Theorem fprodge0 16037

Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodge0.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodge0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodge0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge0.0leb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11244	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11251	. 2 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		fprodge0.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		rge0ssre 13474	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 11145	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3948	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
8		ge0mulcl 13479	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
9	8	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
10		fprodge0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11		fprodge0.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		fprodge0.0leb	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
13		elrege0 13472	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
14	11, 12, 13	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15		1re 11196	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		0le1 11725	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
17		ltpnf 13136	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
19		0re 11198	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		elico2 13428	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
21	19, 2, 20	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
22	15, 16, 18, 21	mpbir3an 1358	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0[,)+∞))
24	3, 7, 9, 10, 14, 23	fprodcllemf 16002	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
25		icogelb 13414	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
26	1, 2, 24, 25	mp3an12i 1489	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101  Ⅎwnf 1806   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  [,)cico 13365  ∏cprod 15947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13369  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-prod 15948

This theorem is referenced by:  fprodle  16040  hoiprodcl  47119  hoiprodcl3  47152  hoidmvcl  47154  hsphoidmvle2  47157  hsphoidmvle  47158