Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0seq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0seq 44619
Description: A series of nonnegative reals agrees with the generalized sum of nonnegative reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0seq.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0seq.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0seq.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
sge0seq.g 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
Assertion
Ref Expression
sge0seq (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Proof of Theorem sge0seq
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 𝑤 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0seq.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 sge0seq.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 rge0ssre 13365 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4 sge0seq.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
54ffvelcdmda 7031 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
63, 5sselid 3940 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7 readdcl 11130 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
91, 2, 6, 8seqf 13921 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
10 sge0seq.g . . . . . . . 8 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
1211feq1d 6650 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ))
139, 12mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
1413frnd 6673 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
15 ressxr 11195 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
1714, 16sstrd 3952 . . 3 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℝ*)
181fvexi 6853 . . . . 5 𝑍 ∈ V
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ V)
20 icossicc 13345 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
224, 21fssd 6683 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,]+∞))
2319, 22sge0xrcl 44558 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
24 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
2513ffnd 6666 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
26 fvelrnb 6900 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝑍 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
2827adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
2924, 28mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧)
3020, 5sselid 3940 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
31 elfzuz 13429 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3231, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3332ssriv 3946 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍)
3519, 30, 34sge0lessmpt 44572 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
36353ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
37 fzfid 13870 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
3832, 5sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
3937, 38sge0fsummpt 44563 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
40393ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
41 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
4232adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘𝑍)
43 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4441, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
451eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
4645biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
486recnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4941, 42, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5044, 47, 49fsumser 15607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
51503adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
5240, 51eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
5310eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝑀( + , 𝐹) = 𝐺
5453fveq1i 6840 . . . . . . . . . . . 12 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺𝑗)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
56 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) = 𝑧)
5752, 55, 563eqtrrd 2781 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))))
584feqmptd 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
5958fveq2d 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
60593ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
6157, 60breq12d 5116 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝑧 ≤ (Σ^𝐹) ↔ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))))
6236, 61mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
63623exp 1119 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹))))
6463adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹))))
6564rexlimdv 3148 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹)))
6629, 65mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
6766ralrimiva 3141 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
68 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹))
6918a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑍 ∈ V)
705ad4ant14 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
71 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑧 ∈ ℝ)
72 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑧 < (Σ^𝐹))
7359adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 < (Σ^𝐹)) → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
7472, 73breqtrd 5129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑧 < (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
7574adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑧 < (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
7668, 69, 70, 71, 75sge0gtfsumgt 44616 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘))
7723ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
78 elpwinss 43199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑤𝑍)
79783ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → 𝑤𝑍)
80 elinel2 4154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑤 ∈ Fin)
81803ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → 𝑤 ∈ Fin)
8277, 1, 79, 81uzfissfz 43496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → ∃𝑗𝑍 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗))
83823adant1r 1177 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → ∃𝑗𝑍 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗))
84 simpl1r 1225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → 𝑧 ∈ ℝ)
8580adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑤 ∈ Fin)
8658, 6fmpt3d 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
8786ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
8878sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘𝑍)
8988adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘𝑍)
9087, 89ffvelcdmd 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9185, 90fsumrecl 15611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9291ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
93923adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9432, 6sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9537, 94fsumrecl 15611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9695ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
97963adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
98 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘))
9937adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
10094adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
101 0xr 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℝ*
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
103 pnfxr 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 +∞ ∈ ℝ*
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
105 icogelb 13307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
106102, 104, 5, 105syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
10732, 106sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
108107adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
109 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗))
11099, 100, 108, 109fsumless 15673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
111110adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
1121113ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
11384, 93, 97, 98, 112ltletrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
114113ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → (𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗) → 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)))
115114reximdv 3165 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → (∃𝑗𝑍 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)))
11683, 115mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
1171163exp 1119 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))))
118117adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → (𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))))
119118rexlimdv 3148 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)))
12076, 119mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
1219ffnd 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn 𝑍)
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → seq𝑀( + , 𝐹) Fn 𝑍)
12347, 45sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
124 fnfvelrn 7028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn 𝑍𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ran seq𝑀( + , 𝐹))
125122, 123, 124syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ran seq𝑀( + , 𝐹))
12610a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
127126rneqd 5891 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → ran 𝐺 = ran seq𝑀( + , 𝐹))
12850, 127eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ran seq𝑀( + , 𝐹)))
129125, 128mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺)
130129adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺)
1311303adant3 1132 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺)
132 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)) → 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
133 breq2 5107 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) → (𝑧 < 𝑦𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)))
134133rspcev 3579 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)
135131, 132, 134syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)
1361353exp 1119 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)))
137136rexlimdv 3148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
138137adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → (∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
139120, 138mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)
140139ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 < (Σ^𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
141140ralrimiva 3141 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < (Σ^𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
142 supxr2 13225 . . 3 (((ran 𝐺 ⊆ ℝ* ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < (Σ^𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))) → sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = (Σ^𝐹))
14317, 23, 67, 141, 142syl22anc 837 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = (Σ^𝐹))
144143eqcomd 2742 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3443  cin 3907  wss 3908  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5103  cmpt 5186  ran crn 5632   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  supcsup 9372  cc 11045  cr 11046  0cc0 11047   + caddc 11050  +∞cpnf 11182  *cxr 11184   < clt 11185  cle 11186  cz 12495  cuz 12759  [,)cico 13258  [,]cicc 13259  ...cfz 13416  seqcseq 13898  Σcsu 15562  Σ^csumge0 44535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-sum 15563  df-sumge0 44536
This theorem is referenced by:  voliunsge0lem  44645  ovolval2  44817
  Copyright terms: Public domain W3C validator