![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fprodge0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodge0.kph | โข โฒ๐๐ |
fprodge0.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fprodge0.b | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
fprodge0.0leb | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodge0 | โข (๐ โ 0 โค โ๐ โ ๐ด ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0xr 11207 | . 2 โข 0 โ โ* | |
2 | pnfxr 11214 | . 2 โข +โ โ โ* | |
3 | fprodge0.kph | . . 3 โข โฒ๐๐ | |
4 | rge0ssre 13379 | . . . . 5 โข (0[,)+โ) โ โ | |
5 | ax-resscn 11113 | . . . . 5 โข โ โ โ | |
6 | 4, 5 | sstri 3954 | . . . 4 โข (0[,)+โ) โ โ |
7 | 6 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ (0[,)+โ) โ โ) |
8 | ge0mulcl 13384 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ (0[,)+โ) โง ๐ฆ โ (0[,)+โ)) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (0[,)+โ)) | |
9 | 8 | adantl 483 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ (0[,)+โ) โง ๐ฆ โ (0[,)+โ))) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (0[,)+โ)) |
10 | fprodge0.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
11 | fprodge0.b | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
12 | fprodge0.0leb | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) | |
13 | elrege0 13377 | . . . 4 โข (๐ต โ (0[,)+โ) โ (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) | |
14 | 11, 12, 13 | sylanbrc 584 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,)+โ)) |
15 | 1re 11160 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
16 | 0le1 11683 | . . . . 5 โข 0 โค 1 | |
17 | ltpnf 13046 | . . . . . 6 โข (1 โ โ โ 1 < +โ) | |
18 | 15, 17 | ax-mp 5 | . . . . 5 โข 1 < +โ |
19 | 0re 11162 | . . . . . 6 โข 0 โ โ | |
20 | elico2 13334 | . . . . . 6 โข ((0 โ โ โง +โ โ โ*) โ (1 โ (0[,)+โ) โ (1 โ โ โง 0 โค 1 โง 1 < +โ))) | |
21 | 19, 2, 20 | mp2an 691 | . . . . 5 โข (1 โ (0[,)+โ) โ (1 โ โ โง 0 โค 1 โง 1 < +โ)) |
22 | 15, 16, 18, 21 | mpbir3an 1342 | . . . 4 โข 1 โ (0[,)+โ) |
23 | 22 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ (0[,)+โ)) |
24 | 3, 7, 9, 10, 14, 23 | fprodcllemf 15846 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,)+โ)) |
25 | icogelb 13321 | . 2 โข ((0 โ โ* โง +โ โ โ* โง โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,)+โ)) โ 0 โค โ๐ โ ๐ด ๐ต) | |
26 | 1, 2, 24, 25 | mp3an12i 1466 | 1 โข (๐ โ 0 โค โ๐ โ ๐ด ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 โฒwnf 1786 โ wcel 2107 โ wss 3911 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 Fincfn 8886 โcc 11054 โcr 11055 0cc0 11056 1c1 11057 ยท cmul 11061 +โcpnf 11191 โ*cxr 11193 < clt 11194 โค cle 11195 [,)cico 13272 โcprod 15793 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-inf2 9582 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 ax-pre-sup 11134 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-int 4909 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-se 5590 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-isom 6506 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-sup 9383 df-oi 9451 df-card 9880 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-nn 12159 df-2 12221 df-3 12222 df-n0 12419 df-z 12505 df-uz 12769 df-rp 12921 df-ico 13276 df-fz 13431 df-fzo 13574 df-seq 13913 df-exp 13974 df-hash 14237 df-cj 14990 df-re 14991 df-im 14992 df-sqrt 15126 df-abs 15127 df-clim 15376 df-prod 15794 |
This theorem is referenced by: fprodle 15884 hoiprodcl 44874 hoiprodcl3 44907 hoidmvcl 44909 hsphoidmvle2 44912 hsphoidmvle 44913 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |