Theorem fprodge0 15408

Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodge0.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodge0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodge0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge0.0leb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10739	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 10746	. 2 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		fprodge0.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		rge0ssre 12901	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 10645	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3903	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
8		ge0mulcl 12906	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
9	8	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
10		fprodge0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11		fprodge0.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		fprodge0.0leb	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
13		elrege0 12899	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
14	11, 12, 13	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15		1re 10692	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		0le1 11214	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
17		ltpnf 12569	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
19		0re 10694	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		elico2 12856	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
21	19, 2, 20	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
22	15, 16, 18, 21	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0[,)+∞))
24	3, 7, 9, 10, 14, 23	fprodcllemf 15373	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
25		icogelb 12843	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
26	1, 2, 24, 25	mp3an12i 1462	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860   class class class wbr 5036  (class class class)co 7156  Fincfn 8540  ℂcc 10586  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   · cmul 10593  +∞cpnf 10723  ℝ^*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727  [,)cico 12794  ∏cprod 15320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-ico 12798  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-prod 15321

This theorem is referenced by:  fprodle  15411  hoiprodcl  43597  hoiprodcl3  43630  hoidmvcl  43632  hsphoidmvle2  43635  hsphoidmvle  43636