![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fprodge0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodge0.kph | โข โฒ๐๐ |
fprodge0.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fprodge0.b | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
fprodge0.0leb | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodge0 | โข (๐ โ 0 โค โ๐ โ ๐ด ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0xr 11299 | . 2 โข 0 โ โ* | |
2 | pnfxr 11306 | . 2 โข +โ โ โ* | |
3 | fprodge0.kph | . . 3 โข โฒ๐๐ | |
4 | rge0ssre 13473 | . . . . 5 โข (0[,)+โ) โ โ | |
5 | ax-resscn 11203 | . . . . 5 โข โ โ โ | |
6 | 4, 5 | sstri 3991 | . . . 4 โข (0[,)+โ) โ โ |
7 | 6 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ (0[,)+โ) โ โ) |
8 | ge0mulcl 13478 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ (0[,)+โ) โง ๐ฆ โ (0[,)+โ)) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (0[,)+โ)) | |
9 | 8 | adantl 480 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ (0[,)+โ) โง ๐ฆ โ (0[,)+โ))) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (0[,)+โ)) |
10 | fprodge0.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
11 | fprodge0.b | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
12 | fprodge0.0leb | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) | |
13 | elrege0 13471 | . . . 4 โข (๐ต โ (0[,)+โ) โ (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) | |
14 | 11, 12, 13 | sylanbrc 581 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,)+โ)) |
15 | 1re 11252 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
16 | 0le1 11775 | . . . . 5 โข 0 โค 1 | |
17 | ltpnf 13140 | . . . . . 6 โข (1 โ โ โ 1 < +โ) | |
18 | 15, 17 | ax-mp 5 | . . . . 5 โข 1 < +โ |
19 | 0re 11254 | . . . . . 6 โข 0 โ โ | |
20 | elico2 13428 | . . . . . 6 โข ((0 โ โ โง +โ โ โ*) โ (1 โ (0[,)+โ) โ (1 โ โ โง 0 โค 1 โง 1 < +โ))) | |
21 | 19, 2, 20 | mp2an 690 | . . . . 5 โข (1 โ (0[,)+โ) โ (1 โ โ โง 0 โค 1 โง 1 < +โ)) |
22 | 15, 16, 18, 21 | mpbir3an 1338 | . . . 4 โข 1 โ (0[,)+โ) |
23 | 22 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ (0[,)+โ)) |
24 | 3, 7, 9, 10, 14, 23 | fprodcllemf 15942 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,)+โ)) |
25 | icogelb 13415 | . 2 โข ((0 โ โ* โง +โ โ โ* โง โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,)+โ)) โ 0 โค โ๐ โ ๐ด ๐ต) | |
26 | 1, 2, 24, 25 | mp3an12i 1461 | 1 โข (๐ โ 0 โค โ๐ โ ๐ด ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 โง w3a 1084 โฒwnf 1777 โ wcel 2098 โ wss 3949 class class class wbr 5152 (class class class)co 7426 Fincfn 8970 โcc 11144 โcr 11145 0cc0 11146 1c1 11147 ยท cmul 11151 +โcpnf 11283 โ*cxr 11285 < clt 11286 โค cle 11287 [,)cico 13366 โcprod 15889 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-inf2 9672 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 ax-pre-sup 11224 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-isom 6562 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-1o 8493 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-fin 8974 df-sup 9473 df-oi 9541 df-card 9970 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-n0 12511 df-z 12597 df-uz 12861 df-rp 13015 df-ico 13370 df-fz 13525 df-fzo 13668 df-seq 14007 df-exp 14067 df-hash 14330 df-cj 15086 df-re 15087 df-im 15088 df-sqrt 15222 df-abs 15223 df-clim 15472 df-prod 15890 |
This theorem is referenced by: fprodle 15980 hoiprodcl 45964 hoiprodcl3 45997 hoidmvcl 45999 hsphoidmvle2 46002 hsphoidmvle 46003 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |