MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge0 15936
Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge0.kph โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
fprodge0.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodge0.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fprodge0.0leb ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
Assertion
Ref Expression
fprodge0 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodge0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11260 . 2 0 โˆˆ โ„*
2 pnfxr 11267 . 2 +โˆž โˆˆ โ„*
3 fprodge0.kph . . 3 โ„ฒ๐‘˜๐œ‘
4 rge0ssre 13432 . . . . 5 (0[,)+โˆž) โŠ† โ„
5 ax-resscn 11166 . . . . 5 โ„ โŠ† โ„‚
64, 5sstri 3991 . . . 4 (0[,)+โˆž) โŠ† โ„‚
76a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0[,)+โˆž) โŠ† โ„‚)
8 ge0mulcl 13437 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
98adantl 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0[,)+โˆž))) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
10 fprodge0.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
11 fprodge0.b . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
12 fprodge0.0leb . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
13 elrege0 13430 . . . 4 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
1411, 12, 13sylanbrc 583 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
15 1re 11213 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
16 0le1 11736 . . . . 5 0 โ‰ค 1
17 ltpnf 13099 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„ โ†’ 1 < +โˆž)
1815, 17ax-mp 5 . . . . 5 1 < +โˆž
19 0re 11215 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
20 elico2 13387 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ โˆง +โˆž โˆˆ โ„*) โ†’ (1 โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1 โˆง 1 < +โˆž)))
2119, 2, 20mp2an 690 . . . . 5 (1 โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1 โˆง 1 < +โˆž))
2215, 16, 18, 21mpbir3an 1341 . . . 4 1 โˆˆ (0[,)+โˆž)
2322a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (0[,)+โˆž))
243, 7, 9, 10, 14, 23fprodcllemf 15901 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
25 icogelb 13374 . 2 ((0 โˆˆ โ„* โˆง +โˆž โˆˆ โ„* โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
261, 2, 24, 25mp3an12i 1465 1 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087  โ„ฒwnf 1785   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11244  โ„*cxr 11246   < clt 11247   โ‰ค cle 11248  [,)cico 13325  โˆcprod 15848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-prod 15849
This theorem is referenced by:  fprodle  15939  hoiprodcl  45253  hoiprodcl3  45286  hoidmvcl  45288  hsphoidmvle2  45291  hsphoidmvle  45292
  Copyright terms: Public domain W3C validator