MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge0 14964
Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge0.kph 𝑘𝜑
fprodge0.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodge0.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge0.0leb ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodge0 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodge0.kph . . 3 𝑘𝜑
2 elrege0 12518 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
32simplbi 487 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
43ssriv 3813 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5 ax-resscn 10288 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
64, 5sstri 3818 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
8 ge0mulcl 12525 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
98adantl 469 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
10 fprodge0.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
11 fprodge0.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 fprodge0.0leb . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
13 elrege0 12518 . . . 4 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1411, 12, 13sylanbrc 574 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15 1re 10335 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
16 0le1 10846 . . . . . 6 0 ≤ 1
17 ltpnf 12190 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1815, 17ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
1915, 16, 183pm3.2i 1431 . . . . 5 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
20 0e0icopnf 12522 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,)+∞)
214, 20sselii 3806 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
22 pnfxr 10387 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
23 elico2 12475 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
2421, 22, 23mp2an 675 . . . . 5 (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
2519, 24mpbir 222 . . . 4 1 ∈ (0[,)+∞)
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (0[,)+∞))
271, 7, 9, 10, 14, 26fprodcllemf 14929 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
28 0xr 10381 . . . 4 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . 3 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ*)
3022a1i 11 . . 3 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
31 id 22 . . 3 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
32 icogelb 12463 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
3329, 30, 31, 32syl3anc 1483 . 2 (∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
3427, 33syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100  wnf 1863  wcel 2157  wss 3780   class class class wbr 4855  (class class class)co 6884  Fincfn 8202  cc 10229  cr 10230  0cc0 10231  1c1 10232   · cmul 10236  +∞cpnf 10366  *cxr 10368   < clt 10369  cle 10370  [,)cico 12415  cprod 14876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-oadd 7810  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-oi 8664  df-card 9058  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11580  df-z 11664  df-uz 11925  df-rp 12067  df-ico 12419  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-seq 13045  df-exp 13104  df-hash 13358  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-clim 14462  df-prod 14877
This theorem is referenced by:  fprodle  14967  hoiprodcl  41261  hoiprodcl3  41294  hoidmvcl  41296  hsphoidmvle2  41299  hsphoidmvle  41300
  Copyright terms: Public domain W3C validator