![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fprodge0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodge0.kph | โข โฒ๐๐ |
fprodge0.a | โข (๐ โ ๐ด โ Fin) |
fprodge0.b | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
fprodge0.0leb | โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
fprodge0 | โข (๐ โ 0 โค โ๐ โ ๐ด ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0xr 11262 | . 2 โข 0 โ โ* | |
2 | pnfxr 11269 | . 2 โข +โ โ โ* | |
3 | fprodge0.kph | . . 3 โข โฒ๐๐ | |
4 | rge0ssre 13436 | . . . . 5 โข (0[,)+โ) โ โ | |
5 | ax-resscn 11166 | . . . . 5 โข โ โ โ | |
6 | 4, 5 | sstri 3986 | . . . 4 โข (0[,)+โ) โ โ |
7 | 6 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ (0[,)+โ) โ โ) |
8 | ge0mulcl 13441 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ (0[,)+โ) โง ๐ฆ โ (0[,)+โ)) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (0[,)+โ)) | |
9 | 8 | adantl 481 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ (0[,)+โ) โง ๐ฆ โ (0[,)+โ))) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (0[,)+โ)) |
10 | fprodge0.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ Fin) | |
11 | fprodge0.b | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) | |
12 | fprodge0.0leb | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ 0 โค ๐ต) | |
13 | elrege0 13434 | . . . 4 โข (๐ต โ (0[,)+โ) โ (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) | |
14 | 11, 12, 13 | sylanbrc 582 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ (0[,)+โ)) |
15 | 1re 11215 | . . . . 5 โข 1 โ โ | |
16 | 0le1 11738 | . . . . 5 โข 0 โค 1 | |
17 | ltpnf 13103 | . . . . . 6 โข (1 โ โ โ 1 < +โ) | |
18 | 15, 17 | ax-mp 5 | . . . . 5 โข 1 < +โ |
19 | 0re 11217 | . . . . . 6 โข 0 โ โ | |
20 | elico2 13391 | . . . . . 6 โข ((0 โ โ โง +โ โ โ*) โ (1 โ (0[,)+โ) โ (1 โ โ โง 0 โค 1 โง 1 < +โ))) | |
21 | 19, 2, 20 | mp2an 689 | . . . . 5 โข (1 โ (0[,)+โ) โ (1 โ โ โง 0 โค 1 โง 1 < +โ)) |
22 | 15, 16, 18, 21 | mpbir3an 1338 | . . . 4 โข 1 โ (0[,)+โ) |
23 | 22 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ (0[,)+โ)) |
24 | 3, 7, 9, 10, 14, 23 | fprodcllemf 15905 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,)+โ)) |
25 | icogelb 13378 | . 2 โข ((0 โ โ* โง +โ โ โ* โง โ๐ โ ๐ด ๐ต โ (0[,)+โ)) โ 0 โค โ๐ โ ๐ด ๐ต) | |
26 | 1, 2, 24, 25 | mp3an12i 1461 | 1 โข (๐ โ 0 โค โ๐ โ ๐ด ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1084 โฒwnf 1777 โ wcel 2098 โ wss 3943 class class class wbr 5141 (class class class)co 7404 Fincfn 8938 โcc 11107 โcr 11108 0cc0 11109 1c1 11110 ยท cmul 11114 +โcpnf 11246 โ*cxr 11248 < clt 11249 โค cle 11250 [,)cico 13329 โcprod 15852 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-n0 12474 df-z 12560 df-uz 12824 df-rp 12978 df-ico 13333 df-fz 13488 df-fzo 13631 df-seq 13970 df-exp 14030 df-hash 14293 df-cj 15049 df-re 15050 df-im 15051 df-sqrt 15185 df-abs 15186 df-clim 15435 df-prod 15853 |
This theorem is referenced by: fprodle 15943 hoiprodcl 45817 hoiprodcl3 45850 hoidmvcl 45852 hsphoidmvle2 45855 hsphoidmvle 45856 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |