MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge0 15933
Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge0.kph 𝑘𝜑
fprodge0.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodge0.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge0.0leb ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodge0 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11257 . 2 0 ∈ ℝ*
2 pnfxr 11264 . 2 +∞ ∈ ℝ*
3 fprodge0.kph . . 3 𝑘𝜑
4 rge0ssre 13429 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5 ax-resscn 11163 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
64, 5sstri 3990 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
8 ge0mulcl 13434 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
98adantl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
10 fprodge0.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
11 fprodge0.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 fprodge0.0leb . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
13 elrege0 13427 . . . 4 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1411, 12, 13sylanbrc 584 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15 1re 11210 . . . . 5 1 ∈ ℝ
16 0le1 11733 . . . . 5 0 ≤ 1
17 ltpnf 13096 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1815, 17ax-mp 5 . . . . 5 1 < +∞
19 0re 11212 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
20 elico2 13384 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
2119, 2, 20mp2an 691 . . . . 5 (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
2215, 16, 18, 21mpbir3an 1342 . . . 4 1 ∈ (0[,)+∞)
2322a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (0[,)+∞))
243, 7, 9, 10, 14, 23fprodcllemf 15898 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
25 icogelb 13371 . 2 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
261, 2, 24, 25mp3an12i 1466 1 (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wnf 1786  wcel 2107  wss 3947   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  Fincfn 8935  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  +∞cpnf 11241  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  [,)cico 13322  cprod 15845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846
This theorem is referenced by:  fprodle  15936  hoiprodcl  45198  hoiprodcl3  45231  hoidmvcl  45233  hsphoidmvle2  45236  hsphoidmvle  45237
  Copyright terms: Public domain W3C validator