MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge0 15940
Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge0.kph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodge0.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodge0.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fprodge0.0leb ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
Assertion
Ref Expression
fprodge0 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodge0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11262 . 2 0 โˆˆ โ„*
2 pnfxr 11269 . 2 +โˆž โˆˆ โ„*
3 fprodge0.kph . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
4 rge0ssre 13436 . . . . 5 (0[,)+โˆž) โІ โ„
5 ax-resscn 11166 . . . . 5 โ„ โІ โ„‚
64, 5sstri 3986 . . . 4 (0[,)+โˆž) โІ โ„‚
76a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0[,)+โˆž) โІ โ„‚)
8 ge0mulcl 13441 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
98adantl 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
10 fprodge0.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
11 fprodge0.b . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
12 fprodge0.0leb . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
13 elrege0 13434 . . . 4 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
1411, 12, 13sylanbrc 582 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
15 1re 11215 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
16 0le1 11738 . . . . 5 0 โ‰ค 1
17 ltpnf 13103 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„ โ†’ 1 < +โˆž)
1815, 17ax-mp 5 . . . . 5 1 < +โˆž
19 0re 11217 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
20 elico2 13391 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (1 โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1 โˆง 1 < +โˆž)))
2119, 2, 20mp2an 689 . . . . 5 (1 โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1 โˆง 1 < +โˆž))
2215, 16, 18, 21mpbir3an 1338 . . . 4 1 โˆˆ (0[,)+โˆž)
2322a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (0[,)+โˆž))
243, 7, 9, 10, 14, 23fprodcllemf 15905 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
25 icogelb 13378 . 2 ((0 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
261, 2, 24, 25mp3an12i 1461 1 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084  โ„ฒwnf 1777   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3943   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11246  โ„*cxr 11248   < clt 11249   โ‰ค cle 11250  [,)cico 13329  โˆcprod 15852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-prod 15853
This theorem is referenced by:  fprodle  15943  hoiprodcl  45817  hoiprodcl3  45850  hoidmvcl  45852  hsphoidmvle2  45855  hsphoidmvle  45856
  Copyright terms: Public domain W3C validator