![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fprodge0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodge0.kph | โข โฒ๐๐ |
fprodge0.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fprodge0.b | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
fprodge0.0leb | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodge0 | โข (๐ โ 0 โค โ๐ โ ๐ด ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0xr 11260 | . 2 โข 0 โ โ* | |
2 | pnfxr 11267 | . 2 โข +โ โ โ* | |
3 | fprodge0.kph | . . 3 โข โฒ๐๐ | |
4 | rge0ssre 13432 | . . . . 5 โข (0[,)+โ) โ โ | |
5 | ax-resscn 11166 | . . . . 5 โข โ โ โ | |
6 | 4, 5 | sstri 3991 | . . . 4 โข (0[,)+โ) โ โ |
7 | 6 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ (0[,)+โ) โ โ) |
8 | ge0mulcl 13437 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ (0[,)+โ) โง ๐ฆ โ (0[,)+โ)) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (0[,)+โ)) | |
9 | 8 | adantl 482 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ (0[,)+โ) โง ๐ฆ โ (0[,)+โ))) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (0[,)+โ)) |
10 | fprodge0.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
11 | fprodge0.b | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
12 | fprodge0.0leb | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) | |
13 | elrege0 13430 | . . . 4 โข (๐ต โ (0[,)+โ) โ (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) | |
14 | 11, 12, 13 | sylanbrc 583 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,)+โ)) |
15 | 1re 11213 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
16 | 0le1 11736 | . . . . 5 โข 0 โค 1 | |
17 | ltpnf 13099 | . . . . . 6 โข (1 โ โ โ 1 < +โ) | |
18 | 15, 17 | ax-mp 5 | . . . . 5 โข 1 < +โ |
19 | 0re 11215 | . . . . . 6 โข 0 โ โ | |
20 | elico2 13387 | . . . . . 6 โข ((0 โ โ โง +โ โ โ*) โ (1 โ (0[,)+โ) โ (1 โ โ โง 0 โค 1 โง 1 < +โ))) | |
21 | 19, 2, 20 | mp2an 690 | . . . . 5 โข (1 โ (0[,)+โ) โ (1 โ โ โง 0 โค 1 โง 1 < +โ)) |
22 | 15, 16, 18, 21 | mpbir3an 1341 | . . . 4 โข 1 โ (0[,)+โ) |
23 | 22 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ (0[,)+โ)) |
24 | 3, 7, 9, 10, 14, 23 | fprodcllemf 15901 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,)+โ)) |
25 | icogelb 13374 | . 2 โข ((0 โ โ* โง +โ โ โ* โง โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,)+โ)) โ 0 โค โ๐ โ ๐ด ๐ต) | |
26 | 1, 2, 24, 25 | mp3an12i 1465 | 1 โข (๐ โ 0 โค โ๐ โ ๐ด ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 โง w3a 1087 โฒwnf 1785 โ wcel 2106 โ wss 3948 class class class wbr 5148 (class class class)co 7408 Fincfn 8938 โcc 11107 โcr 11108 0cc0 11109 1c1 11110 ยท cmul 11114 +โcpnf 11244 โ*cxr 11246 < clt 11247 โค cle 11248 [,)cico 13325 โcprod 15848 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-rp 12974 df-ico 13329 df-fz 13484 df-fzo 13627 df-seq 13966 df-exp 14027 df-hash 14290 df-cj 15045 df-re 15046 df-im 15047 df-sqrt 15181 df-abs 15182 df-clim 15431 df-prod 15849 |
This theorem is referenced by: fprodle 15939 hoiprodcl 45253 hoiprodcl3 45286 hoidmvcl 45288 hsphoidmvle2 45291 hsphoidmvle 45292 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |