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Theorem sge0seq 46402
Description: A series of nonnegative reals agrees with the generalized sum of nonnegative reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0seq.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0seq.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0seq.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
sge0seq.g 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
Assertion
Ref Expression
sge0seq (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Proof of Theorem sge0seq
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 𝑤 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0seq.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 sge0seq.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 rge0ssre 13493 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4 sge0seq.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
54ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
63, 5sselid 3993 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7 readdcl 11236 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
91, 2, 6, 8seqf 14061 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
10 sge0seq.g . . . . . . . 8 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
1211feq1d 6721 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ))
139, 12mpbird 257 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
1413frnd 6745 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
15 ressxr 11303 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
1714, 16sstrd 4006 . . 3 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℝ*)
181fvexi 6921 . . . . 5 𝑍 ∈ V
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ V)
20 icossicc 13473 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
224, 21fssd 6754 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,]+∞))
2319, 22sge0xrcl 46341 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
24 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
2513ffnd 6738 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
26 fvelrnb 6969 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝑍 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
2827adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
2924, 28mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧)
3020, 5sselid 3993 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
31 elfzuz 13557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3231, 1eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3332ssriv 3999 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍)
3519, 30, 34sge0lessmpt 46355 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
36353ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
37 fzfid 14011 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
3832, 5sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
3937, 38sge0fsummpt 46346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
40393ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
41 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
4232adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘𝑍)
43 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4441, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
451eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
4645biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
486recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4941, 42, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5044, 47, 49fsumser 15763 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
51503adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
5240, 51eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
5310eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝑀( + , 𝐹) = 𝐺
5453fveq1i 6908 . . . . . . . . . . . 12 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺𝑗)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
56 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) = 𝑧)
5752, 55, 563eqtrrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))))
584feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
5958fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
60593ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
6157, 60breq12d 5161 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝑧 ≤ (Σ^𝐹) ↔ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))))
6236, 61mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
63623exp 1118 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹))))
6463adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹))))
6564rexlimdv 3151 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹)))
6629, 65mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
6766ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
68 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹))
6918a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑍 ∈ V)
705ad4ant14 752 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
71 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑧 ∈ ℝ)
72 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑧 < (Σ^𝐹))
7359adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 < (Σ^𝐹)) → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
7472, 73breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑧 < (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
7574adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑧 < (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
7668, 69, 70, 71, 75sge0gtfsumgt 46399 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘))
7723ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
78 elpwinss 44989 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑤𝑍)
79783ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → 𝑤𝑍)
80 elinel2 4212 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑤 ∈ Fin)
81803ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → 𝑤 ∈ Fin)
8277, 1, 79, 81uzfissfz 45276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → ∃𝑗𝑍 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗))
83823adant1r 1176 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → ∃𝑗𝑍 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗))
84 simpl1r 1224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → 𝑧 ∈ ℝ)
8580adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑤 ∈ Fin)
8658, 6fmpt3d 7136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
8786ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
8878sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘𝑍)
8988adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘𝑍)
9087, 89ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9185, 90fsumrecl 15767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9291ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
93923adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9432, 6sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9537, 94fsumrecl 15767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9695ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
97963adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
98 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘))
9937adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
10094adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
101 0xr 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℝ*
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
103 pnfxr 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 +∞ ∈ ℝ*
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
105 icogelb 13435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
106102, 104, 5, 105syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
10732, 106sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
108107adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
109 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗))
11099, 100, 108, 109fsumless 15829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
111110adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
1121113ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
11384, 93, 97, 98, 112ltletrd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
114113ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → (𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗) → 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)))
115114reximdv 3168 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → (∃𝑗𝑍 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)))
11683, 115mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
1171163exp 1118 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))))
118117adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → (𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))))
119118rexlimdv 3151 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)))
12076, 119mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
1219ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn 𝑍)
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → seq𝑀( + , 𝐹) Fn 𝑍)
12347, 45sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
124 fnfvelrn 7100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn 𝑍𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ran seq𝑀( + , 𝐹))
125122, 123, 124syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ran seq𝑀( + , 𝐹))
12610a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
127126rneqd 5952 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → ran 𝐺 = ran seq𝑀( + , 𝐹))
12850, 127eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ran seq𝑀( + , 𝐹)))
129125, 128mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺)
130129adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺)
1311303adant3 1131 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺)
132 simp3 1137 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)) → 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
133 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) → (𝑧 < 𝑦𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)))
134133rspcev 3622 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)
135131, 132, 134syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)
1361353exp 1118 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)))
137136rexlimdv 3151 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
138137adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → (∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
139120, 138mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)
140139ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 < (Σ^𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
141140ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < (Σ^𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
142 supxr2 13353 . . 3 (((ran 𝐺 ⊆ ℝ* ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < (Σ^𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))) → sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = (Σ^𝐹))
14317, 23, 67, 141, 142syl22anc 839 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = (Σ^𝐹))
144143eqcomd 2741 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  supcsup 9478  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cz 12611  cuz 12876  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  seqcseq 14039  Σcsu 15719  Σ^csumge0 46318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319
This theorem is referenced by:  voliunsge0lem  46428  ovolval2  46600
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