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Theorem sge0isum 43005
 Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0isum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0isum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0isum.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
sge0isum.g 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
sge0isum.gcnv (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0isum (𝜑 → (Σ^𝐹) = 𝐵)

Proof of Theorem sge0isum
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0isum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
21fvexi 6666 . . . . 5 𝑍 ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ V)
4 sge0isum.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
5 icossicc 12814 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
74, 6fssd 6509 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,]+∞))
83, 7sge0xrcl 42963 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
9 sge0isum.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
10 sge0isum.g . . . . . 6 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
11 eqidd 2823 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
12 rge0ssre 12834 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
134ffvelrnda 6833 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
1412, 13sseldi 3940 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
15 0xr 10677 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
17 pnfxr 10684 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
19 icogelb 12776 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2016, 18, 13, 19syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
21 seqex 13366 . . . . . . . . . . 11 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
2210, 21eqeltri 2910 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ V)
24 sge0isum.gcnv . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐵)
25 climcl 14847 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝐵𝐵 ∈ ℂ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
27 breldmg 5755 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
2823, 26, 24, 27syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ )
2910a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
3029fveq1d 6654 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
311eleq2i 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
3231biimpi 219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
3332adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
34 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
35 elfzuz 12898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3635, 1eleqtrrdi 2925 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3736adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘𝑍)
3834, 37, 14syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
39 readdcl 10609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
4039adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
4133, 38, 40seqcl 13386 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
4230, 41eqeltrd 2914 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℝ)
4342recnd 10658 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
4443ralrimiva 3174 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
451climbdd 15019 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥)
469, 28, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥)
4742ad4ant13 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺𝑗) ∈ ℝ)
4843ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
4948abscld 14787 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ)
50 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5147leabsd 14765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺𝑗) ≤ (abs‘(𝐺𝑗)))
52 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥)
5347, 49, 50, 51, 52letrd 10786 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
5453ex 416 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → ((abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥 → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥))
5554ralimdva 3169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥 → ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥))
5655reximdva 3260 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥))
5746, 56mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
581, 10, 9, 11, 14, 20, 57isumsup2 15192 . . . . 5 (𝜑𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
591, 9, 58, 42climrecl 14931 . . . 4 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6059rexrd 10680 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
614feqmptd 6715 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
6261fveq2d 6656 . . . 4 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
63 mpteq1 5130 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → (𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘)))
6463fveq2d 6656 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘))))
65 mpt0 6470 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘)) = ∅
6665fveq2i 6655 . . . . . . . . . . . 12 ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘))) = (Σ^‘∅)
67 sge00 42954 . . . . . . . . . . . 12 ^‘∅) = 0
6866, 67eqtri 2845 . . . . . . . . . . 11 ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘))) = 0
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘))) = 0)
7064, 69eqtrd 2857 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) = 0)
7170adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) = 0)
72 0red 10633 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7339adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
741, 9, 14, 73seqf 13387 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
7510a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
7675feq1d 6479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ))
7774, 76mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
7877frnd 6501 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
7977ffund 6498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Fun 𝐺)
80 uzid 12246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
819, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
821eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) = 𝑍
8381, 82eleqtrdi 2924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑍)
8477fdmd 6504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑍)
8584eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 = dom 𝐺)
8683, 85eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ dom 𝐺)
87 fvelrn 6826 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐺𝑀 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑀) ∈ ran 𝐺)
8879, 86, 87syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑀) ∈ ran 𝐺)
8978, 88sseldd 3943 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑀) ∈ ℝ)
9015a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
9117a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
924, 83ffvelrnd 6834 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ (0[,)+∞))
93 icogelb 12776 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑀) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑀))
9490, 91, 92, 93syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑀))
9510fveq1i 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝑀) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀)
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺𝑀) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀))
97 seq1 13377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
989, 97syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
9996, 98eqtr2d 2858 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀))
10094, 99breqtrd 5068 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝐺𝑀))
10188ne0d 4273 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran 𝐺 ≠ ∅)
102 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
10377ffnd 6495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
104 fvelrnb 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Fn 𝑍 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
106105adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
107102, 106mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧)
108107adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧)
109 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝜑
110 nfra1 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥
111109, 110nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
112 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗 𝑧 ∈ ran 𝐺
113111, 112nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
114 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗 𝑧𝑥
115 rspa 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
1161153adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
117 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) = 𝑧)
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺𝑗) = 𝑧 → (𝐺𝑗) = 𝑧)
119118eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 = (𝐺𝑗))
120119adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐺𝑗))
121 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
122120, 121eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧𝑥)
123116, 117, 122syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧𝑥)
1241233exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥 → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧𝑥)))
125124ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧𝑥)))
126113, 114, 125rexlimd 3303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧𝑧𝑥))
127108, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧𝑥)
128127ralrimiva 3174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥)
129128ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥))
130129reximdv 3259 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥))
13157, 130mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥)
132 suprub 11589 . . . . . . . . . . 11 (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥) ∧ (𝐺𝑀) ∈ ran 𝐺) → (𝐺𝑀) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
13378, 101, 131, 88, 132syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑀) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
13472, 89, 59, 100, 133letrd 10786 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
135134ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → 0 ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
13671, 135eqbrtrd 5064 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
137 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
138 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
139 elpwinss 41617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦𝑍)
140139sselda 3942 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑍)
141140adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑍)
1425, 13sseldi 3940 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
143138, 141, 142syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
144 eqid 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))
145143, 144fmptd 6860 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘)):𝑦⟶(0[,]+∞))
146137, 145sge0xrcl 42963 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
147146adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
148 fzfid 13336 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ Fin)
149 elfzuz 12898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
150149, 82eleqtrdi 2924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) → 𝑘𝑍)
151150, 142sylan2 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
152 eqid 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))
153151, 152fmptd 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟶(0[,]+∞))
154153adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟶(0[,]+∞))
155148, 154sge0xrcl 42963 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
156155adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
15760adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
158157adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
159 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → 𝜑)
160150adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → 𝑘𝑍)
161159, 160, 142syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
162 elinel2 4147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1631, 139, 162ssuzfz 41920 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
164163adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
165148, 161, 164sge0lessmpt 42977 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))))
166165adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))))
16778adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
168167adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
169101adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ran 𝐺 ≠ ∅)
170169adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ran 𝐺 ≠ ∅)
171131adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥)
172171adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥)
173159, 160, 13syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
174148, 173sge0fsummpt 42968 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹𝑘))
175174adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹𝑘))
176 eqidd 2823 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
177139, 1sseqtrdi 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (ℤ𝑀))
178177adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ⊆ (ℤ𝑀))
179 uzssz 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
1801, 179eqsstri 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 ⊆ ℤ
181139, 180sstrdi 3954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ ℤ)
182181adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ⊆ ℤ)
183 neqne 3019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
184183adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
185162adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
186 suprfinzcl 12085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
187182, 184, 185, 186syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
188178, 187sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀))
189188adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀))
19014recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
191159, 160, 190syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
192191adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
193176, 189, 192fsumser 15078 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )))
19410eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝑀( + , 𝐹) = 𝐺
195194fveq1i 6653 . . . . . . . . . . . 12 (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < ))
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )))
197175, 193, 1963eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )))
19879adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Fun 𝐺)
199198adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → Fun 𝐺)
200189, 82eleqtrdi 2924 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
20185ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑍 = dom 𝐺)
202200, 201eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺)
203 fvelrn 6826 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺 ∧ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
204199, 202, 203syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
205197, 204eqeltrd 2914 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ran 𝐺)
206 suprub 11589 . . . . . . . . 9 (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ran 𝐺) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
207168, 170, 172, 205, 206syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
208147, 156, 158, 166, 207xrletrd 12543 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
209136, 208pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
210209ralrimiva 3174 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
211 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘𝜑
212211, 3, 142, 60sge0lefimpt 43001 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
213210, 212mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
21462, 213eqbrtrd 5064 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
21536ssriv 3946 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍)
2173, 142, 216sge0lessmpt 42977 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
2182173ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
219 fzfid 13336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
22036, 13sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
221219, 220sge0fsummpt 42968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
2222213ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
22334, 37, 11syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
22434, 37, 190syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
225223, 33, 224fsumser 15078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
2262253adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
227222, 226eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
228194fveq1i 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺𝑗)
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
230 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) = 𝑧)
231227, 229, 2303eqtrrd 2862 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))))
232623ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
233231, 232breq12d 5055 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝑧 ≤ (Σ^𝐹) ↔ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))))
234218, 233mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
2352343exp 1116 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹))))
236235adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹))))
237236rexlimdv 3269 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹)))
238107, 237mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
239238ralrimiva 3174 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
2403, 7sge0cl 42959 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ (0[,]+∞))
24159ltpnfd 12504 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) < +∞)
2428, 60, 91, 214, 241xrlelttrd 12541 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^𝐹) < +∞)
2438, 91, 242xrgtned 41893 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ≠ (Σ^𝐹))
244243necomd 3066 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≠ +∞)
245 ge0xrre 42107 . . . . . 6 (((Σ^𝐹) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Σ^𝐹) ≠ +∞) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
246240, 244, 245syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
247 suprleub 11594 . . . . 5 (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥) ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹)))
24878, 101, 131, 246, 247syl31anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹)))
249239, 248mpbird 260 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^𝐹))
2508, 60, 214, 249xrletrid 12536 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
251 climuni 14900 . . 3 ((𝐺𝐵𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < )) → 𝐵 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
25224, 58, 251syl2anc 587 . 2 (𝜑𝐵 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
253250, 252eqtr4d 2860 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∀wral 3130  ∃wrex 3131  Vcvv 3469   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4265  𝒫 cpw 4511   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  dom cdm 5532  ran crn 5533  Fun wfun 6328   Fn wfn 6329  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  supcsup 8892  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529  +∞cpnf 10661  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  ...cfz 12885  seqcseq 13364  abscabs 14584   ⇝ cli 14832  Σcsu 15033  Σ^csumge0 42940 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-sumge0 42941 This theorem is referenced by:  sge0isummpt  43008
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