℝ)
741, 9, 14, 73seqf 13993 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„)
7510a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
7675feq1d 6701 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘βŸΆβ„ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„))
7774, 76mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
7877frnd 6724 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ)
7977ffund 6720 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Fun 𝐺)
80 uzid 12841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
819, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
821eqcomi 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = 𝑍
8381, 82eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
8477fdmd 6727 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = 𝑍)
8584eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑍 = dom 𝐺)
8683, 85eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ dom 𝐺)
87 fvelrn 7077 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐺 ∧ 𝑀 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐺)
8879, 86, 87syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐺)
8978, 88sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
9015a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
9117a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
924, 83ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,)+∞))
93 icogelb 13379 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
9490, 91, 92, 93syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘€))
9510fveq1i 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (πΊβ€˜π‘€) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€)
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘€) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€))
97 seq1 13983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
989, 97syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘€))
9996, 98eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΊβ€˜π‘€))
10094, 99breqtrd 5173 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘€))
10188ne0d 4334 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 β‰  βˆ…)
102 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
10377ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑍)
104 fvelrnb 6951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Fn 𝑍 β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧))
106105adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧))
107102, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧)
108107adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧)
109 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘—πœ‘
110 nfra1 3279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘—βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯
111109, 110nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
112 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ ran 𝐺
113111, 112nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
114 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑗 𝑧 ≀ π‘₯
115 rspa 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
1161153adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
117 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧)
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧)
119118eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 = (πΊβ€˜π‘—))
120119adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ 𝑧 = (πΊβ€˜π‘—))
121 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
122120, 121eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)
123116, 117, 122syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)
1241233exp 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
125124ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)))
126113, 114, 125rexlimd 3261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ π‘₯))
127108, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑧 ≀ π‘₯)
128127ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯)
129128ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯))
130129reximdv 3168 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯))
13157, 130mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯)
132 suprub 12179 . . . . . . . . . . 11 (((ran 𝐺 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐺 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯) ∧ (πΊβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘€) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
13378, 101, 131, 88, 132syl31anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘€) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
13472, 89, 59, 100, 133letrd 11375 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
135134ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 0 ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
13671, 135eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
137 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
138 simpll 763 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑦) β†’ πœ‘)
139 elpwinss 44037 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑍)
140139sselda 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ π‘˜ ∈ 𝑦) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
141140adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑦) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1425, 13sselid 3979 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
143138, 141, 142syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
144 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
145143, 144fmptd 7114 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)):π‘¦βŸΆ(0[,]+∞))
146137, 145sge0xrcl 45399 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ*)
147146adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ*)
148 fzfid 13942 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ Fin)
149 elfzuz 13501 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
150149, 82eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
151150, 142sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
152 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))
153151, 152fmptd 7114 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟢(0[,]+∞))
154153adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟢(0[,]+∞))
155148, 154sge0xrcl 45399 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ*)
156155adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ*)
15760adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
158157adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
159 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ πœ‘)
160150adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
161159, 160, 142syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
162 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
1631, 139, 162ssuzfz 44357 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
164163adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
165148, 161, 164sge0lessmpt 45413 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
166165adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
16778adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ)
168167adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ)
169101adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ ran 𝐺 β‰  βˆ…)
170169adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ ran 𝐺 β‰  βˆ…)
171131adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯)
172171adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯)
173159, 160, 13syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,)+∞))
174148, 173sge0fsummpt 45404 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(πΉβ€˜π‘˜))
175174adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(πΉβ€˜π‘˜))
176 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
177139, 1sseqtrdi 4031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
178177adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑦 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
179 uzssz 12847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
1801, 179eqsstri 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 βŠ† β„€
181139, 180sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† β„€)
182181adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑦 βŠ† β„€)
183 neqne 2946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑦 = βˆ… β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
184183adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
185162adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
186 suprfinzcl 12680 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 βŠ† β„€ ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ 𝑦 ∈ Fin) β†’ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
187182, 184, 185, 186syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
188178, 187sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
189188adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
19014recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
191159, 160, 190syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
192191adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
193176, 189, 192fsumser 15680 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(πΉβ€˜π‘˜) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜sup(𝑦, ℝ, < )))
19410eqcomi 2739 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝑀( + , 𝐹) = 𝐺
195194fveq1i 6891 . . . . . . . . . . . 12 (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜sup(𝑦, ℝ, < )) = (πΊβ€˜sup(𝑦, ℝ, < ))
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜sup(𝑦, ℝ, < )) = (πΊβ€˜sup(𝑦, ℝ, < )))
197175, 193, 1963eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = (πΊβ€˜sup(𝑦, ℝ, < )))
19879adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ Fun 𝐺)
199198adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ Fun 𝐺)
200189, 82eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
20185ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑍 = dom 𝐺)
202200, 201eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺)
203 fvelrn 7077 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺 ∧ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
204199, 202, 203syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (πΊβ€˜sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
205197, 204eqeltrd 2831 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ran 𝐺)
206 suprub 12179 . . . . . . . . 9 (((ran 𝐺 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐺 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯) ∧ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ∈ ran 𝐺) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
207168, 170, 172, 205, 206syl31anc 1371 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
208147, 156, 158, 166, 207xrletrd 13145 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
209136, 208pm2.61dan 809 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
210209ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
211 nfv 1915 . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
212211, 3, 142, 60sge0lefimpt 45437 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑦 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
213210, 212mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
21462, 213eqbrtrd 5169 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
21536ssriv 3985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍)
2173, 142, 216sge0lessmpt 45413 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
2182173ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
219 fzfid 13942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
22036, 13sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,)+∞))
221219, 220sge0fsummpt 45404 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
2222213ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
22334, 37, 11syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
22434, 37, 190syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
225223, 33, 224fsumser 15680 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
2262253adant3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
227222, 226eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
228194fveq1i 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (πΊβ€˜π‘—)
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (πΊβ€˜π‘—))
230 simp3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧)
231227, 229, 2303eqtrrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
232623ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
233231, 232breq12d 5160 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ) ↔ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))))
234218, 233mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
2352343exp 1117 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))))
236235adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))))
237236rexlimdv 3151 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ)))
238107, 237mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
239238ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
2403, 7sge0cl 45395 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ (0[,]+∞))
24159ltpnfd 13105 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) < +∞)
2428, 60, 91, 214, 241xrlelttrd 13143 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) < +∞)
2438, 91, 242xrgtned 44330 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ +∞ β‰  (Ξ£^β€˜πΉ))
244243necomd 2994 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) β‰  +∞)
245 ge0xrre 44542 . . . . . 6 (((Ξ£^β€˜πΉ) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Ξ£^β€˜πΉ) β‰  +∞) β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ ℝ)
246240, 244, 245syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ ℝ)
247 suprleub 12184 . . . . 5 (((ran 𝐺 βŠ† ℝ ∧ ran 𝐺 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ π‘₯) ∧ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≀ (Ξ£^β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ)))
24878, 101, 131, 246, 247syl31anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≀ (Ξ£^β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ)))
249239, 248mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
2508, 60, 214, 249xrletrid 13138 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
251 climuni 15500 . . 3 ((𝐺 ⇝ 𝐡 ∧ 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < )) β†’ 𝐡 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
25224, 58, 251syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
253250, 252eqtr4d 2773 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  [,)cico 13330  [,]cicc 13331  ...cfz 13488  seqcseq 13970  abscabs 15185   ⇝ cli 15432  Ξ£csu 15636  Ξ£^csumge0 45376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-sumge0 45377
This theorem is referenced by:  sge0isummpt  45444
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