Theorem fprodge0 15902

Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodge0.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodge0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodge0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge0.0leb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11166	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11173	. 2 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		fprodge0.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		rge0ssre 13358	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 11070	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3940	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
8		ge0mulcl 13363	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
10		fprodge0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11		fprodge0.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		fprodge0.0leb	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
13		elrege0 13356	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
14	11, 12, 13	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15		1re 11119	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		0le1 11647	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
17		ltpnf 13021	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
19		0re 11121	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		elico2 13312	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
21	19, 2, 20	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
22	15, 16, 18, 21	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0[,)+∞))
24	3, 7, 9, 10, 14, 23	fprodcllemf 15867	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
25		icogelb 13298	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
26	1, 2, 24, 25	mp3an12i 1467	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   · cmul 11018  +∞cpnf 11150  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154  [,)cico 13249  ∏cprod 15812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-ico 13253  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-prod 15813

This theorem is referenced by:  fprodle  15905  hoiprodcl  46669  hoiprodcl3  46702  hoidmvcl  46704  hsphoidmvle2  46707  hsphoidmvle  46708