Theorem fprodge0 16086

Description: If all the terms of a finite product are nonnegative, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodge0.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodge0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodge0.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge0.0leb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11284	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11291	. 2 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		fprodge0.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		rge0ssre 13513	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 11185	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3943	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
8		ge0mulcl 13518	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
9	8	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
10		fprodge0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
11		fprodge0.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		fprodge0.0leb	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
13		elrege0 13511	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
14	11, 12, 13	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15		1re 11236	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		0le1 11765	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
17		ltpnf 13175	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
19		0re 11238	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		elico2 13467	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
21	19, 2, 20	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
22	15, 16, 18, 21	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0[,)+∞))
24	3, 7, 9, 10, 14, 23	fprodcllemf 16051	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
25		icogelb 13453	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
26	1, 2, 24, 25	mp3an12i 1494	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   · cmul 11133  +∞cpnf 11268  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272  [,)cico 13404  ∏cprod 15996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-prod 15997

This theorem is used by:  fprodle  16089  hoiprodcl  47383  hoiprodcl3  47416  hoidmvcl  47418  hsphoidmvle2  47421  hsphoidmvle  47422