Theorem fprodge0 15959

Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodge0.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodge0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodge0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge0.0leb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11221	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11228	. 2 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		fprodge0.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		rge0ssre 13417	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 11125	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3956	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
8		ge0mulcl 13422	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
10		fprodge0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11		fprodge0.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		fprodge0.0leb	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
13		elrege0 13415	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
14	11, 12, 13	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15		1re 11174	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		0le1 11701	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
17		ltpnf 13080	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
19		0re 11176	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		elico2 13371	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
21	19, 2, 20	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
22	15, 16, 18, 21	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0[,)+∞))
24	3, 7, 9, 10, 14, 23	fprodcllemf 15924	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
25		icogelb 13357	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
26	1, 2, 24, 25	mp3an12i 1467	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  [,)cico 13308  ∏cprod 15869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-prod 15870

This theorem is referenced by:  fprodle  15962  hoiprodcl  46545  hoiprodcl3  46578  hoidmvcl  46580  hsphoidmvle2  46583  hsphoidmvle  46584