Theorem sge0isum 47710

Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0isum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sge0isum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sge0isum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
sge0isum.g	⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
sge0isum.gcnv	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0isum	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = 𝐵)

Proof of Theorem sge0isum

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0isum.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	fvexi 6930	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
4		sge0isum.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
5		icossicc 13607	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
7	4, 6	fssd 6757	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(0[,]+∞))
8	3, 7	sge0xrcl 47668	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
9		sge0isum.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		sge0isum.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
11		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
12		rge0ssre 13627	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
13	4	ffvelcdmda 7116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,)+∞))
14	12, 13	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
15		0xr 11395	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
17		pnfxr 11402	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
19		icogelb 13567	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
20	16, 18, 13, 19	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
21		seqex 14186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
22	10, 21	eqeltri 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
24		sge0isum.gcnv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
25		climcl 15710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
27		breldmg 5903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ⇝ 𝐵) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
28	23, 26, 24, 27	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
29	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
30	29	fveq1d 6918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
31	1	eleq2i 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	bilani 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
34		elfzuz 13692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35	34, 1	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	33, 36, 14	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
38		readdcl 11322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
39	38	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
40	32, 37, 39	seqcl 14205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
41	30, 40	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
43	42	ralrimiva 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
44	1	climbdd 15883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥)
45	9, 28, 43, 44	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥)
46	41	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℝ)
47	42	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
48	47	abscld 15650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐺‘𝑗)) ∈ ℝ)
49		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
50	46	leabsd 15626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺‘𝑗) ≤ (abs‘(𝐺‘𝑗)))
51		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥)
52	46, 48, 49, 50, 51	letrd 11506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
53	52	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥 → (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥))
54	53	ralimdva 3178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥 → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥))
55	54	reximdva 3179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐺‘𝑗)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥))
56	45, 55	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
57	1, 10, 9, 11, 14, 20, 56	isumsup2 16059	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
58	1, 9, 57, 41	climrecl 15794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
59	58	rexrd 11398	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
60	4	feqmptd 6984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
61	60	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
62		mpteq1 5200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
63	62	fveq2d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))))
64		mpt0 6711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
65	64	fveq2i 6919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (Σ^‘∅)
66		sge00 47659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Σ^‘∅) = 0
67	65, 66	eqtri 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0)
69	63, 68	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0)
70	69	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) = 0)
71		0red 11350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
72	38	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
73	1, 9, 14, 72	seqf 14206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
74	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
75	74	feq1d 6721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ))
76	73, 75	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
77	76	frnd 6748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
78	76	ffund 6744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
79		uzid 13020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
80	9, 79	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
81	1	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍
82	80, 81	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
83	76	fdmd 6750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑍)
84	83	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = dom 𝐺)
85	82, 84	eleqtrd 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ dom 𝐺)
86		fvelrn 7108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑀 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑀) ∈ ran 𝐺)
87	78, 85, 86	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑀) ∈ ran 𝐺)
88	77, 87	sseldd 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑀) ∈ ℝ)
89	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
90	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
91	4, 82	ffvelcdmd 7117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ (0[,)+∞))
92		icogelb 13567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑀))
93	89, 90, 91, 92	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝑀))
94	10	fveq1i 6917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺‘𝑀) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀)
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑀) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀))
96		seq1 14197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
97	9, 96	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
98	95, 97	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = (𝐺‘𝑀))
99	93, 98	breqtrd 5137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺‘𝑀))
100	87	ne0d 4291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ≠ ∅)
101		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
102	76	ffnd 6740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑍)
103		fvelrnb 6976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 Fn 𝑍 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧))
104	102, 103	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧))
105	104	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧))
106	101, 105	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧)
107	106	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧)
108		nfv 1949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
109		nfra1 3290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥
110	108, 109	nfan 1934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
111		nfv 1949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑧 ∈ ran 𝐺
112	110, 111	nfan 1934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
113		nfv 1949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑧 ≤ 𝑥
114		rspa 3255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
115	114	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
116		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (𝐺‘𝑗) = 𝑧)
117		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺‘𝑗) = 𝑧 → (𝐺‘𝑗) = 𝑧)
118	117	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 = (𝐺‘𝑗))
119	118	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐺‘𝑗))
120		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
121	119, 120	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → 𝑧 ≤ 𝑥)
122	115, 116, 121	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → 𝑧 ≤ 𝑥)
123	122	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
124	123	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 ≤ 𝑥)))
125	112, 113, 124	rexlimd 3273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 ≤ 𝑥))
126	107, 125	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ≤ 𝑥)
127	126	ralrimiva 3158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥)
128	127	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥))
129	128	reximdv 3181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥))
130	56, 129	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥)
131		suprub 12318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ (𝐺‘𝑀) ∈ ran 𝐺) → (𝐺‘𝑀) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
132	77, 100, 130, 87, 131	syl31anc 1401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑀) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
133	71, 88, 58, 99, 132	letrd 11506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
134	133	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → 0 ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
135	70, 134	eqbrtrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
136		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
137		simpll 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
138		elpwinss 46340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝑍)
139	138	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑍)
140	139	adantll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝑍)
141	5, 13	sselid 3911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
142	137, 140, 141	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
143		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))
144	142, 143	fmptd 7146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝑦⟶(0[,]+∞))
145	136, 144	sge0xrcl 47668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
146	145	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
147		fzfid 14156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ Fin)
148		elfzuz 13692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
149	148, 81	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ 𝑍)
150	149, 141	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
151		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))
152	150, 151	fmptd 7146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟶(0[,]+∞))
153	152	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟶(0[,]+∞))
154	147, 153	sge0xrcl 47668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
155	154	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ*)
156	59	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
157	156	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
158		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → 𝜑)
159	149	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
160	158, 159, 141	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
161		elinel2 4102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
162	1, 138, 161	ssuzfz 46634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
163	162	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
164	147, 160, 163	sge0lessmpt 47682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))))
165	164	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))))
166	77	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
167	166	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
168	100	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ran 𝐺 ≠ ∅)
169	168	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ran 𝐺 ≠ ∅)
170	130	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥)
171	170	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥)
172	158, 159, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,)+∞))
173	147, 172	sge0fsummpt 47673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹‘𝑘))
174	173	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹‘𝑘))
175		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
176	138, 1	sseqtrdi 3953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
177	176	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
178		uzssz 13026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
179	1, 178	eqsstri 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
180	138, 179	sstrdi 3925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ ℤ)
181	180	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ⊆ ℤ)
182		neqne 2967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
183	182	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
184	161	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
185		suprfinzcl 12853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
186	181, 183, 184, 185	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
187	177, 186	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
188	187	adantll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
189	14	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
190	158, 159, 189	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
191	190	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
192	175, 188, 191	fsumser 15940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹‘𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )))
193	10	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = 𝐺
194	193	fveq1i 6917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < ))
195	194	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )))
196	174, 192, 195	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )))
197	78	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Fun 𝐺)
198	197	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → Fun 𝐺)
199	188, 81	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
200	84	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑍 = dom 𝐺)
201	199, 200	eleqtrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺)
202		fvelrn 7108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
203	198, 201, 202	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
204	196, 203	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ran 𝐺)
205		suprub 12318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) ∈ ran 𝐺) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
206	167, 169, 171, 204, 205	syl31anc 1401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
207	146, 155, 157, 165, 206	xrletrd 13331	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
208	135, 207	pm2.61dan 825	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
209	208	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
210		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
211	210, 3, 141, 59	sge0lefimpt 47706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑦 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
212	209, 211	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
213	61, 212	eqbrtrd 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
214	35	ssriv 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
215	214	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍)
216	3, 141, 215	sge0lessmpt 47682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
217	216	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
218		fzfid 14156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
219	35, 13	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,)+∞))
220	218, 219	sge0fsummpt 47673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑘))
221	220	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑘))
222	33, 36, 11	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
223	33, 36, 189	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
224	222, 32, 223	fsumser 15940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
225	224	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹‘𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
226	221, 225	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
227	193	fveq1i 6917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
228	227	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
229		simp3 1156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (𝐺‘𝑗) = 𝑧)
230	226, 228, 229	3eqtrrd 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))))
231	61	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘𝐹) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
232	230, 231	breq12d 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → (𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹) ↔ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹‘𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
233	217, 232	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐺‘𝑗) = 𝑧) → 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹))
234	233	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹))))
235	234	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹))))
236	235	rexlimdv 3165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) = 𝑧 → 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹)))
237	106, 236	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹))
238	237	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹))
239	3, 7	sge0cl 47664	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ (0[,]+∞))
240	58	ltpnfd 13290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) < +∞)
241	8, 59, 90, 213, 240	xrlelttrd 13329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) < +∞)
242	8, 90, 241	xrgtned 13333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ≠ (Σ^‘𝐹))
243	242	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ≠ +∞)
244		ge0xrre 46816	. . . . . 6 ⊢ (((Σ^‘𝐹) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Σ^‘𝐹) ≠ +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
245	239, 243, 244	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
246		suprleub 12323	. . . . 5 ⊢ (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^‘𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹)))
247	77, 100, 130, 245, 246	syl31anc 1401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^‘𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^‘𝐹)))
248	238, 247	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^‘𝐹))
249	8, 59, 213, 248	xrletrid 13324	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
250		climuni 15763	. . 3 ⊢ ((𝐺 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < )) → 𝐵 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
251	24, 57, 250	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
252	249, 251	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658  ran crn 5659  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  supcsup 9469  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239   + caddc 11242  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  [,)cico 13518  [,]cicc 13519  ...cfz 13679  seqcseq 14184  abscabs 15444   ⇝ cli 15695  Σcsu 15897  Σ^{^}csumge0 47645

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-sumge0 47646

This theorem is used by:  sge0isummpt  47713