MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge0 16025
Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge0.kph 𝑘𝜑
fprodge0.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodge0.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge0.0leb ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodge0 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11305 . 2 0 ∈ ℝ*
2 pnfxr 11312 . 2 +∞ ∈ ℝ*
3 fprodge0.kph . . 3 𝑘𝜑
4 rge0ssre 13492 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5 ax-resscn 11209 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
64, 5sstri 4004 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
8 ge0mulcl 13497 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
98adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
10 fprodge0.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
11 fprodge0.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 fprodge0.0leb . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
13 elrege0 13490 . . . 4 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1411, 12, 13sylanbrc 583 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15 1re 11258 . . . . 5 1 ∈ ℝ
16 0le1 11783 . . . . 5 0 ≤ 1
17 ltpnf 13159 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1815, 17ax-mp 5 . . . . 5 1 < +∞
19 0re 11260 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
20 elico2 13447 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
2119, 2, 20mp2an 692 . . . . 5 (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
2215, 16, 18, 21mpbir3an 1340 . . . 4 1 ∈ (0[,)+∞)
2322a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (0[,)+∞))
243, 7, 9, 10, 14, 23fprodcllemf 15990 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
25 icogelb 13434 . 2 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
261, 2, 24, 25mp3an12i 1464 1 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wnf 1779  wcel 2105  wss 3962   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  [,)cico 13385  cprod 15935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-prod 15936
This theorem is referenced by:  fprodle  16028  hoiprodcl  46502  hoiprodcl3  46535  hoidmvcl  46537  hsphoidmvle2  46540  hsphoidmvle  46541
  Copyright terms: Public domain W3C validator