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Theorem sge0seq 45162
Description: A series of nonnegative reals agrees with the generalized sum of nonnegative reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0seq.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
sge0seq.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
sge0seq.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(0[,)+∞))
sge0seq.g 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
Assertion
Ref Expression
sge0seq (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Proof of Theorem sge0seq
Dummy variables 𝑖 π‘˜ 𝑗 𝑀 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0seq.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 sge0seq.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 rge0ssre 13433 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
4 sge0seq.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(0[,)+∞))
54ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,)+∞))
63, 5sselid 3981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7 readdcl 11193 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ + 𝑖) ∈ ℝ)
87adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ + 𝑖) ∈ ℝ)
91, 2, 6, 8seqf 13989 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„)
10 sge0seq.g . . . . . . . 8 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
1110a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
1211feq1d 6703 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺:π‘βŸΆβ„ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„))
139, 12mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆβ„)
1413frnd 6726 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ)
15 ressxr 11258 . . . . 5 ℝ βŠ† ℝ*
1615a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ*)
1714, 16sstrd 3993 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† ℝ*)
181fvexi 6906 . . . . 5 𝑍 ∈ V
1918a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
20 icossicc 13413 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
2120a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞))
224, 21fssd 6736 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(0[,]+∞))
2319, 22sge0xrcl 45101 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
24 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
2513ffnd 6719 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑍)
26 fvelrnb 6953 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝑍 β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧))
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧))
2827adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧))
2924, 28mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧)
3020, 5sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
31 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3231, 1eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3332ssriv 3987 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑗) βŠ† 𝑍)
3519, 30, 34sge0lessmpt 45115 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
36353ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
37 fzfid 13938 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
3832, 5sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,)+∞))
3937, 38sge0fsummpt 45106 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
40393ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
41 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ πœ‘)
4232adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
43 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4441, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
451eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4645biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4746adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
486recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4941, 42, 48syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5044, 47, 49fsumser 15676 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
51503adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
5240, 51eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—))
5310eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝑀( + , 𝐹) = 𝐺
5453fveq1i 6893 . . . . . . . . . . . 12 (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (πΊβ€˜π‘—)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = (πΊβ€˜π‘—))
56 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧)
5752, 55, 563eqtrrd 2778 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
584feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
5958fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
60593ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
6157, 60breq12d 5162 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ (𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ) ↔ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) ≀ (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))))
6236, 61mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧) β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
63623exp 1120 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))))
6463adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))))
6564rexlimdv 3154 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘—) = 𝑧 β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ)))
6629, 65mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
6766ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
68 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ))
6918a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) β†’ 𝑍 ∈ V)
705ad4ant14 751 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,)+∞))
71 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
72 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) β†’ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ))
7359adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
7472, 73breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) β†’ 𝑧 < (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
7574adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) β†’ 𝑧 < (Ξ£^β€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
7668, 69, 70, 71, 75sge0gtfsumgt 45159 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜))
7723ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
78 elpwinss 43736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑍)
79783ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑍)
80 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
81803ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
8277, 1, 79, 81uzfissfz 44036 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗))
83823adant1r 1178 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗))
84 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
8580adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
8658, 6fmpt3d 7116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
8786ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑀) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
8878sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ π‘˜ ∈ 𝑀) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
8988adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑀) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
9087, 89ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9185, 90fsumrecl 15680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9291ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
93923adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9432, 6sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9537, 94fsumrecl 15680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9695ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
97963adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
98 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) β†’ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜))
9937adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) β†’ (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
10094adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
101 0xr 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℝ*
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ∈ ℝ*)
103 pnfxr 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 +∞ ∈ ℝ*
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
105 icogelb 13375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,)+∞)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
106102, 104, 5, 105syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
10732, 106sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
108107adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
109 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) β†’ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗))
11099, 100, 108, 109fsumless 15742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
111110adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
1121113ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
11384, 93, 97, 98, 112ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗)) β†’ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
114113ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗) β†’ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜)))
115114reximdv 3171 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑀 βŠ† (𝑀...𝑗) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜)))
11683, 115mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
1171163exp 1120 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ (𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))))
118117adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) β†’ (𝑀 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ (𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))))
119118rexlimdv 3154 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜)))
12076, 119mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
1219ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) Fn 𝑍)
122121adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ seq𝑀( + , 𝐹) Fn 𝑍)
12347, 45sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
124 fnfvelrn 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ran seq𝑀( + , 𝐹))
125122, 123, 124syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ran seq𝑀( + , 𝐹))
12610a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
127126rneqd 5938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ran 𝐺 = ran seq𝑀( + , 𝐹))
12850, 127eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran 𝐺 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ran seq𝑀( + , 𝐹)))
129125, 128mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran 𝐺)
130129adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran 𝐺)
1311303adant3 1133 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran 𝐺)
132 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜))
133 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜)))
134133rspcev 3613 . . . . . . . . . 10 ((Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ran 𝐺 ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)
135131, 132, 134syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)
1361353exp 1120 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)))
137136rexlimdv 3154 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
138137adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑧 < Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)(πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
139120, 138mpd 15 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)
140139ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
141140ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
142 supxr2 13293 . . 3 (((ran 𝐺 βŠ† ℝ* ∧ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ ℝ*) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐺 𝑧 ≀ (Ξ£^β€˜πΉ) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ (𝑧 < (Ξ£^β€˜πΉ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))) β†’ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = (Ξ£^β€˜πΉ))
14317, 23, 67, 141, 142syl22anc 838 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = (Ξ£^β€˜πΉ))
144143eqcomd 2739 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  supcsup 9435  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  seqcseq 13966  Ξ£csu 15632  Ξ£^csumge0 45078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-sumge0 45079
This theorem is referenced by:  voliunsge0lem  45188  ovolval2  45360
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